線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維分析

馮宇杰

2006年，周以真教授對(duì)西蒙·派珀特博士在1996年提出的計(jì)算思維進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述，她認(rèn)為：計(jì)算思維是當(dāng)代每個(gè)人必須具備的思維能力和基本技能。這一理念提出后，受到了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注，并在計(jì)算機(jī)教育和工程應(yīng)用中進(jìn)行了很多有益的探索和嘗試，以期將計(jì)算思維的培養(yǎng)擴(kuò)展到各個(gè)研究領(lǐng)域。計(jì)算思維是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而體現(xiàn)出來的，以人腦為活動(dòng)主體，以算法為靈魂的構(gòu)造思維，是推動(dòng)人類文明進(jìn)步和科技發(fā)展的三大支柱之一。線性代數(shù)是一門兼具理論抽象和實(shí)際應(yīng)用緊密結(jié)合的課程，充分挖掘出蘊(yùn)含在這門課程各知識(shí)點(diǎn)背后的計(jì)算思維思想和方法，和我們的日常思維有機(jī)地結(jié)合，并體現(xiàn)在其他課程的學(xué)習(xí)和實(shí)踐環(huán)節(jié)中，對(duì)提升我們的學(xué)習(xí)效率和效果，培養(yǎng)我們的學(xué)習(xí)能力、計(jì)算思維能力和創(chuàng)新協(xié)作能力具有重要意義。

一、線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維

線性代數(shù)是理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程之一，廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、力學(xué)、信號(hào)與信號(hào)處理、通信等學(xué)科。和其他基礎(chǔ)課程相比，內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜，對(duì)象抽象。線性代數(shù)著眼于事物的總體，它從考察事物的總體出發(fā)抽出問題和討論問題，再從事物的變化和關(guān)聯(lián)中尋求分析問題的途徑、解決問題的方法，而這正是計(jì)算思維的一種表現(xiàn)方式。

1.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的系統(tǒng)分解、轉(zhuǎn)化和約簡思想

計(jì)算思維是人們通過約簡、轉(zhuǎn)化和仿真等方法將要解決一個(gè)復(fù)雜問題重新闡釋成一個(gè)知道問題怎樣解決的方法，是采用抽象和分解來控制龐雜的任務(wù)或進(jìn)行巨大復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)的方法，或?qū)σ粋€(gè)問題的相關(guān)方面建模使其易于處理的思維方法。線性代數(shù)中多個(gè)內(nèi)容都采用了在異中求同、化繁為簡、各個(gè)擊破的思想，正是這種思維的體現(xiàn)。如行列式的展開、矩陣的分塊求解、初等變換、求解線性方程組的過程、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、基變換與坐標(biāo)變換等內(nèi)容中均體現(xiàn)出了約簡的思想。通過這種變換，將復(fù)雜的計(jì)算化簡成已知解決方法的問題，簡化了計(jì)算過程，提高了計(jì)算效率。

2.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的啟發(fā)式推理思想

在線性代數(shù)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解中，均利用了啟發(fā)式推理的計(jì)算思維方法來尋求問題的解答。如由低階行列式的計(jì)算過程推理出n階行列式的計(jì)算方法、由二維表格引出階矩陣的概念、由低維線性方程組的消元法求解過程引出矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，進(jìn)而有了標(biāo)準(zhǔn)矩陣和矩陣的秩的概念、由向量組的秩和線性相關(guān)性推出線性方程組解的結(jié)構(gòu)等，都自然地體現(xiàn)了啟發(fā)式推理的這種在不確定情況下的規(guī)劃、學(xué)習(xí)和調(diào)度的思想方法。

3.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的遞歸思想

遞歸是計(jì)算思維的重要組成部分，同時(shí)也是一種常用的解決問題的思維方式，在現(xiàn)代很多領(lǐng)域中都有直接的應(yīng)用。遞歸思想在線性代數(shù)的多方面都有體現(xiàn)，如范德蒙行列式的證明；向量組的秩和向量組線性相關(guān)性的判斷；方陣的特征值間的關(guān)系和對(duì)應(yīng)的特征向量是否線性相關(guān)的判斷；通過初等變換求矩陣的逆；求向量空間的規(guī)范正交基；等等，這些均直接或間接地體現(xiàn)出了遞歸思想。

