以形助數(shù)，讓計算教學走向深刻

殷芊

[摘 要]培養(yǎng)學生的計算能力是小學數(shù)學的重要目標，然而當前很多學生在運用計算方法進行運算時常常知其然而不知其所以然。 “數(shù)缺形時少直觀”， 以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學為例，借助直觀圖形，從形的角度刻畫描述數(shù)運算的意義，能夠把計算背后的道理以一種清晰簡潔的方式呈現(xiàn)給學生，幫助學生輕松理解算理。

[關(guān)鍵詞]以形助數(shù)；兩位數(shù)乘兩位數(shù)；算法多樣化；算理

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0003-02

一、直觀操作：多途徑解決問題

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“計算教學既需要讓學生在直觀中理解算理，也需要讓學生掌握抽象的法則，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象方法的過渡和演變過程?！币孕沃鷶?shù)的思想，能夠?qū)⒊橄蟮乃憷砼c直觀的幾何圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維有機結(jié)合起來，從而幫助學生掌握算法的同時借助直觀圖形深刻理解算理。

教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，很多教師都會直接出示課本上的例題 “12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？”，接著就要求學生用自己喜歡的方法進行求解。學生在交流自己是怎樣算的時候，往往局限于依著算式來說自己是怎樣列式的過程中，學生似乎已經(jīng)懂得了方法，卻又無法表達得很清楚。于是，我對該例題進行了創(chuàng)編：“十歲成長禮的啦啦操表演中，每行有14人，有12行，一共有多少人？”，并出示點子圖，讓學生能夠依托于點子圖清楚地表達自己的算法。

【教學片段】

師：14×12的結(jié)果究竟是多少呢？你能想辦法找到它的答案嗎？

生（齊）：能。

師：每位同學在課前都拿到了一張學習單，請大家完成學習單。

學習單內(nèi)容：

（1） 用你喜歡的方法計算14×12。

（2） 把你的想法在點子圖中圈一圈、畫一畫。

（3） 你還能想到其他方法嗎？

生1：我把12拆成6和6。先算出一半的人數(shù)“14×6=84（人）”，然后再算“84×2=168（人）”。（如圖1）

生2：我把12拆成10和2，先算“14×2=28（人）”，再算“14×10=140（人）”，最后把兩部分求得的人數(shù)合起來，即“28+140=168（人）”。（如圖2）

生3：我是把14拆成10和4，先算4個12，再算10個12，最后得到168。

這一環(huán)節(jié)的教學，鼓勵學生用已經(jīng)學過的知識獨立解決問題，并嘗試在點子圖中展示自己的計算方法。在圈畫的過程中，學生經(jīng)歷了用圖示表達算理的過程。不同算法的交流和分享，通過點子圖清晰地呈現(xiàn)在課堂上。

在匯報交流算法時，我引導學生結(jié)合點子圖進行了兩次對比：第一次對比，找尋不同算法之間的共同點，從而滲透轉(zhuǎn)化思想；第二次對比，既溝通了豎式計算與口算方法之間的聯(lián)系，也在對比中突出了豎式計算的簡潔美。

二、動靜結(jié)合：形象化理解算理

在嘗試計算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，大部分學生都能運用豎式進行計算，并且結(jié)果都正確。學生似乎已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，但從幾個學生的回答中可以發(fā)現(xiàn)，他們的方法是根據(jù)以往的知識基礎(chǔ)和學習經(jīng)驗遷移而來的，學生根據(jù)知識基礎(chǔ)和學習經(jīng)驗很容易就想到兩位數(shù)乘兩位數(shù)可以用豎式計算，但面對如何書寫乘積后的結(jié)果（第二步）十分困惑。

【教學片段】

課件出示圖3。

師：我們在點子圖中找到了計算的過程，那綠色方框里的表示的是幾個幾？

生1：8個一。

師：紅色方框里的呢？

生2： 6個十。

師：黃色方框表示1個百。

師：相同數(shù)位要對齊，這里的數(shù)位還沒有對齊?，F(xiàn)在我們讓它對齊。（如圖4）

師：再來看看這張點子圖，你有什么感覺？

生3：點子圖和豎式的結(jié)構(gòu)是一樣的。

生4：豎式計算的每一步計算結(jié)果，在點子圖中相同的位置也能找到。

師：是啊，一張神奇的點子圖幫助我們找到了計算的道理。

在學生理解算理存在困難時，教師巧妙地借助模型，利用數(shù)形結(jié)合幫助學生體會兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算的道理，并結(jié)合分形圖，引導學生觀察和思考，從而發(fā)現(xiàn)并建立數(shù)學符號與操作活動之間的聯(lián)系。結(jié)合動態(tài)圖的演示，將操作活動抽象為豎式的數(shù)學化過程，“一張會動的點子圖”再次讓學生體會豎式計算每一步的合理性，從而達到借助直觀模型理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理的目的，實現(xiàn)算理直觀化。

三、巧妙畫圖：多層次提升思維

計算練習，目的是讓學生鞏固兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理。為此，教師設(shè)計了三個層次的練習。第一層次，用豎式計算兩道題，這兩道題的選擇各自有著不同的作用。第1題“41×22”，通過追問“兩個82的含義一樣嗎？”，再次強化豎式計算的算理；第2題“12×14”是為了告訴學生，計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時可以調(diào)換乘數(shù)位置再乘一遍進行驗算。第二層次，教師選取在前測中發(fā)現(xiàn)的典型問題，鼓勵學生借助新知分析錯因，這樣，問題來源于學生，也經(jīng)學生之手解決。第三層次，讓學生自己編題，在開放中引導學生思考什么情況下積最大，培養(yǎng)學生的問題意識和解決問題能力。

【教學片段】

師：我們玩一個數(shù)學游戲。這有寫了1、2、2、3的四張數(shù)字卡片，請編一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式。能編幾道？在這么多的算式中積最大的是哪個？

（學生在進行編題的過程中，列出6種算式，得出要使積最大，則兩位數(shù)的十位必須是最大的兩個數(shù)，通過排列則有“32×21=”和“31×22=”兩種）

課上到這里就結(jié)束了，但是學生的研究卻還未止步。課后，有學生提出：“我會一種求解積最大問題的簡便方法。如圖5，把全部的數(shù)字按從大到小的順序排列在u型上，很容易就得出組成的兩位數(shù)31和兩位數(shù)22相乘得到的積最大?！?/p>

在練習中，學生再次借助圖形巧妙地解決了問題，也再次感受到圖形不僅對理解算理有幫助，也能進一步優(yōu)化解決問題的方法。

“隨風潛入夜，潤物細無聲?！睌?shù)學思想方法的滲透應(yīng)當像春雨一樣，不斷滋潤著學生的心田，能夠真正促進學生創(chuàng)造性地玩數(shù)學，讓學生自覺地依托鮮活的數(shù)去思考抽象的數(shù)。

數(shù)形結(jié)合思想不像數(shù)學知識、解題方法那樣具有某種形式，不可能靠一朝一夕、一招一式就能實現(xiàn)。因此，教師要從學生發(fā)展的全局出發(fā)，從具體教學過程著手，結(jié)合教學內(nèi)容適時適度滲透數(shù)形結(jié)合思想，使數(shù)形結(jié)合思想和其他數(shù)學思想能夠融合運用于數(shù)學活動中，這樣，數(shù)學思想方法便能“落地生根”。

（責編 金 鈴）