【摘 要】 2009年,美國眾議院正式通過一項無約束力決議,將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”,緣何如此對待這么一個普通的日子,原來它與一個叫“圓周率”的“π”有關(guān).思想π的歷史內(nèi)涵,回想π的前世今生,念想π的人文意蘊,暢想π的現(xiàn)代價值.π這個古怪的精靈,伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,促進了數(shù)學(xué)體系的完整.人類將進一步探索其奧秘,不久的將來,人們一定會沖破只用π來檢驗人的記憶力和考驗計算機的計算能力與完整性的束縛,有新的發(fā)現(xiàn),為華美的樂章增添更優(yōu)雅的旋律,真是天地古今一“π”!
【關(guān)鍵詞】 圓周率;歷史內(nèi)涵;人文意蘊;現(xiàn)代價值
1 π的紀(jì)念日
3月14日,一個普通的日子!然而2009年,美國眾議院正式通過一項無約束力決議,將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”.決議認(rèn)為,“鑒于數(shù)學(xué)和自然科學(xué)是教育當(dāng)中有趣而不可或缺的一部分,而學(xué)習(xí)有關(guān)π的知識是一教孩子幾何、吸引他們學(xué)習(xí)自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的迷人方式……因此3月14日是紀(jì)念圓周率最合適的日子”.什么時刻最好呢?有三種選擇:下午1點59分,下午15點09分,凌晨1點59分.有的國家在3月1日下午4點15分開始慶賀,總之就是圍繞3.14159“折騰”.匪夷所思的是,那么多國家,那么長時間,那么多人,卻為一個“數(shù)”而慶賀,到底有什么耐人尋味的意蘊呢?
2 π的歷史內(nèi)涵
π是什么?是圓周率.圓周率是什么?圓周率就是圓的周長與其直徑的比值,是刻畫圓這類圖形最重要的數(shù)據(jù).在人類的歷史長河中,常常要求一個封閉圖形的面積,矩形的面積是長×寬,梯形的面積是12(上底+下底)×高……,那么以某點為圓心,以某個長度為半徑旋轉(zhuǎn)一周,所得到的圓的面積是多少呢?其中有一個“比值”很重要,它到底是多少?為了這個答案,古人進行了幾千年的苦苦探索,直到“韋達公式”:2π=22·2+22·2+2+22·…出現(xiàn),標(biāo)志著人類可以把圓周率精確到任意位數(shù),這要感謝法國數(shù)學(xué)家韋達,是他第一個給出π的表達式的.
π還有什么用?π僅僅只能用來求圓的面積嗎?顯然不是,還可以求圓的周長,還可以求球的體積、表面積、扇形的弧長……后來人們體會到,探討任何物體的形狀和運動,只要涉及“彎曲”、“轉(zhuǎn)動”、“角度”等,都要用到圓周率.另外,因為圓有許多重要的性質(zhì),人類很早就認(rèn)識了圓,使用了圓.如車輪做成圓形的,車子行駛起來,才能平穩(wěn)且省力;碗、盆做成圓的,好拿,且不易損壞,同樣多的的材料,數(shù)圓形的碗裝的東西最多……
π有時還會和其他數(shù)字聯(lián)袂上演,并且精彩紛呈,歐拉公式eiπ+1=0就是一個真正的經(jīng)典,這個公式看上去一目了然,但卻深奧得難以置信.它包括五個最重要的數(shù)字常數(shù)——0(加法恒等元)、1(乘法恒等元)、e和π(兩個最常見的超越數(shù))以及i(虛數(shù)單位).另外公式還包括三個最基本的算術(shù)元算——加法、減法和次方.當(dāng)代世界數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究所的戴維·玻西教授表示:“鑒于e、π與i都非常復(fù)雜且看似極不相關(guān),他們能通過這個簡潔的公式聯(lián)系起來真的很驚人.一開始你可能沒有意識到他所帶來的影響力,這是一個漸近的影響.或許就像聽一首樂曲那樣,當(dāng)你了解到樂曲的全部潛能后,突然間它變得非常了不起.”他還說,數(shù)學(xué)美是“靈感”的源泉,它讓你有探索未知事物的熱情.
