季沈玲

[摘 要] 學習者自身必須具備一定的認知才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對某些特征進行辨認和察覺，數(shù)學教師在實際教學中應善于引導學生在各種知識點之間進行觀察、比較和分析并因此達成對知識的深刻理解與感悟.

[關鍵詞] 無理方程；比較；感悟

教師在無理方程的教學中如果能夠引導學生對知識進行分析、推理和判斷，就能夠幫助學生將新知識與原有知識結構進行更好的融合，使得學生能夠在自己發(fā)現(xiàn)知識規(guī)律的過程中進一步提高思維能力. 不同方程、方程的不同解法、式與方程之間的比較歸納能使學生牢固掌握知識的同時獲得更多的感悟和反思.

教學片段

1. 引導學生在方程左右兩邊的比較中感悟“列方程”的實質(zhì)

在問題情境中引出無理方程及無理方程的概念是本課教學的一個主要目標.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境問題.

問題：已知一根細鐵絲長為30厘米，將其彎折成一個直角三角形并使其直角邊長為5厘米，應如何彎折呢？

師：題中所說的如何彎折表達的是什么意思？

生：求邊長.

師：解題中需要引進未知數(shù)嗎？如果設另一直角邊是x厘米，那么方程應該怎樣列呢？

生：由勾股定理可得：52+x2=（30-5-x）2，即52+x2=（25-x）2 ①.

師：還有其他的方式可以表達斜邊嗎？

師：那大家能列出跟①式不一樣的方程嗎？

師：大家有沒有想過方程②左右兩邊指的是什么呢？這一方程的列出對后續(xù)學習有什么意義呢？

生：不同的表達方式表示的都是直角三角形的斜邊.

師：大家可以歸納列方程的實質(zhì)嗎？

生：用兩種不同的方式對問題中的同一個量進行表達并在兩種不同表達方式中間加上“=”就能得到方程.

師：上述題目還可以從其他角度來考慮嗎？

2. 引導學生在列方程的過程中感悟無理方程的基本特征

上面我們討論出的三個方程中包含了有理方程和無理方程，對這三個方程進行進一步的比較能夠得出無理方程的概念并令學生印象深刻.

環(huán)節(jié)2：在比較中得出無理方程的本質(zhì)特征與概念.

師：大家覺得上述三個方程中最引人注意的是哪個呢？

生：②或③.

師：為什么？

生：含有根式且根式下的內(nèi)容是包含未知數(shù)的代數(shù)式，以前沒學過.

實踐證明，學生沒有接觸過的形式能很好地吸引住他們，因此，教師可以把握學生的這一心理特點并將無理方程、初等代數(shù)方程的概念及時拋出，隨后再安排一定的練習幫助學生在比較中鞏固概念的理解和掌握.

判斷：下述方程中有關于x的無理方程嗎？

3. 引導學生在一題多解的比較中感悟解題原理與思路

環(huán)節(jié)3：觀察、比較方程并探尋解法.

師：大家再觀察一下上述我們討論出的三個方程，②和③之間有沒有聯(lián)系呢？

生：它們是一樣的.

師：說完整了就是方程③經(jīng)過等價變形是可以轉化成方程②的，那大家再看看方程①和方程②呢？

生：方程②可以通過方程①的兩邊開方而得到.

師：也就是說如果a2=b2，就有a=b，大家覺得對嗎？

生：不對，如果a2=b2，則有a=b或a= -b，所以說方程①可以把方程②的兩邊平方來得到.

師：也就是說如果a=b，則有a2=b2，這樣說對嗎？

生：對.

師（同時板書）：解無理方程就是將方程兩邊平方將其轉化成有理方程再求解.

4. 引導學生在變式比較中感悟驗根的必要

環(huán)節(jié)4：實踐比較.

在學生自主解題之時設問：例2中兩個方程并不相同，但其根卻是一樣的，為什么呢？

學生很快在觀察與比較中感悟到方程的非同解變形會使方程根的范圍擴大，所以此時就需要驗根了.

5. 引導學生在一般和特殊的比較中感悟“通法”和“巧法”

解無理方程通常會用的“平方法”在教學中應得到一定量的練習和鞏固，但教師在實際教學中也應警惕學生因為“平方法”的運用而形成思維定式.

