羅廣萍

摘 要：高等數(shù)學(xué)作為理工科大學(xué)生學(xué)習(xí)的一門重要基礎(chǔ)學(xué)科，它對(duì)幾乎所有后續(xù)的專業(yè)課，都有直接或間接的重要影響。本文針對(duì)現(xiàn)階段對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)生的認(rèn)識(shí)、老師的教授等誤區(qū)，給出一些具體的建議，希望能給本科高等數(shù)學(xué)的教育教學(xué)提供有力的參考。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)教學(xué) 教材教法 教學(xué)觀念

作為工科大學(xué)生，他們進(jìn)大學(xué)的第一門重要的公共基礎(chǔ)課，就是高等數(shù)學(xué)。在中學(xué)及之前的數(shù)學(xué)知識(shí)，是經(jīng)典的初等數(shù)學(xué)部分。進(jìn)大學(xué)學(xué)的第一門高等數(shù)學(xué)，是他們學(xué)習(xí)的第一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)。這時(shí)的數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)方法等都跟過去不一樣。還有，微積分的思想來自于兩位獨(dú)立的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲，他們的思維方式和思維習(xí)慣，跟我們東方人的方式和習(xí)慣或多或少有些不一樣。因此有相當(dāng)一部分同學(xué)在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，會(huì)明顯地感覺吃力，或不知道怎樣學(xué)習(xí)。他們還沿用中學(xué)的辦法來學(xué)習(xí)，結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)根本學(xué)不好這門課，甚至上課坐飛機(jī)。面對(duì)這種情況，專家們一直在呼吁和嘗試對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)進(jìn)行改革，但改革的效果確并不令人滿意。過去大都停留在改進(jìn)教學(xué)方法， 更新教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱，以及現(xiàn)代教學(xué)手段的一些應(yīng)用等研究較多。這樣，多年來對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，人們?nèi)酝Ａ粼诮處熢谠袛?shù)學(xué)理論里進(jìn)行局部的嘗試，沒有很好地認(rèn)識(shí)到學(xué)生的思維轉(zhuǎn)變，可能比一般教學(xué)手段更重要。這正是高等數(shù)學(xué)教學(xué)在工科數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，難以取得突破性進(jìn)展的主要原因。

從數(shù)學(xué)教育的發(fā)展歷史看，教學(xué)內(nèi)容的改變是一直要進(jìn)行下去的，這是因?yàn)槿藗儗?duì)數(shù)學(xué)以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，會(huì)隨著時(shí)間的推移而更加深入。就近現(xiàn)代而言， 世界上的數(shù)學(xué)教育改革大體上經(jīng)歷了以下三個(gè)階段：1，六十年代的“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”；2，七十年代的“回到基礎(chǔ)”；3，八十年代的“解決問題”階段。各個(gè)階段的特點(diǎn)不盡一致?！靶聰?shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”是以追求教學(xué)內(nèi)容的“高、新、全”為目標(biāo)；“回到基礎(chǔ)”階段則強(qiáng)調(diào)以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為主要教學(xué)內(nèi)容，雖然這一階段的改革使受教育者的基本技能有所提高，但仍未解決數(shù)學(xué)教育與社會(huì)發(fā)展不相適應(yīng)的矛盾；“解決問題”階段則以強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，力求使學(xué)生學(xué)到現(xiàn)代及不久的將來所需的必要的基礎(chǔ)知識(shí)，并有解決實(shí)際問題的能力。這正是現(xiàn)在我們大學(xué)數(shù)學(xué)所處的數(shù)學(xué)教育歷史階段，高等數(shù)學(xué)的教育教學(xué)顯得尤為突出。無論以上的發(fā)展經(jīng)歷是什么，也不管這些改革是在什么條件下發(fā)生的， 這些變革都以改變教學(xué)內(nèi)容為根本目標(biāo)，不改革教學(xué)內(nèi)容就不能促及真正的改革。我們簡單地從以下幾個(gè)方面來談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)的教育教學(xué)中應(yīng)該注意的問題。