圓周率的重要性和普遍性可想而知,問題在于怎樣求出它的準(zhǔn)確值.
3 π的前世今生
據(jù)史學(xué)家考證,人類最早是用樹杈來劃圓的.我國的《墨經(jīng)》大約是公元前4世紀(jì)——3世紀(jì)的自評.在這本書中最在給出料圓的定義:圜,一種同長也.這個“圜”,就是“圓”,意思是說:圓就是圓周上的點到圓心的距離都相等.這個定義后人現(xiàn)代圓的定義基本相同.
π到底是多少?現(xiàn)在我們知道了,π是一個無限不循環(huán)小數(shù),在計算中,一般取3.14作為它的近似值.早在三千五百年前,巴比倫人就知道取直徑的三倍為圓周長,他們?nèi)〉玫摩惺?,在公元前2世紀(jì)問世的我國天文學(xué)專著《周髀算經(jīng)》中提出“徑一周三”,意思說直徑一個單位時,圓周長為三個單位.也取π為3,古埃及人使用的圓周率是3.16.古羅馬人使用的圓周率是3.12.著名的古希臘學(xué)者阿基米德,曾取π為317.我國魏晉時期的劉徽(公元263年)創(chuàng)造的用割圓術(shù)求圓周率的方法,影響很大,割圓術(shù)具有工具論和認(rèn)識論的雙重價值,是一座永不枯竭的寶礦.
劉徽是如何割圓的呢?首先在圓內(nèi)作一個正六邊形,由于內(nèi)接正六邊形的每條邊長都等于半徑,因此,六邊形的周長等于三倍的直徑.這顯然過于粗糙,他把圓內(nèi)正六邊形每邊所對的弧平分——割圓,將割到的六個點與原來的六個點順次鏈接,得到一個圓內(nèi)接正十二邊形,正十二邊形更接近圓的周長,如此再割,一直算到圓內(nèi)接正一百九十二邊形,算得的圓周率的近似值是3.14.劉徽的割圓術(shù)是可行的,其貢獻不只是提供了更精確的圓周率,還在于它為計算圓周率提供了正確的方法.原理如下:
如果把從正六邊形開始,逐次加倍的正多邊形的邊長記為數(shù)列an,則
如圖,O是圓心.根據(jù)垂徑分弦定理,OB′⊥AB,記垂足為M,并記第n個內(nèi)接正多邊形的邊長為an.則在等腰△AOB′中,AM是腰上的高,其長度等于an2.△AMB′和△AMO都是直角三角形.容易得到
an+1=AM2+MB′2=2R2-R4R2-a2n .
又“第一個”正多邊形是正六邊形,其邊長等于R,即a1=R.
a1=R,
an+1=2R2-R4R2-a2n,……
注意到,第n個多邊形的邊數(shù)為6×2n-1,此多邊形的周長為Cn=6×2n-1an.用這個多邊形,可計算出圓周率的值為πn=Cn2R=3×2n-1anR.如果能求出an的通項公式,則可把π用n表示,而得到一個數(shù)列πn,求極限即可得到π值(即劉徽所言“割之彌細(xì),所失彌少,割而又割以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”).
劉徽之后,研究圓周率最有名的的是我國南北朝時期的祖沖之在公元480年左右計算的圓周率,準(zhǔn)確到小數(shù)點后七位:3.1415926<π<3.1415927.他使用的是一種叫“綴術(shù)”的方法,可惜這種方法早已失傳,無從查考.用這個圓周率計算一個半徑為10千米的圓面積,誤差不超過幾平方米.祖沖之是世界上第一個把圓周率算到小數(shù)點后七位的數(shù)學(xué)家,差不多過了800年,西方才有人把圓周率計算得更為精確.人們把3.1415926叫做“祖率”.
