（云南省西雙版納傣族自治州民族中學 云南西雙版納 666100）

高中數(shù)學是學生在整個高中學習中的重點科目也是難點科目，在實際的教學過程中，函數(shù)的運用又是學生的一大難點，這要求學生對于函數(shù)知識要有非常深刻的理解，以及在利用函數(shù)證明不等式中的深層聯(lián)系也有較高的要求。

一、利用函數(shù)解決不等式的證明問題

1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式問題

利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式問題是一種常見的也是很有用的方法，運用函數(shù)單調(diào)性時，要有明確的定義域區(qū)間要求，函數(shù)的單調(diào)性是基于函數(shù)的區(qū)間來確定的，即函數(shù)在某一區(qū)間是增函數(shù)，可能在其他的區(qū)間就是減函數(shù)。因此，利用單調(diào)性證明函數(shù)的單調(diào)性問題時，首先要確定函數(shù)的定義域區(qū)間。

下面以2017年江蘇高考數(shù)學題第20題前兩問為例：

例1：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點，（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明b2＞3a；

證明：（1）由，得

當時，f′(x)有極小值

因為f ′(x)的極值點是f(x)的零點。

所以

又a＞0，故

因為f(x)有極值，故f′(x)=0有實根，

從而，即a≥3。

a= 3 時，f′(x)＞0(x≠-1)，故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；

a＞3時，f′(x)=0有兩個相異的實根

根據(jù)其極值與單調(diào)性判斷得：f(x)的極值點是x1x2。

從而a＞3，因此，定義域為(3,+∞)=。

（2）由第一問可知，

那么設，則

當時，g′(t)＞0，從而g (t)在上單調(diào)遞增。

因為a＞3，所以，故，即。因此2＞3ba。

從以上的例子可以看出，在利用單調(diào)性證明不等式問題時，首先要明確不等式成立的定義域區(qū)間，其次，就是設立合適的函數(shù)了。以上的例子中，根據(jù)題意直接構(gòu)建新的函數(shù)，對這個函數(shù)求導，然后研究它的單調(diào)性，從而判斷出所證不等式的大小關(guān)系。

2.利用函數(shù)的最值證明不等式

利用函數(shù)的最值來證明不等式也是一種常用的方法。函數(shù)的最值也是建立在一定的區(qū)間上的，定義域的區(qū)間不同，那么在這一段區(qū)間上函數(shù)的最值也有可能不一樣。利用函數(shù)的最值，即先根據(jù)定義域求出不等號兩邊的函數(shù)最值，然后將兩個最值相比，自然而然的就求證出了不等式的問題。

下面再以2017年全國新課標卷文科數(shù)學第21題為例

例2：已知函數(shù)f(x)=ex（ex-a）-a2x.

（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)≥0，求a的取值范圍。

證明：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(-∞, +∞),

①若a=0 ，則f(x) =e2x，在(-∞,+∞ )單調(diào)遞增。

②若a＞0，則由f′(x)=0得x=lna。

當x∈(-∞,lna)時，f′(x)＜0；當x∈(lna,+∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減，在(lna,+∞)單調(diào)遞增。

③若a＜0，則由f′(x)=0得

當時，f′(x)＜0；時，f′(x)＞0，故f(x)在

當單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

（2）在第一問得知函數(shù)的單調(diào)性情況下，分情況討論

①若a= 0 ，則f(x)=e2x，所以f(x) ≥0。

②若a＞0 ，則由（1）得，當x=l na時，f(x)取得最小值，最小值為 f(lna )=-a2lna。從而當且僅當-a2ln a≥0，即a≤1時，f(x)≥0 。

③若a＜0，則由（1）得，當時f(x)取得最小值，最小值為

從而當且僅當，即時f(x) ≥ 0 。

綜上，a的取值范圍為

此題中，根據(jù)實際情況的需要，對a的取值范圍進行討論，求出不同情況下函數(shù)的最值，從而順利的證明不等式。

結(jié)語

函數(shù)問題是貫穿于整個高中數(shù)學的最為重要的問題，并且在學生的大學時代還有更加深層次的研究，同時，函數(shù)對于其他學科的研究有著重大的作用。在利用函數(shù)時，可以利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等方法，快速有效的解決不等式的證明問題，同時，要特別關(guān)注函數(shù)的定義域問題，避免出現(xiàn)不同定義域而導致的函數(shù)應用錯誤，或者不等式證明錯誤等問題。因此，教師們在平時的教學過程中，應該加強學生這一方面的教學，引導學生自己理解、并總結(jié)相關(guān)的不等式證明的方法，并多多加以練習。長此以往，學生對于這一方面問題的解答，定會有突飛猛進的提高。

[1]華東師范大學數(shù)學系編,數(shù)學分析上冊[M].北京：高等教育出版社,2001,119-156.

[2]尚肖飛,賈計榮.利用導數(shù)證明不等式的若干方法[J].太原教育學院報,2002,20（02）：35-37.