一、學(xué)以致用的原則

在跟學(xué)生交談中，隨機(jī)抽取幾個(gè)學(xué)生問一下他們“你認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是什么？”他們有很多回答，主要有做題和考試，鍛煉思維的邏輯性、完全性等。如果學(xué)生是這樣來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的，那他們是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。我們要大聲地告訴他們：數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，現(xiàn)代的科技也好，高科技也罷，無一能離開數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的用處在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，慢慢來灌輸。在學(xué)生學(xué)習(xí)到不同的知識(shí)階段、不同知識(shí)點(diǎn)，告訴學(xué)生這是什么，用在我們生活中的什么地方。比如學(xué)習(xí)了函數(shù)的連續(xù)性，你可以告訴他，可以用函數(shù)的連續(xù)性來判定兩輛相撞的汽車，如果一輛車被撞破了，另一輛沒破，那就說明破裂的車輛受損更嚴(yán)重，因?yàn)榘阉驳貌贿B續(xù)了。有如又一次，一個(gè)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目的答辯，一個(gè)學(xué)生在演示無人機(jī)從運(yùn)動(dòng)場的一端飛到另一端，去抓取一個(gè)預(yù)先放置好的水杯。無人機(jī)很快飛到水杯正上方，然后盤旋了很久，始終無法下降下去抓取水杯。經(jīng)過了十多次的努力嘗試，最后終于抓取到了水杯。答辯委員中，工科老師說你只是實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)抓取水杯的功能，沒有什么創(chuàng)新。我問他，無人機(jī)為什么要盤旋那么久才下降去抓水杯，他說因?yàn)樾盘?hào)的精度，無人機(jī)沒法準(zhǔn)確判斷水杯的具體位置，所以在一次次地嘗試。我問他為什么不提高信號(hào)的精度，他說沒學(xué)過。我就告訴他，這在高等數(shù)學(xué)中能找到答案，他表示不相信。在高等數(shù)學(xué)中，應(yīng)該較早就學(xué)習(xí)了泰勒展式，如果你的信號(hào)是光滑的，能夠展開成收斂的泰勒冪級(jí)數(shù)，那么就只需要在信號(hào)處理時(shí)，多加上幾項(xiàng)多項(xiàng)式就能夠體高精度；如果你的信號(hào)不那么光滑，不能展開成收斂的冪級(jí)數(shù)，那么盡量想辦法把信號(hào)延拓成周期函數(shù)，然后就用傅里葉展開，將你延拓成周期函數(shù)的信號(hào)，展開成傅里葉冪級(jí)數(shù)，你只要在處理信號(hào)時(shí)，多用幾項(xiàng)三角函數(shù)就行了，這樣也可以提高信號(hào)的精度。如果我們在講授高等數(shù)學(xué)時(shí)，每講到一定的知識(shí)點(diǎn)，告訴學(xué)生數(shù)學(xué)的作用，那學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性就會(huì)大增。

二、多樣化的教學(xué)手段

對(duì)于長期從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的老師而言，他們己經(jīng)習(xí)慣了粉筆加黑板的教學(xué)方式，當(dāng)然這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式，應(yīng)該是一種行之有效的教學(xué)模式，不能否認(rèn)它的優(yōu)越性，簡單、直接，并且學(xué)生比較容易跟上教師的思路。但是在具體的教學(xué)中，過于單一的教學(xué)手段，一支粉筆寫到底的方式，往往讓學(xué)生疲勞。這樣教師學(xué)生都感覺很累。因此建議采用多媒體與板書結(jié)合型教學(xué)模式。一些概念的引入、圖形拘繪制等。例如重積分的計(jì)算部分，尤其是空間區(qū)域上的積分，需要將空間區(qū)域畫出來。采用純板書式教學(xué)既浪費(fèi)時(shí)間，而且很難作得比較準(zhǔn)確，學(xué)生往往也不容易想象出幾何圖形的空間結(jié)構(gòu)。而多媒體教學(xué)的合理引入，甚至可以用PPT文件的形式，就能夠大大改善教學(xué)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，關(guān)鍵是提高了效率。當(dāng)然采用多媒體教學(xué)只是一種新的教學(xué)手段，它不能完全替代傳統(tǒng)的板書教學(xué)模式，只能是一種輔助式教學(xué)方式。在定理的證明，必要的演算過程中，很不適宜用多媒體，因?yàn)榘鍟^程學(xué)生會(huì)跟上教師的思路，而不單是一個(gè)照相機(jī)，把老師講解的內(nèi)容復(fù)制下來。只有把傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教師個(gè)人教學(xué)特點(diǎn)和多媒體輔助教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，我們認(rèn)為教學(xué)效果才能真正體現(xiàn)。

