新課程背景下“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度的比較研究
——以人教版與北師大版教科書(shū)為例

☉西藏自治區(qū)拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué) 謝 穎

教科書(shū)既是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫(xiě)的教學(xué)材料，也是教師授課與學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體.而例題是教材的重要組成部分，既要介紹數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等，還要示范數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等的運(yùn)用，因此對(duì)教材中的例題進(jìn)行研究是教材研究的一個(gè)重要方面.基于此，以我國(guó)現(xiàn)行使用最為廣泛的人教版與北師大版兩個(gè)版本的教科書(shū)為例，通過(guò)對(duì)兩個(gè)版本教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題的要求、例題與內(nèi)容的切合度、例題復(fù)雜度三個(gè)方面進(jìn)行比較研究，希望能為一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師習(xí)題處理提供一些啟示.

一、研究設(shè)計(jì)

本研究應(yīng)用“中小學(xué)理科教材國(guó)際比較研究”課題組研究出的公式分別對(duì)人教版和北師大版兩版本教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度進(jìn)行計(jì)算，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行比較.模型公式即：W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，其中W表示例題難度，W1表示例題的要求、W2表示例題與內(nèi)容的切合度、W3表示例題復(fù)雜度，為了合理地進(jìn)行比較，對(duì)W1、W2、W3進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理（將其轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱的相對(duì)量），即：，其中1、2和3為內(nèi)容認(rèn)知要求的量化值，ni（i=1，2，3）分別表示各量化值對(duì)應(yīng)之賦值標(biāo)準(zhǔn)所確定的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù).W2、W3也進(jìn)行類(lèi)似的處理.

二、研究結(jié)果與分析

本研究通過(guò)對(duì)兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)人教版82題，北師大版84題.

1.例題要求的比較

初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的例題既要介紹數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等，還要示范數(shù)學(xué)的事實(shí)、概念和程序等的運(yùn)用.同時(shí)，例題的要求更多關(guān)的是通過(guò)問(wèn)題解決來(lái)教學(xué)，結(jié)合例題特有的功能，將例題要求劃分為記憶、程序性理解和做數(shù)學(xué)3個(gè)層次，如表1所示.

表1 例題要求的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求的數(shù)量，如表2所示.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題要求上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求（W1）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖1.

圖1 兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)比可知：人教版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學(xué)三個(gè)例題要求上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為11、55、16，各自占的百分比分別為13.42%、67.07%、19.51%；而北師大版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在記憶、程序性理解、做數(shù)學(xué)三個(gè)例題要求上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為6、60、18，各自占的百分比分別為7.14%、71.43%、21.43%.在“程序性理解”和“做數(shù)學(xué)”水平上北師大版比人教版分別高4.36和1.92個(gè)百分點(diǎn)，而在“記憶”水平上人教版卻比北師大版高出6.28個(gè)百分點(diǎn).

兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求差異不大.因?yàn)槔}具有示范性，所以70%左右的例題是“程序性理解”水平例題，而“做數(shù)學(xué)”水平例題大多來(lái)源于作圖例題，兩版教科書(shū)都比較注重知識(shí)的概念性理解、公式掌握以及操作性步驟等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的培養(yǎng).但值得一提的是北師大版教科書(shū)的探究性問(wèn)題并不是常規(guī)普通的應(yīng)用題和選擇策略性問(wèn)題，不是為了探究而探究，而是真正要學(xué)生去探索、研究、發(fā)現(xiàn)地做數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然教科書(shū)中探究題的比例不多，但有很多有新意的數(shù)學(xué)探究題.

2.例題與內(nèi)容切合度的比較

例題與內(nèi)容切合度（W2）主要指例題中形成、介紹和運(yùn)用的事實(shí)、概念與程序與所學(xué)內(nèi)容及其要求的一致程度.教科書(shū)例題設(shè)計(jì)時(shí)，通常是將某內(nèi)容及其要求分解成更小的知識(shí)技能要點(diǎn)，按知識(shí)邏輯及知識(shí)習(xí)得過(guò)程分步或分類(lèi)加以“小步快進(jìn)”式地編排.因此，在內(nèi)容及其要求相同的情況下，例題配備的數(shù)量往往影響著例題難度，體現(xiàn)著例題與內(nèi)容切合程度.因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)配備的例題數(shù)與例題內(nèi)容切合度有著較高的相關(guān)性，結(jié)合兩版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域所配例題的實(shí)際情況，依例題與內(nèi)容切合度對(duì)例題難度的影響，用例題與所配知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)將其賦值，賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表3所示.

