孫咸理

[摘 要] 初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常表現(xiàn)出“學(xué)”難以致“用”的情形，其機(jī)制性原因在于學(xué)生的輸入沒能有效地轉(zhuǎn)換為輸出. 要打通學(xué)與用的“任督二脈”，可以借力“數(shù)學(xué)表示”. 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過程中充分進(jìn)行數(shù)學(xué)表示，可以促進(jìn)學(xué)生信息加工能力的提升，進(jìn)而提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中總遇到一個問題，那就是學(xué)生之所學(xué)，不能真正之所用. 就拿數(shù)學(xué)解題來說，一線教師最煩惱的是，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，需要多次重復(fù)才能收到應(yīng)有的效果，也才足以應(yīng)付當(dāng)前以考試為主要形式的評價. 而就算訓(xùn)練到一定程度之后再遇到同樣的問題時，一旦問題的情境發(fā)生變化，學(xué)生所掌握的知識又不足以應(yīng)付這種變化. 于是學(xué)生著急、教師揪心：怎么一變就不會了呢？

筆者分析這一現(xiàn)象后認(rèn)為，這里存在一些學(xué)習(xí)的內(nèi)在機(jī)制問題，即學(xué)生所學(xué)不足以應(yīng)付習(xí)題之所用的一個重要的原因是在“數(shù)學(xué)表示”上出了問題. 如果學(xué)生在遇到熟悉問題時能夠順利解決，那很大程度上是機(jī)械訓(xùn)練的結(jié)果，類似于行為主義心理學(xué)中的條件反射，而當(dāng)問題情境發(fā)生變化時，這種反射就不能發(fā)生了，自然新的問題求解也就遇到了困難. 那么，為什么說數(shù)學(xué)表示可以解決這一問題呢？這是因?yàn)?，在初中?shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生之所學(xué)，實(shí)為基于教師提供的情境進(jìn)行的知識建構(gòu)，而學(xué)生之所用，實(shí)為新情境中條件發(fā)生改變時對創(chuàng)新思維的需要. 這兩者猶如武俠小說中高手修煉時的“任督二脈”，它們并不天然相連，只有用高明手段打通之后，才能提升修煉者的功力. 而數(shù)學(xué)表示之所以具有打通“任督二脈”的作用，關(guān)鍵就在于，其能夠同時面向?qū)W與用，并在思維的高效運(yùn)用中有所突破. 下面，筆者分三點(diǎn)進(jìn)行簡述.

數(shù)學(xué)表示的內(nèi)涵與外延概述

數(shù)學(xué)表示是一個極為通俗的概念，其是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、問題等內(nèi)容的理解，用屬于數(shù)學(xué)范疇的語言、文字、符號或圖表的形式將其表示出來.

這個表示不同于學(xué)生照用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)概念表述. 比如學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形，不是說照著教材上說出“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合的圖形叫全等形”就行，因?yàn)檫@不是真正的數(shù)學(xué)表示，而只是現(xiàn)有數(shù)學(xué)語言的直接復(fù)述，充其量只用到了大腦的記憶功能，而沒有涉及思維. 真正的數(shù)學(xué)表示是面向思維的，學(xué)生在數(shù)學(xué)表示的過程中，需要通過自己的思維去加工所學(xué)對象，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述. 顯然，這里既有最基本的精確描述的要求，其指向?qū)W生的概括能力，同時也指向信息的有效輸入與輸出，因此是一個信息加工的過程.