人們希望算出更為精確的圓周率,于是16世紀(jì)德國有個叫盧道夫的數(shù)學(xué)家,花費了畢生精力,把圓周率算到了小數(shù)點后35位.
3.14159265358979323846264338327950288.他去世后,按照他的遺囑,這個數(shù)字被刻在他的墓碑上.
1841年,英國的威廉·盧瑟福計算到208位;后來發(fā)現(xiàn)只有前152位是正確的;
1844年,德國的達瑟把π值算到400位小數(shù);
……
1949年,馬利蘭德使用計算機,計算到2037位;
……
2002年,日本東京大學(xué)信息基礎(chǔ)中心宣布,他們已將圓周率計算到了小數(shù)點后12411億位,假設(shè)1秒鐘讀4位,讀完這個圓周率需要花費1萬年.
……
計算π的最為稀奇的方法之一,要數(shù)法國博物學(xué)家C·蒲豐的投針實驗了.1777年的一天,C·蒲豐忽發(fā)奇想,把許多賓朋邀請到家中,做了一個叫人感到奇怪的試驗,他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙,鋪在桌面上,又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長度為平行線距離一半的小針,請客人把小針一根一根的隨便地仍在紙上,而蒲豐則在一旁專注觀察著記著數(shù),投完后統(tǒng)一計數(shù),共投2212次,其中與任意平行線相交的有704次,蒲豐又做了一個簡單的除法,2212÷704=3.142然后宣布:“這就是圓周率的近似值”,所有的賓朋都驚呆了,這簡直是不可思議!這就是著名的蒲豐投針試驗.1901年,意大利人拉查尼投了3408次,得出估計值是3.1415929,已很接近祖沖之的密率.
除了用實驗法和幾何法以外,16世紀(jì)的科學(xué)家們開始利用無窮級數(shù)或無窮連乘積來計算π,產(chǎn)生了許多十分驚人的優(yōu)雅公式,除了前面提到的韋達公式,1650年,英國數(shù)學(xué)家J·沃利斯將π表示為
π2=2·2·4·4·6·6·8·8·10·10·12·12…1·3·3·5·5·7·7·9·9·11·11·13…
他是最早用解析法研究π的英國人,他被稱為“代數(shù)之父”.其實,用現(xiàn)代的積分知識,就是
∫101-x2dx=π4.更妙的是歐拉利用有限與無限的類比求得:
π6=1+14+19+116+125+136+…
這個公式的證明具有十分重要的方法論意義.
再后來,人們開始利用計算機計算π的值,這得感謝對數(shù)學(xué)充滿熱情的數(shù)學(xué)家拉馬努金(1887—1920),是他給出來了關(guān)于π的計算公式.數(shù)學(xué)家為什么沒完沒了地去計算圓周率的值呢?說不清,只能慢慢品味.更有趣的是,還有許多多人以能記住圓周率的多少位感到自豪,還經(jīng)常比賽,真是有趣!
4 π的人文意蘊
如果一個數(shù)等于除它本身以外的全部因子之和,則稱之為完全數(shù),如6(=1+2+3),28(=1+2+4+7+14),496(=1+2+4+8+31+124+248),812833550336(前四千萬個正整數(shù)中才有五個)等,從第四個到第五個完全數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)過了一千多年,到1999年,借助于計算機,也只還發(fā)現(xiàn)了38個完全數(shù).然而令人感到驚奇的是π數(shù)值取小數(shù)點后面三位數(shù)相加是第一個完全數(shù),小數(shù)點后七位數(shù)相加正好等于第二個完全數(shù).居然有如此的聯(lián)系,難道不足以令人驚訝嗎?
根據(jù)圓周率π的探索過程和它所催生的數(shù)學(xué)思想以及精美表達式,我們已經(jīng)領(lǐng)略了π在數(shù)學(xué)知識體系中的作用.圓周率是一座迷宮,讓人流連往返;圓周率像一首詩,給人無限遐想;圓周率似一支歌,使人陶醉、催人奮進!數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾講過一個有趣的故事,說當(dāng)代的數(shù)論大師 A·塞爾伯格聲稱他喜歡數(shù)學(xué)的一個緣由,是下面的公式打動了他:
π4=11-13+15-17+……
奇數(shù) 1、3、5、…這樣的組合可以給出π,這個公式宛如一幅美麗的畫和一首動人的歌,激發(fā)著一個人的情感,愿意為數(shù)學(xué)奮斗一生.