表3 例題與內(nèi)容切合度的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量，如表4所示.

表4 例題與內(nèi)容切合度的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題與內(nèi)容切合度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題要求（W2）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖2.

元代讓人最為印象深刻的便是青花瓷，青花紋飾的表現(xiàn)形式各異，紋飾內(nèi)容多樣，成品圖案豐滿(mǎn)。從畫(huà)面圖案中的筆法，構(gòu)圖，神韻，都極具國(guó)畫(huà)的特點(diǎn)。

圖2 兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容切合度分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)比可知：人教版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)切合度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為32、42、8，各自占的百分比分別為39.02%、51.22%、9.76%；而北師大版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)切合度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為25、55、4，各自占的百分比分別為29.76%、65.48%、4.76%.在“低切合度”和“高切合度”水平上人教版比北師大版分別高9.26和5.00個(gè)百分點(diǎn)，而在“中切合度”水平上北師大版卻比人教版高出14.26個(gè)百分點(diǎn).

兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題與內(nèi)容的切合度差異略大.90%以上的例題屬于低、中切合度，每個(gè)例題都含有重要的知識(shí)點(diǎn)，教科書(shū)中的例題選擇注重知識(shí)的連貫性和綜合性，同時(shí)又以低、中切合度為主，高切合度交叉相配合的編排方式，充分反映了我國(guó)教科書(shū)中例題的選擇和編排層次的合理性.

3.例題復(fù)雜度的比較

例題的復(fù)雜度（W3）是指例題本身的程序復(fù)雜性，通常以用通性通法來(lái)解決問(wèn)題時(shí)的步驟數(shù)來(lái)衡量.因此，本研究采用運(yùn)算與推理步驟，解題方法個(gè)數(shù)來(lái)作為衡量問(wèn)題復(fù)雜性的重要指標(biāo).鑒于初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中的例題基本上是簡(jiǎn)單的符號(hào)運(yùn)算、推理，例題設(shè)問(wèn)、解法通常較簡(jiǎn)單，且例題編碼時(shí)按題目單位計(jì)量，將例題復(fù)雜度賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表5所示.

表5 例題復(fù)雜度的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域的例題復(fù)雜度的數(shù)量，如表6所示.

表6 例題復(fù)雜度的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)人教版與北師大版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域在例題復(fù)雜度上的差異較大.為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復(fù)雜度（W3）的分布情況，特繪制柱狀圖如圖3.

圖3 兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題復(fù)雜度分布柱狀圖

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)比可知：人教版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)復(fù)雜度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為31、39、12，各自占的百分比分別為37.81%、47.56%、14.63%；而北師大版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題處在低、中、高三個(gè)復(fù)雜度上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為22、40、22，各自占的百分比分別為26.19%、47.62%、26.19%.在“中復(fù)雜度”和“高復(fù)雜度”水平上北師大版比人教版分別高0.06和1.56個(gè)百分點(diǎn)，而在“低復(fù)雜度”水平上人教版卻比北師大版高出11.62個(gè)百分點(diǎn).

兩個(gè)版本教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題在例題復(fù)雜度上各部分所占的比例差別略大.兩版本教科書(shū)中的例題的復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多，大概占總量的80%左右，高復(fù)雜度的例題因?yàn)楹卸喾N運(yùn)算和步驟，因此主要處在“相似”“銳角三角形”“圓”等這些章節(jié)中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較綜合.北師大版教科書(shū)比人教版教科書(shū)中的例題更加體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的綜合性.

三、研究結(jié)果與建議

1.兩版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度比較研究結(jié)論

通過(guò)三個(gè)影響因素對(duì)兩個(gè)版本教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度的統(tǒng)計(jì)，所得結(jié)果如表7所示.

綜上所述，根據(jù)公式W=0.40W1+0.30W2+0.30W3，結(jié)合以上數(shù)據(jù)分別求得兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度量化值為：

從總量化上看，北師大版教科書(shū)較難，人教版教科書(shū)較易.事實(shí)上，依據(jù)前述例題難度確立的原則和標(biāo)準(zhǔn)，就例題要求而言，人教版教科書(shū)中有11個(gè)例題，北師大版教科書(shū)中有6個(gè)例題是直接展示事實(shí)、概念和程序，要求學(xué)生準(zhǔn)確記憶，其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主，注重知識(shí)概念、公式的理解與應(yīng)用，操作步驟的示范性等；就例題與內(nèi)容切合度而言，兩版教科書(shū)均以低、中切合度為主，高切合度相配合的原則，注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式；就例題復(fù)雜度而言，兩版本教科書(shū)中的例題復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多，大概占總量的80%左右，只需少量的計(jì)算和運(yùn)算的推理步驟，解決方法基本沒(méi)有其他選擇；北師大版對(duì)例題復(fù)雜度要求較高，有22個(gè)例題屬于高復(fù)雜度水平例題，要求有三步或三步以上的運(yùn)算與推理，或存有兩種解決通法.