三、富于變化的教學(xué)形式

在傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)中，往往是老師教、學(xué)生聽，然后老師評(píng)講。學(xué)生不要去懷疑老師講的內(nèi)容。學(xué)生往往認(rèn)為老師講的都是正確的，并且要用來考試，這是他們學(xué)習(xí)的目的。學(xué)生長期以來就養(yǎng)成全盤接受的心理。這種滿堂灌、保姆式的教學(xué)活動(dòng)，這會(huì)養(yǎng)成學(xué)生對(duì)老師的嚴(yán)重依賴，更不利于他們創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)和養(yǎng)成。創(chuàng)新性產(chǎn)品是現(xiàn)在的產(chǎn)品不盡如人意，通過重新設(shè)計(jì)改進(jìn)缺點(diǎn)，達(dá)到更完善的地步；或者現(xiàn)實(shí)生活中還沒有，從零開始創(chuàng)造出一個(gè)全新的產(chǎn)品。如果一個(gè)認(rèn)為別人做出來的都是對(duì)的，沒有改進(jìn)的余地的人，很難想像他能在以后的生活中創(chuàng)造出更合理的創(chuàng)新型產(chǎn)品。針對(duì)以往相對(duì)較死板的教學(xué)模式，我們就需要設(shè)計(jì)出一種更合理的教學(xué)方式，這樣才能培養(yǎng)出創(chuàng)新性人才。總的思想是：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)探尋真相。經(jīng)過實(shí)踐，學(xué)生將書本上一些定理原有的證明過程，給出了另外的更為簡單的證明；還從書上的某些定義、定理出發(fā)，得到了新的定理。比如將一門課根據(jù)內(nèi)容的難易程度、重要程度等，分為講授課、自學(xué)探索課等等。講授課一般是課程中比較經(jīng)典的、較難較重要的部分這部分有老師講解。經(jīng)典定理的理解與證明是由教師講授一些基本的現(xiàn)象，讓學(xué)生總結(jié)出抽象的定理形式。在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)特殊現(xiàn)象的定理的證明的加工、抽象，就得到所需定理的證明。比如《線性代數(shù)》中的維數(shù)定理、特征子空間的分解等等。自學(xué)探索課一般是學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)過類似的課程，或者這部分內(nèi)容應(yīng)用比較強(qiáng)，理論較較弱，可以考慮為自學(xué)探索內(nèi)容。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師擬定專題討論方向，給出一些參考題目，學(xué)生通過查閱文獻(xiàn)、收集摘取相關(guān)資料，總結(jié)后形成自己的觀點(diǎn)。然后按照自愿的方式讓學(xué)生發(fā)表演講。在這一環(huán)節(jié)中，要做好兩點(diǎn)，一是控制陳述時(shí)間，下限10分鐘，上限15分鐘，既要杜絕敷衍了事，同時(shí)也要求學(xué)生將豐富的內(nèi)容濃縮為精華，而不是長篇大論，這是對(duì)學(xué)生判斷力、概括力等智能的極好開發(fā)。在課堂討論中，教師作為教學(xué)的組織者、引導(dǎo)著，不能任意干預(yù)課堂，從分發(fā)揮民主，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生討論問題的熱情，否則難以培養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)新動(dòng)力和思想。也要適時(shí)的關(guān)注討論的情況和走勢，適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，盡可能不要走進(jìn)死胡同，始終讓討論處于歡快熱烈的狀態(tài)。

