《平均數(shù)》教學(xué)重在探“理”尋“法”

李英婷

【摘要】本文提出以“平均數(shù)”的數(shù)理和算法為重點，尋找算法與算理的融合，挖掘平均數(shù)的本質(zhì)特征，讓學(xué)生深入理解平均數(shù)的概念，掌握求平均數(shù)的方法。

【關(guān)鍵詞】《平均數(shù)》 數(shù)學(xué)本質(zhì) 探理尋法

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）03A-0099-02

“平均數(shù)”是分析數(shù)據(jù)的重要的工具，常用來對統(tǒng)計對象進行一般水平的描述，是一個居中位置的數(shù)據(jù)統(tǒng)計量。在“平均數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生很容易掌握“平均數(shù)”的計算方法，但是如何讓學(xué)生理解平均數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力，才是教學(xué)的重點和難點。筆者在教學(xué)時主要從以下三點進行嘗試。

一、從兒童視角出發(fā)，探”平均”數(shù)理

對小學(xué)生來說，概念的習(xí)得需要經(jīng)歷一個完整的過程，這個過程包括三個階段：弄清它是什么，怎么能夠?qū)W會，知道它怎么用（即理解本質(zhì)，掌握方法，學(xué)會應(yīng)用）。平均數(shù)的學(xué)習(xí)要突出“平均”這個概念的數(shù)理，讓學(xué)生把握本質(zhì)所在。如，小強在50米跑中分別跑出了15秒、14秒、12秒、10秒和14秒的成績。在他填寫自己的成績時，他犯難了，到底該填幾秒呢？教學(xué)時，筆者通過三個層面進行引導(dǎo)，強化學(xué)生對“平均數(shù)”概念的理解。

（一）加強快慢對比，探求中間值

學(xué)生已經(jīng)積累了關(guān)于快慢的經(jīng)驗，筆者以這個經(jīng)驗為抓手，引導(dǎo)學(xué)生從填寫極端數(shù)15秒入手，發(fā)現(xiàn)偏慢；填寫10秒，發(fā)現(xiàn)又偏快，進而引導(dǎo)學(xué)生尋找偏向中間值的不快不慢的數(shù)據(jù)13，這不僅是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)對比后分析得出的結(jié)果，更是幫助學(xué)生整合思維得到的結(jié)果。學(xué)生用自己對數(shù)據(jù)分析的不快不慢的這個經(jīng)驗，找到了平均數(shù)概念的本質(zhì)特征，也就是說，13這個數(shù)據(jù)能夠反映出這組數(shù)據(jù)中一個集中的趨勢，代表這組數(shù)據(jù)的一般水平。由此學(xué)生進一步理解了平均數(shù)的內(nèi)涵：能夠代表這一組數(shù)據(jù)的基本特征。

（二）激活認(rèn)知沖突，認(rèn)識到平均數(shù)也可以是虛擬的數(shù)

在整個教學(xué)過程中，學(xué)生根據(jù)偏快和偏慢進行分析判斷，認(rèn)為“不快不慢”的13秒，才是一個能夠體現(xiàn)小強真實水平的成績。但是13秒這個數(shù)據(jù)并沒有出現(xiàn)，讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。于是，筆者從不同層面引導(dǎo)學(xué)生思考這個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性。從學(xué)生認(rèn)為“可能”到認(rèn)為“可能性很大”，經(jīng)歷了一個從現(xiàn)實到需求之間的沖突，由此學(xué)生發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)也可以是一組數(shù)據(jù)中沒有出現(xiàn)的一個數(shù)。也就是說，平均數(shù)的另一個特征就是可以是一個虛擬的數(shù)。

（三）層層追問，讓學(xué)生體會“平均”的本質(zhì)內(nèi)涵

在帶領(lǐng)學(xué)生探尋“平均”的本質(zhì)內(nèi)涵的過程，就是一個不斷追問，讓學(xué)生不斷梳理的過程。從一開始的數(shù)據(jù)偏慢，到后來的偏快，最后到找出不快不慢的數(shù)據(jù)，整個過程筆者沒有給出明確的答案，而是不斷地追問，讓學(xué)生一點點理解，并用自己的體會來詮釋“平均”這個概念的本質(zhì)屬性，從而建立了具有鮮明兒童表征的屬性——剛剛好。

二、以操作為核心，尋“算法”之根

在上一輪的討論中，學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)，已經(jīng)知道平均數(shù)的算法是將一組數(shù)據(jù)相加除以數(shù)據(jù)的個數(shù)得到。為此，筆者展開引導(dǎo)：有同學(xué)將五個數(shù)相加除以5，算出小強的平均成績是13秒。那么這個13和這一組數(shù)據(jù)有沒有關(guān)系呢？你能找出13藏在哪嗎？

筆者出示學(xué)具，讓學(xué)生在黑板上移動學(xué)具。（如下圖）

學(xué)生將一個14，一個12變成了兩個13；將15移了2個給10，再將14移1個給10，又變出了三個13，這樣就將這5個高高低低的數(shù)字拉平，變成了五個13。此時筆者又引導(dǎo)學(xué)生分析這五個數(shù)字。學(xué)生發(fā)現(xiàn)15最慢，10最快，12偏快，只有13不快不慢，剛剛好。筆者追問：仔細想一想，這個13有哪兩個特點呢？學(xué)生認(rèn)為：一是沒有在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，二是它能夠代表小強的水平。筆者繼續(xù)追問：可是這個成績，小強沒有跑出來過，是怎么得到的呢？學(xué)生認(rèn)為是通過以多補少勻出來的。至此，有學(xué)生提出：平均數(shù)不一定非要出現(xiàn)在一組數(shù)據(jù)中，它可以不出現(xiàn)，也可以出現(xiàn)。

求平均數(shù)的算法，對于三年級的學(xué)生來說并不復(fù)雜，但是對于平均數(shù)這個概念而言，不但要讓學(xué)生知道算法，還要知道為什么這樣算，這才是教學(xué)的難點，也就是要引導(dǎo)學(xué)生在算法上去尋根。

三、以鞏固為基礎(chǔ)，拓“運用”之道

學(xué)生理解并掌握了平均數(shù)的數(shù)理和算法后，筆者由淺入深，層層引導(dǎo)學(xué)生進入鞏固運用環(huán)節(jié)：7和8兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？1、3、8這三個數(shù)的平均數(shù)是多少？你是怎么算出來的呢？在學(xué)生順利解答這幾個問題后，筆者展開拓展：一條河平均水深5米，請問這條河最深有幾米？為什么？學(xué)生認(rèn)為最深可能會是7米，也可能是10米……此時筆者繼續(xù)追問：那如果把這條河修整一下，變成平均水深一米。小強身高一米，走過去安全嗎？學(xué)生認(rèn)為不安全，雖然平均水深是一米，但最深的地方有可能會超過一米。

通過設(shè)計這樣的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)的“虛擬”特性。

總之，求平均數(shù)的教學(xué)并不是讓學(xué)生單純地掌握求平均數(shù)的算法，而是要讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗，探知平均數(shù)理，尋得算法之根，從而將已有經(jīng)驗與所學(xué)新知有機結(jié)合，真正理解并掌握平均數(shù)這個概念。

（責(zé)編 林 劍）