環(huán)節(jié)5：自主練習與比較.

上述三個方程中的前兩個只需要一般的解法——平方法就可以解決，只是第（2）小題的解決不能把“2”的平方給疏忽掉，但（3）這個特殊的無理方程運用簡單平方的解法卻是比較盲目的，這三個方程的解決能夠幫助學生鞏固方法的同時克服思維定式所引起的負遷移.

6. 引導學生在分式方程和無理方程的比較中感悟化歸思想

環(huán)節(jié)6：類比分析化歸思想.

師生總結，得出結論：

7. 引導學生在“方程”和“式”的比較中感悟知識內(nèi)在關聯(lián)

環(huán)節(jié)7：比較中得出方程的知識結構.

教學反思

1. 感受比較法在教學中的價值

教育家馬登（F. Marton）曾經(jīng)發(fā)表過學習就是鑒別的著名觀點，鑒別又必須建立在比較的基礎之上，學習者自身必須具備一定的認知才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對某些特征進行辨認和察覺，數(shù)學學習中自然也少不了“比較”這一方法運用.

本節(jié)課中無理方程的概念形成、解法、驗根等諸多內(nèi)容的研究都是在比較法的運用下形成的，學生在教師的引導下觀察、比較、思考、判斷并自主得出結論. 比如，分式方程與無理方程的解法比較中得出共同的思想方法.

2. 教師應善于運用比較教學

比較法的應用首先還得建立在材料之間是否具備一定的可比性，并且這種可比性是否能夠為學習者所發(fā)現(xiàn)，因此，教師在實際教學中首先要選擇內(nèi)容或形式上具有一定聯(lián)系的材料，不管這種聯(lián)系是相似的，還是相關的. 發(fā)現(xiàn)材料之間的聯(lián)系從某種程度上說是比較關鍵的環(huán)節(jié). 數(shù)學內(nèi)容之間存在緊密聯(lián)系是數(shù)學這門學科最重要的一個特征. 比如，數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式這些代數(shù)知識之間就存在著很明顯的脈絡關系，其中函數(shù)概念在式、方程、不等式、數(shù)列這些中學數(shù)學的重要內(nèi)容中就起到了很好的紐帶作用；再比如，三角形這一最基本的幾何圖形的研究方法和基本性質(zhì)在后續(xù)四邊形、多邊形的解題中都會得到應用，后續(xù)很多內(nèi)容的研究都必須建立在三角形這一基本圖形的化歸中解決. 因此，教師在實際教學中應善于在比較中發(fā)現(xiàn)各知識點之間的聯(lián)系，在比較中將事物的不同點進行揭示和區(qū)分并得出其各自所具備的特殊性質(zhì)或特征. 比如，有理方程與無理方程就是通過比較得出不同特征后而獲得的. 因此，教師在實際教學中既要研究各知識點之間的聯(lián)系以達成知識點之間的轉化，同時還應對其不同進行研究以獲得各知識點的不同之處.

是否善于比較還在于是否能夠?qū)ふ页霰容^合適的角度進行比較，不管是探尋對象之間的共同特征，還是探尋對象之間的差異或規(guī)律，或許探尋的目的各有不同，但這都需要選擇一定的視角才能更好地觀察、比較、分析和概括. 比如，教師在概念教學中就應該對一組對象進行觀察、比較并發(fā)現(xiàn)這些對象所具備的共同特征，繼而歸納概括得出；再比如，教師在解題教學中就應該對例題或習題進行比較并引導學生在解題時不斷與之前的解題進行比較，并逐步得出它們在一般解題步驟、解題的原理方法上的相同點，同時對它們之間本質(zhì)上的差異、不同的解法進行各種比較和探尋.

例如，教師在本課例題教學中為了思想方法的析出選擇了分式方程和無理方程解題思想的比較；為了無理方程解法與“多解歸一”本質(zhì)的析出則選擇了“一題多解”解題策略進行比較和概括；為了無理方程增根產(chǎn)生原因的析出選擇了“異題”“同解”的比較，等等.

3. 在比較中獲得感悟

教師在這樣一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的比較過程中應合理啟發(fā)、引導學生產(chǎn)生認知沖突，使學生在這樣一個思維過程中激發(fā)出學習的興趣，提升思維的積極主動性并對所學知識形成深刻的理解與感悟.