江蘇省東南大學(xué)(211189)徐文平

侯明輝老師運(yùn)用三角函數(shù)方法證明了三割線定理[1],在平面幾何中圓類問(wèn)題的計(jì)算和論證方面有著廣泛的應(yīng)用,依靠這個(gè)定理解題的步驟可以大大的簡(jiǎn)化.下文筆者依據(jù)極點(diǎn)和極線性質(zhì),探尋三割線定理的本質(zhì),并擬推廣到圓錐曲線之中,驗(yàn)證圓錐曲線三割線定理的正確性,開(kāi)展三割線定理的運(yùn)用討論,供大家鑒析.

一、關(guān)于三割線定理的本質(zhì)

1.三割線定理簡(jiǎn)介

定理1PAB、PCD為圓的任意二條割線,AD與BC交于點(diǎn)Q,PQ連線與圓交于點(diǎn)E、F點(diǎn),則PQ調(diào)和分割

圖1

2.極點(diǎn)極線方法作橢圓切線

1)勒姆柯?tīng)柗椒?/p>

勒姆柯?tīng)栠^(guò)橢圓外一點(diǎn)P,引四條割線PAiBi(i=1,2,3,4),直線A1B2與A2B1交于Q點(diǎn),直線A3B4與A4B3交于R點(diǎn),直線QR交橢圓于S、T兩個(gè)點(diǎn),則S、T是橢圓對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的兩個(gè)切點(diǎn),直線PS、PT就是所求的切線(圖2).

圖2

2)舒馬赫方法

大數(shù)學(xué)家高斯的朋友舒馬赫不滿足勒姆柯?tīng)柕姆椒?寫(xiě)信給高斯,信中說(shuō)他找到了一個(gè)只需引三條割線就可以作橢圓切線的方法.(圖3).

圖3

3)高斯方法

高斯在收到舒馬赫的信第六天,回信提出了一個(gè)只需引兩條割線.就可以作橢圓切線的簡(jiǎn)捷方法(圖4).

圖4

3.三割線定理的本質(zhì)

勒姆柯?tīng)?、舒馬赫和高斯三人提出的橢圓切線作圖方法均為極點(diǎn)極線方法,依據(jù)極點(diǎn)P探尋極線ST上的二點(diǎn)Q、R,連接QR直線交橢圓于S、T二個(gè)切點(diǎn),即PS和PT為二條切線.

依據(jù)射影幾何知識(shí)可知,圖4中三角形PQR是自配極三角形,其中P極點(diǎn)的極線是QR極線,可用于尋找ST切點(diǎn),R極點(diǎn)的極線是PQ極線,Q極點(diǎn)的極是PR極線.

在圖1中,三割線定理中的P、Q二點(diǎn)就是極點(diǎn)P和極線上一點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)關(guān)系,三割線定理的本質(zhì)就是過(guò)橢圓外一點(diǎn)P作任意割線PEF交圓于E、F二點(diǎn),割線PEF交極點(diǎn)P的極線于Q點(diǎn),則P、E、Q、F形成調(diào)和點(diǎn)列.

二、簡(jiǎn)明的三割線定理的證明方法

1.三割線定理的純幾何證明

引理1從圓外一點(diǎn)P,引圓的兩條切線和一條割線,S、T為切點(diǎn),A、B點(diǎn)為割線與圓的交點(diǎn),切點(diǎn)弦線ST與PAB割線交于Q點(diǎn),那么PQ調(diào)和分割A(yù)B.

圖5

證明如圖5,假設(shè)N點(diǎn)為AB的中點(diǎn),分析得知,AB⊥ON,所以Q、M、N、O四點(diǎn)共圓,則PQ·PN=PM·PO.因?yàn)椤鱌OT與△PMT是相似三角形,PT2=PM·PO.因?yàn)镻T2=PA·PB,所以PQ·PN=PA·PB.因?yàn)樗訮Q·(PA+PB)=2PA·PB.所以所以PQ調(diào)和分割A(yù)B.