四、適當(dāng)學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)史

偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，在數(shù)學(xué)的幾乎所有分支中，都有重要的貢獻(xiàn)，我們常常會(huì)聽到以歐拉名字命名的歐拉公式、歐拉常數(shù)等等。他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。甚至人們認(rèn)為：沒有歐拉的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，今天的我們將過著完全不一樣的生活。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯則認(rèn)為：“讀讀歐拉，他是所有人的老師”。我國已故著名數(shù)學(xué)家、機(jī)器證明的發(fā)現(xiàn)者吳文俊先生說過：“數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史是分不開的?！被诖耍趯?shí)際教學(xué)活動(dòng)中，適當(dāng)增加一點(diǎn)數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)，對(duì)學(xué)生在知識(shí)理解的深度和廣度方面，將很有幫助，并且也使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)顯得生動(dòng)而易于接受，使得學(xué)生不會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是刻板的，而是活生生的。偉大的數(shù)學(xué)家也有我們常人一樣的生活、工作情趣。例如，微積分基本公式是數(shù)學(xué)史上的偉大創(chuàng)造，是由牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立的從微積分各種不同側(cè)面來思考問題的：一個(gè)從物體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)如何表達(dá)；另一個(gè)從幾何的觀點(diǎn)入手，如何表達(dá)一條光滑曲線的切線。這樣學(xué)生便于理解和運(yùn)用微積分。

五、分專業(yè)的教學(xué)模式

工科類大學(xué)的專業(yè)，大多數(shù)是有工程應(yīng)用背景的。雖然工程專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)的要求很高，它們也常常將數(shù)學(xué)作為一門最重要的公共基礎(chǔ)課，但具體對(duì)不同專業(yè)，它們也有很多側(cè)重點(diǎn)不一樣。比如機(jī)械工程專業(yè)，工程力學(xué)要求很高，對(duì)數(shù)學(xué)的積分以及平面第一、二型曲線積分，空間第一、二型曲面積分要求很高；又比如對(duì)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)，需要宏觀經(jīng)濟(jì)、微觀經(jīng)濟(jì)，以及若干的如布萊克-修爾斯經(jīng)濟(jì)定價(jià)模型等等，對(duì)微分以及微分方程的學(xué)習(xí)要求比較高。因此高等數(shù)學(xué)課應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的相結(jié)合，當(dāng)然教師需要深入研究各專業(yè)的具體教學(xué)計(jì)劃、課程設(shè)置、培養(yǎng)目標(biāo)、專業(yè)能力及知識(shí)要點(diǎn)，必要的時(shí)候，也可以聽聽各專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，做到有的放矢。如在計(jì)算機(jī)專業(yè)講授高等數(shù)學(xué)課程，可以結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)內(nèi)容，重點(diǎn)講授分段函數(shù)、不連續(xù)函數(shù)以及微積分中的數(shù)學(xué)思想；在講到微分的幾何意義時(shí)，可以在管理專業(yè)多介紹一點(diǎn)，因?yàn)楣芾碇幸婕暗竭呺H效用函數(shù)，這時(shí)微分定義出來的概念。

不同專業(yè)的學(xué)生的興趣、愛好及發(fā)展方向各不相同。當(dāng)然針對(duì)所有不同專業(yè)，都制定出一個(gè)相應(yīng)的授課計(jì)劃，這將也許是最好的教學(xué)模式，但實(shí)際做不到，因?yàn)槿魏螌W(xué)校不可能有如此充沛的教師資源。但 就大類來講，我們還是有一些辦法的，比如我們可以按照工學(xué)、理學(xué)、經(jīng)濟(jì)、人文學(xué)科等分成大類。針對(duì)大類來制定相應(yīng)計(jì)劃。當(dāng)然也可按國家的大類招生的辦法來制定教學(xué)計(jì)劃。對(duì)某些邏輯思維能力要求較高的專業(yè)如計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生而言，尤其是學(xué)習(xí)算法語言時(shí)，需要很好的數(shù)理邏輯，這為后繼課程打好堅(jiān)實(shí)的理論與實(shí)際操作基礎(chǔ)。而對(duì)某些側(cè)重于應(yīng)用技術(shù)性專業(yè)的學(xué)生而言，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)上可以適度地降低對(duì)思想方法上的要求，但要加強(qiáng)他們在數(shù)學(xué)的計(jì)算能力，這有利于他們以后在計(jì)算工件尺度、力的結(jié)構(gòu)承受等都有很多幫助。教學(xué)是一門藝術(shù)，尤其對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)更是這樣。它需要廣大的高等數(shù)學(xué)教育工作者傾注更多的精力來完成這項(xiàng)工作。

參考文獻(xiàn)：

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