初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生在數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何觀念、模型思想等方面形成較為深刻的認(rèn)識，這種認(rèn)識顯然不是自然發(fā)生的，更加不是在行為主義式的反射中形成的，而是在學(xué)生學(xué)習(xí)、內(nèi)化之后，經(jīng)由有效的數(shù)學(xué)表示形成的. 數(shù)學(xué)表示的內(nèi)涵可以在數(shù)學(xué)家格勞斯的描述中獲得認(rèn)識，其在《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》中明確指出，“（數(shù)學(xué)）表示的方法通常是外部的，其形式包括口頭語言、書面符號、圖畫或其他物理客體等”，這樣的表述給筆者的啟發(fā)是，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)之后的有形表達(dá)，只有學(xué)生能夠?qū)⒆约旱乃鶎W(xué)，用自己擅長的形式表示出來時，才能說學(xué)生對新學(xué)知識基本建構(gòu)成功了. 譬如上面所舉的“全等形”，學(xué)生可以用語言描述（最好是自己的語言，而不是課本上語言的直接照搬）；可以用動作描述，如比畫兩個什么樣的圖形怎樣完全重合；還可以現(xiàn)場模擬，如有學(xué)生用兩本教材疊在一起，說這就是全等形，筆者以為這種信手拈來的動作，就是有效的數(shù)學(xué)表示.

同時筆者以為，數(shù)學(xué)表示也不是簡單的數(shù)學(xué)表示，其更多地反映了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的所思、所想. 教師可以從學(xué)生的數(shù)學(xué)表示中看到他們建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程，知道好在哪里、差在何處，這樣，教師的教學(xué)更可以有的放矢，從而更順利地幫學(xué)生打通“任督二脈”，真正學(xué)以致用.

利用數(shù)學(xué)表示促進(jìn)知識理解

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，很多時候?qū)?shù)學(xué)知識的理解似乎并不是自然發(fā)生的，機(jī)械學(xué)習(xí)的情形比較常見. 我們在責(zé)怪學(xué)生學(xué)得太呆板的時候，似乎也忘記反思為什么學(xué)生會這樣了. 顯然，只簡單地責(zé)怪學(xué)生是沒有用的，還是要從學(xué)習(xí)機(jī)制上著手，讓學(xué)生擺脫“死學(xué)”的狀態(tài). 基于以上分析，顯然數(shù)學(xué)表示可以發(fā)揮這樣的作用.

在“最短路徑問題”的課題學(xué)習(xí)中，可以從“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”引入“最短路徑”這一問題，然后提供一些真實(shí)情境，讓學(xué)生思考如何解決問題. 這里借助教材，可以提供這樣的問題：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河（l）邊飲馬，然后回到B地，牧馬人到什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

筆者以為解決這一問題時不能太快，那慢要慢在哪里呢？慢在問題分析、解決的過程中，具體包括如下三點(diǎn)：

一是對問題的重新表征. 這里可以對原題進(jìn)行一些改造，即在提供文字命題的時候，不提供具體的圖形，而是讓學(xué)生根據(jù)問題的表述去構(gòu)思圖形，這也是一種數(shù)學(xué)表示，是將文字信息轉(zhuǎn)換為圖像信息的過程. 事實(shí)證明，這一過程中的教學(xué)含金量還是挺高的，因?yàn)槲覀兺ǔＯ驅(qū)W生強(qiáng)調(diào)審題的重要性時，所指的審題絕對不只是讀題，而是理解題目的意思，而當(dāng)教師給學(xué)生一個明確的任務(wù)——用圖形表示題意時，其便具有任務(wù)驅(qū)動的性質(zhì). 事實(shí)也證明，對于這一任務(wù)，學(xué)生是感興趣的，因?yàn)閳D形本就是形象思維加工的對象，初中階段的學(xué)生仍以形象思維為主要形式，于是他們就根據(jù)題目中給出的A點(diǎn)、B點(diǎn)、筆直的河邊等，構(gòu)架三者之間的位置關(guān)系. 這里其實(shí)又是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，最終學(xué)生形成的兩點(diǎn)（A，B點(diǎn)）和一線（表示河的l），既簡潔又明晰，可以為學(xué)生解決這一問題奠定良好的基礎(chǔ).