引理2從圓外一點(diǎn)P引兩條切線,得到兩個(gè)切點(diǎn)S、T點(diǎn),從圓外一點(diǎn)P引兩任意割線,與圓交于A、B與C、D四點(diǎn),交叉連接AD、BC直線交于Q點(diǎn),AC與BD延伸交于R點(diǎn),則S、T、Q、R四點(diǎn)共線.(高斯配極三角形命題)

圖6

證明聯(lián)結(jié)AS、SB、BD、DT、TC、CA直線,得圓內(nèi)接的凸六邊形ASBDTC.欲證S、Q、T三點(diǎn)共線,只需證明AD、BC、ST三線共點(diǎn).對(duì)于圓內(nèi)接凸六邊形ASBDTC,利用塞瓦定理,只須證明因?yàn)椤鱌BD∽△PCA,△PTC∽△PDT,△PAS∽△PSB,則又因?yàn)镻S=PT,所以所以因此,BC、AD、ST三線共點(diǎn),S、Q、T三點(diǎn)共線.在三角形△RCD中,假設(shè)M點(diǎn)為RQ與CD的交點(diǎn),由賽瓦定理得因?yàn)椤鱎CD被直線PB所截,由梅涅勞斯定理得：將上面兩個(gè)式子相乘得：所以CD被PM調(diào)和分割,同時(shí)PM被CD也調(diào)和分割.依據(jù)引理1可知,M點(diǎn)在極線ST上,所以M、R、S、T四點(diǎn)共線,所以M、S、T、Q、R五點(diǎn)共線,因此S、T、Q、R四點(diǎn)共線.

三割線定理簡(jiǎn)證

圖1中,PAB、PCD為過(guò)橢圓外一點(diǎn)P引出的兩條任意割線,AD與BC交于Q,直線PQ交橢圓于E、F二點(diǎn).由引理2可知,AD與BC交于Q,則Q點(diǎn)在以P點(diǎn)為極點(diǎn)的ST極線上.由引理1可知,因?yàn)镼點(diǎn)在ST極線上,則PQ調(diào)和分割EF,即因此,對(duì)于在圓的情況下,三割線定理成立.如圖7,依據(jù)坐標(biāo)線性變換原理,圓轉(zhuǎn)換為橢圓,直線段僅是線性變換其位置,線段比例關(guān)系不變,因此,對(duì)于在橢圓的情況下,三割線定理也成立.

圖7

2.圓錐曲線三割線定理的極點(diǎn)極線方法證明

引理3(完美四邊形的調(diào)和性質(zhì))如圖8中,完美四邊形ABCDEF有三條對(duì)角線AC、BD和EF,則一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)必定調(diào)和分割該對(duì)角線與另兩條對(duì)角線的兩個(gè)交點(diǎn).即：EF調(diào)和分割MN;BD調(diào)和分割KM;AC調(diào)和分割KN.

圖8

簡(jiǎn)證由于AF、EC和DM三線共點(diǎn)B,由賽瓦定理得：又直線ACN截△DEF,由梅涅勞斯定理有EF調(diào)和分割MN.類似可證：BD調(diào)和分割KM;AC調(diào)和分割KN.

引理4(圓錐曲線三割線定理)極點(diǎn)P與對(duì)應(yīng)極線上任意一點(diǎn)Q調(diào)和分割該兩點(diǎn)連線與圓錐曲線相交的A、B兩點(diǎn).如圖9,已知橢圓外一點(diǎn)P,作兩條切線PS和PT,連接ST極線.作割線PAB,且該割線與ST交于點(diǎn)Q,則A、B調(diào)和分割線段PQ.即

圖9

證明由帕斯卡定理可知,EPF三點(diǎn)共線,EF為Q點(diǎn)的極線,圖8形狀成立.依據(jù)完美四邊形ASBTEF的基本特性可知,E、P、F、R四點(diǎn)調(diào)和分割,EF調(diào)和分割PR.由射影幾何知識(shí)可知[2],以B點(diǎn)為射影點(diǎn)分析S、Q、T、R四點(diǎn)連線,ST調(diào)和分割QR.由射影幾何知識(shí)可知,以E點(diǎn)為射影點(diǎn)分析B、Q、A、P四點(diǎn)連線,AB調(diào)和分割PQ.依據(jù)極點(diǎn)與極線的對(duì)偶性,如果P點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,任意選取極線上一點(diǎn)Q,引理3也成立.

采用射影幾何思想用于圓錐曲線,可得到許多新穎的結(jié)果.大數(shù)學(xué)家笛沙格采用一種有效的方法—投射取截法來(lái)實(shí)現(xiàn)二次圓錐曲線的連續(xù)變化.只要改變截景平面的位置,就可使圓的截景從圓連續(xù)變?yōu)闄E圓、拋物線和雙曲.因此,對(duì)于圓成立的許多性質(zhì),都可通過(guò)取截景的方法來(lái)證明它們對(duì)其他二次圓錐曲線也成立.這就提供了一種相當(dāng)簡(jiǎn)便的方法.

因此,同理采取類似構(gòu)圖方法,可以快速證明雙曲線和拋物線中,引理4也成立.