5 π的現(xiàn)代價值
人們對這個數(shù)字推算得如此精確,有意義嗎?實踐證明,π的精確可以檢驗超級計算機的硬件和軟件的性能,其計算的方法和思路還可以引發(fā)新的概念和思想.在很長的歷史時期內(nèi),π的研究代表了一個國家的數(shù)學(xué)發(fā)展水平,但凡新建立的數(shù)學(xué)學(xué)科,只要有可能,總會首先用自己的理論把π研究一番(比如概率論和計算機學(xué)科等).這說明π仍然具有巨大的研究價值.事實上,就數(shù)學(xué)的發(fā)展而言,一個國家所得到的的π值得精確程度,可以看作衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的一個標(biāo)志.同時π也是文化的一面鏡子,人們對π的精確追求是一種智力探索的激勵,是人們鍥而不舍精神的追求,是一種博大的奮斗之美.更重要的是,在人們的感知中,這種關(guān)于π數(shù)值無窮無盡的探索奇妙無窮.實際上,π和珠穆朗瑪峰一樣都是客觀存在,人們精確測算出其數(shù)值,因為人們無法回避它的存在.正如數(shù)學(xué)家J·紐曼所言:“數(shù)學(xué)最抽象最無用的研究被人們發(fā)展了一段時間之后,常常被其他部分所俘獲,成了解決問題的工具.”利用π的超越性解決了三大幾何難題之一的“化圓為方”問題,就是明證.
π原本來自圓的幾何學(xué),但它反復(fù)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理、統(tǒng)計、工程、建筑、生物、天文,甚至藝術(shù)范疇中.在聲波和海浪的節(jié)奏中,也隱藏著圓周率的身影.很多和圓無關(guān)的數(shù)學(xué)難題要靠圓周率解決;小至原子結(jié)構(gòu),大至恒星運動等自然現(xiàn)象的研究也要靠圓周率幫忙,神奇的π無所不在!
從有文字記載開始,圓周率就引起了古今中外學(xué)者們的興趣.幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo),古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻出了自己的智慧和勞動,為求得圓周率的值,人類走過了漫長而曲折的道路,它的歷史是饒有趣味的.
波蘭著名女詩人,諾貝爾文學(xué)獎獲得者維斯拉瓦·申博爾斯卡在其題為 “π”的詩中是這樣贊美的:
地球上最長的蛇不過四十英尺,
神話和傳說中的蛇也無分軒輊,
組成π的數(shù)字列隊行進逶迤,
它不會在頁邊棲息,
它會繼續(xù)越過書桌,
穿過空氣越過墻壁、樹葉、鳥巢、云霓
直上九霄……
π,這個古怪的精靈,伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,促進了數(shù)學(xué)體系的完整.人類將進一步探索其奧秘和規(guī)律性,不久的將來,人們會沖破只用π來檢驗人的記憶力和考驗計算機的計算能力與完整性的束縛,也許會有新的發(fā)現(xiàn),為華美的樂章增添更優(yōu)雅的旋律.
π像一首朦朧的詩,像一曲悠揚的樂章,又像一座入云的高山,讓人遐想,讓人陶醉,人人奮進,攀登不息.
真是天地古今一“π”!
作者簡介
劉權(quán)華(1967—),男,籍貫江蘇盱眙,南京市教育科學(xué)研究所,科研員,中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師,教育碩士,南京市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人,江蘇省“333”高層次人才工程中青年科學(xué)技術(shù)帶頭人,發(fā)表教育教學(xué)論文50余篇.主要研究方向:高中數(shù)學(xué)教育教學(xué),教師發(fā)展研究.