二是對問題解決的表征. 抽象問題得到圖像之后，這個問題該如何解決呢？原問題中“牧馬人到什么地方飲馬”如何轉(zhuǎn)變成“尋找河邊的某個點(diǎn)”，“可使所走的路徑最短”如何與軸對稱知識聯(lián)系起來，這些都是本環(huán)節(jié)的重要問題. 筆者在教學(xué)中所做的引導(dǎo)是：如果直接從A點(diǎn)到B點(diǎn)，那自然是線段最短；現(xiàn)在多了一個中轉(zhuǎn)的過程，假設(shè)河邊的點(diǎn)是C，那就是求AC+BC距離之和最短，如何保證其最短呢？在這個問題的驅(qū)動之下，學(xué)生思維的對象顯然就是兩條線段及其求和了. 此時教師不要過于提前給學(xué)生以提示，而要讓學(xué)生自己想，最多提醒學(xué)生軸對稱知識在此是不是可以運(yùn)用. 這樣置學(xué)生于問題解決的困境當(dāng)中，可以“逼”著他們?nèi)ニ伎? 此時采用的教學(xué)方式可以是合作學(xué)習(xí)，因?yàn)閷W(xué)生此時的合作必然會讓學(xué)生有一個充分的交流過程. 交流意味著語言運(yùn)用，語言運(yùn)用意味著對題意的理解與把握，而這就是一個比較充分的數(shù)學(xué)表示過程. 且隨著討論的深入，這個數(shù)學(xué)表示會越來越精確. 一旦學(xué)生想到求A點(diǎn)或B點(diǎn)的對稱點(diǎn)時，這個數(shù)學(xué)表示就基本完成了.

三是對問題解決過程回顧的表征. 一個數(shù)學(xué)問題是如何得到解決的？這個問題常常游離于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之外，因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)中我們看到的更多的情形是，學(xué)生解完一道題之后就去解下一道題（不信你看試卷講評時，常常是一頁講完了，學(xué)生隨手就翻向后面一頁了，絲毫沒有對剛剛所講最后一題進(jìn)行回顧的意思）. 筆者以為，這體現(xiàn)了學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)反思的意識與習(xí)慣. 但學(xué)習(xí)反思又不能只是簡單的回憶，一定要讓學(xué)生把解題過程說出來或比畫出來，至少要讓學(xué)生說說這一題先怎么解，再怎么解. 不要小看這個過程，學(xué)生的這一數(shù)學(xué)表示過程，實(shí)際上是一個解題思維提純的過程. 不讓學(xué)生說，學(xué)生大腦里的思路常常是模糊的；讓學(xué)生說，他們必然會重新加工這個解題過程，于是就會“逼”著將思路重新整理，進(jìn)而清晰地表達(dá)出來.

以上三步都是數(shù)學(xué)表示的重要環(huán)節(jié)，其對于學(xué)生清晰地掌握、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識非常有益.

數(shù)學(xué)表示對學(xué)習(xí)品質(zhì)的完善

行文到這個地方，相信不少同行已經(jīng)認(rèn)識到，數(shù)學(xué)表示不僅可以讓學(xué)生有效地掌握所學(xué)知識，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

有經(jīng)驗(yàn)的同行都知道，學(xué)生學(xué)得好不好，最為關(guān)鍵的是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是否正確，而學(xué)習(xí)方法受學(xué)習(xí)品質(zhì)的支撐. 學(xué)生只有擁有好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，才可能進(jìn)入較好的學(xué)習(xí)狀態(tài). 數(shù)學(xué)表示作為將學(xué)生的內(nèi)隱思維過程清晰化的過程，從機(jī)制上保證了學(xué)生必須將思維加工的對象用語言、動作、符號、圖表等表示出來. 進(jìn)入數(shù)學(xué)表示的學(xué)習(xí)狀態(tài)，思維就會對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再加工，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)表示，這就意味著，對數(shù)學(xué)知識的掌握是可靠的，是可以有效地向外輸出的. 反之，不能進(jìn)行數(shù)學(xué)表示，即意味著不能輸出，不能輸出，自然就不可能學(xué)以致用了.

總之，數(shù)學(xué)表示在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著由“學(xué)”向“用”的轉(zhuǎn)承作用，可以有效打通學(xué)、用的“任督二脈”，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加高效.