如圖10,拋物線外一點(diǎn)P,作割線PAB和PCD,BC和AD交于點(diǎn)Q,連線PQ交拋物線于E、F點(diǎn),則PQ調(diào)和分割EF,即

圖10

三、關(guān)于三割線定理的運(yùn)用

1.簡(jiǎn)化解題

例1圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓,圓I切BC邊于D點(diǎn),AD交圓I于M點(diǎn),過(guò)M、D兩點(diǎn)的圓I的切線交于P點(diǎn),E是DM上的一點(diǎn),BE、CE分別交圓I于G、F兩點(diǎn),求證：MP、DP、GF三線交于P點(diǎn).

圖11

在圖11中,從P點(diǎn)作一個(gè)割線PFG,交AMD于Q點(diǎn).極點(diǎn)P與極線AMD相對(duì)應(yīng),依據(jù)三割線定理,則G、Q、F、P四點(diǎn)調(diào)和.依據(jù)題意可知：B、D、C、P四點(diǎn)調(diào)和分割.(詳見(jiàn)補(bǔ)證1)依據(jù)射影幾何原理,E點(diǎn)是射影點(diǎn),則BG、DM、CF交于一點(diǎn)E,證明完畢.

補(bǔ)證1如圖12中,假定S、T為切點(diǎn),圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓,則,AS=AT,BS=BD,CD=CT,即：切線長(zhǎng)度相等.利用比賽瓦定理,可以證明AD、BT、SC三線交于一點(diǎn)R,由于A、M、D三點(diǎn)共線,依據(jù)極點(diǎn)與極線對(duì)偶性,則ST、MP、DP交于一點(diǎn)P,分析ASRTBC完美四點(diǎn)形,可知,BC調(diào)和分割DP,B、D、C、P四點(diǎn)調(diào)和分割.

圖12

2.尺規(guī)作圖做橢圓的切線

例2(過(guò)橢圓上一點(diǎn)作切線)如圖13,取AB的中點(diǎn)M,連接MO,延伸與橢圓交于C、D兩點(diǎn),作CD為直徑的圓,作MP垂直于CD,過(guò)P點(diǎn)作圓切線,CD與切線PN交于N點(diǎn),則極線AB的極點(diǎn)為N點(diǎn).(原理：MN調(diào)和分割CD),證明略.

圖13

例3(過(guò)橢圓外一點(diǎn)作切線)如圖14,連線OM,交橢圓于C、D兩點(diǎn),作CD為直徑的圓,過(guò)N點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為P點(diǎn),作PM垂直CD,過(guò)C點(diǎn)作橢圓的切線,過(guò)M點(diǎn)作切線的平行線交橢圓于A、B兩點(diǎn),則AB為極線.(原理：MN調(diào)和分割CD),證明略.

圖14

3.證明六點(diǎn)共橢圓

利用帕斯卡定理或者卡諾定理證明六點(diǎn)共橢圓常常是非常復(fù)雜有難度,然而,利用完美四邊形獲得四點(diǎn)調(diào)和分割條件,依據(jù)極點(diǎn)極線對(duì)偶性質(zhì),再利用三割線定理的調(diào)和分割性質(zhì),就可以判定六點(diǎn)共橢圓,事半功倍效果,屢試不爽.

例4在橢圓外任意一條直線上,任意選取四點(diǎn),過(guò)四點(diǎn)作橢圓的切線,形成二個(gè)外切橢圓的牛頓四邊形,則二個(gè)外切牛頓四邊形的八個(gè)頂點(diǎn)共橢圓.

如圖15,牛頓四邊形ABCD外切小橢圓,Q點(diǎn)為極點(diǎn),XY為極線.在極線XY上,任意選取二點(diǎn)M和N,做小橢圓的切線,形成新的四邊形EFGH,則二個(gè)外切四邊形ABCD和外切四邊形EFGH的八點(diǎn)共橢圓.

圖15

簡(jiǎn)證運(yùn)用牛頓幾何定理3,由極點(diǎn)和極線性質(zhì)可知,新構(gòu)成的牛頓四邊形EFGH對(duì)角線也是交于極點(diǎn)Q,假設(shè)四邊形ABCD加上一點(diǎn)E點(diǎn),可以構(gòu)成一個(gè)外橢圓(五點(diǎn)定橢圓).由完美四邊形EFGHMN可知,PQ調(diào)和分割EG.由三割線逆定理可知,PQEG滿足調(diào)和分割條件,則G點(diǎn)也在外橢圓之上,即ABCDEG六點(diǎn)共橢圓.同理,也可以證明ABCDFH六點(diǎn)共橢圓.因此ABCDEFGH八點(diǎn)共橢圓.同時(shí),也完成了彭色列閉合定理(N=4)證明.