表7 兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度因素量化值表

為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題要求（N）的分布情況，特繪制分析圖如圖4.

圖4 兩版教科書(shū)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的例題難度三角形分析圖

例題是一個(gè)經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程，它的設(shè)置有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué).兩版教材例題示范性強(qiáng)，形式多樣化，通過(guò)問(wèn)題情境建立模型，解釋、應(yīng)用與拓展，通過(guò)對(duì)一個(gè)個(gè)問(wèn)題的研討，逐步展開(kāi)相應(yīng)知識(shí)的學(xué)習(xí)，這樣不僅有助于學(xué)生經(jīng)歷真正的“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，還能在此過(guò)程中逐步發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等.

人教版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題82個(gè)，北師大版教科書(shū)“圖形與幾何”領(lǐng)域共有例題84個(gè).就例題要求而言，人教版教科書(shū)例題要求系數(shù)為0.6870，北師大版教科書(shū)例題要求系數(shù)0.7143，其中人教版教科書(shū)中有11個(gè)例題，北師大版教科書(shū)中有6個(gè)例題是直接展示事實(shí)、概念和程序，要求學(xué)生準(zhǔn)確記憶，其余大多數(shù)都以程序性理解型例題為主，注重知識(shí)概念、公式的理解與應(yīng)用，操作步驟的示范性等；就例題與內(nèi)容切合度而言，人教版教科書(shū)例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5691，北師大版教科書(shū)例題與內(nèi)容切合度指數(shù)為0.5833，兩版教科書(shū)均以低、中切合度為主，高切合度相配合的原則，注重例題內(nèi)容的選擇與例題的編排方式；就例題復(fù)雜度而言，人教版教科書(shū)例題的復(fù)雜度系數(shù)為0.5894，北師大版教科書(shū)例題的復(fù)雜度系數(shù)為0.6666，兩版本教科書(shū)中的例題復(fù)雜度處于低、中級(jí)較多，大概占總量的80%左右，只需少量的計(jì)算和運(yùn)算的推理步驟，解決方法基本沒(méi)有其他選擇；北師大版對(duì)例題復(fù)雜度要求較高，有22個(gè)例題屬于高復(fù)雜度水平例題，要求有三步或三步以上的運(yùn)算與推理，或存有兩種解決通法.

人教版教材的例題示范性作用強(qiáng)，注重知識(shí)內(nèi)容的前后聯(lián)系，重視知識(shí)內(nèi)容的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，注重知識(shí)的演繹推理過(guò)程；典型性突出，例題與知識(shí)內(nèi)容更加貼近.而北師大版教材的例題的種類(lèi)形式多種多樣，結(jié)合熟悉的、有趣的生活背景，在觀察、想象、分析和推理等活動(dòng)中，以圖象表征的呈現(xiàn)方式傳遞給學(xué)生，幫助學(xué)生正確理解知識(shí)概念，逐步積累研究圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展空間觀念.

2.教科書(shū)使用建議

基于例題特征，引導(dǎo)學(xué)生變式探究.在教學(xué)中，要針對(duì)典型的數(shù)學(xué)試題引導(dǎo)學(xué)生從多角度探索問(wèn)題，這樣既能得到不同的解題方法，還能使學(xué)生通過(guò)變式獲得新的數(shù)學(xué)結(jié)論.通過(guò)有指導(dǎo)性的再創(chuàng)造活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)到探索過(guò)程中的快樂(lè)，數(shù)學(xué)結(jié)論的美妙與和諧，從而培養(yǎng)理性思維與創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”的教育目的.

教科書(shū)是課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體，是教育教學(xué)活動(dòng)中的一個(gè)“跳板”，而非“圣經(jīng)”，只有全面了解教科書(shū)的編寫(xiě)內(nèi)容，領(lǐng)悟教科書(shū)的編寫(xiě)特點(diǎn)，發(fā)展教科書(shū)中蘊(yùn)含的教學(xué)資源，靈活地、創(chuàng)造性的使用教科書(shū)，讓教科書(shū)為教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生的發(fā)展服務(wù)，才能使教科書(shū)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的好資源，成為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的動(dòng)力之源.