4.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的可靠性保障思想

初等變換是研究矩陣、行列式、線性方程組及線性空間的最主要的思想方法。對(duì)特定對(duì)象進(jìn)行初等變換時(shí)，不但可以化大為小，化繁為簡，而且能夠在變換的過程中保持這些對(duì)象的某些重要性質(zhì)不變，因此初等變換成為線性代數(shù)中廣泛應(yīng)用的一種思想。如求解線性方程組和矩陣方程、計(jì)算行列式、計(jì)算特征多項(xiàng)式、求特征值和特征向量、求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等都蘊(yùn)含了計(jì)算思維中可靠性保障思想。

計(jì)算思維還有其他多種釋義，如選擇合適的方式去陳述一個(gè)問題、利用海量數(shù)據(jù)來加快計(jì)算、在時(shí)間和空間之間進(jìn)行折中的思維方法等，它們均在線性代數(shù)中有直接或間接的體現(xiàn)。所以，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，要善于充分挖掘隱藏在各知識(shí)點(diǎn)后面的計(jì)算思維思想，使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化，促使矛盾向更容易解決的方向轉(zhuǎn)化。

計(jì)算思維既是數(shù)理思維的一個(gè)子集，也是工程思維的一個(gè)子集，這種思維符合認(rèn)識(shí)論的一般規(guī)律，因此學(xué)起來更簡單，用起來方便，也可以進(jìn)一步推廣到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中。

二、案例

1.基于計(jì)算思維梳理教材內(nèi)容

基于計(jì)算思維的思想，將線性代數(shù)課本中的主要知識(shí)點(diǎn)，按照從具體到抽象，從實(shí)際到理論的認(rèn)知規(guī)律重新梳理和組織，應(yīng)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，不但能較好地提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也在學(xué)習(xí)的過程中自然地培養(yǎng)了我們的計(jì)算思維，提升我們的學(xué)習(xí)能力和對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的把握能力。

對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理應(yīng)在對(duì)主要知識(shí)點(diǎn)把握恰當(dāng)?shù)幕A(chǔ)上，從應(yīng)用角度進(jìn)行合理組織和整合，將相關(guān)的理論知識(shí)和某類應(yīng)用進(jìn)行對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上再根據(jù)需求提出問題——分析討論解決問題的方法——?dú)w納出必要的概念和結(jié)論。

2.實(shí)例

以下以線性方程組的解為線索，應(yīng)用蘊(yùn)含在線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)后的計(jì)算思維設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)方案進(jìn)行討論。

（1）從應(yīng)用角度梳理和組織已有知識(shí)，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)方案并提出問題。在學(xué)習(xí)完行列式知識(shí)后，引入了克萊默法則以求解一類特殊的n元線性方程組，但對(duì)該法則的理解和具體應(yīng)用的掌握還不夠深刻，應(yīng)采用循序漸進(jìn)的原則討論一般的n元m個(gè)方程的線性方程組的解的情況。以下根據(jù)求解此類方程組的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了案例和問題。

案例：求解一個(gè)n元m個(gè)方程的線性方程組。

問題：解的存在性、唯一性及解的結(jié)構(gòu)。

（2）由特殊到一般組織思路，分析和討論問題的解決方法。在分析上述問題時(shí)，會(huì)先想到使用消元法求解，但消元法僅適用于m=n且n較小時(shí)情形。當(dāng)n較大時(shí)，可使用克萊默法則。再以克萊默法則的合理性和局限性為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)一步組織知識(shí)結(jié)構(gòu)，引出矩陣和向量的有關(guān)內(nèi)容，以證明克萊默法則和求解m≠n的線性方程組問題。

（3）歸納概念，得出結(jié)論。在解決上述問題后，自然會(huì)想到m≠n時(shí)的線性方程組的解的情況，在分析問題的過程中，進(jìn)一步將矩陣的初等變換、矩陣的秩、向量組的相關(guān)理論等知識(shí)點(diǎn)列入了復(fù)習(xí)線索，在探索解決問題的過程中自然而然地復(fù)習(xí)了相關(guān)的知識(shí)。

綜上所述，通過分析線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維并將計(jì)算思維引入線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)中，圍繞“計(jì)算”這一核心，以應(yīng)用為出發(fā)點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)陌咐?，便可將課程內(nèi)容按照一種新的思維重新組織，化抽象為具體，化特殊為一般，形成一種高效的符合認(rèn)識(shí)論規(guī)律的學(xué)習(xí)方案。這可以促進(jìn)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和利用有關(guān)知識(shí)解決專業(yè)問題的自覺性，更好地培養(yǎng)我們的計(jì)算思維和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)增強(qiáng)將來服務(wù)社會(huì)的能力有極大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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