多元函數(shù)微分學(xué)于經(jīng)濟分析中的應(yīng)用探究

賈續(xù)毅，熊 靖

（西北工業(yè)大學(xué)，西安 710100）

引言

同一元函數(shù)類似，多元函數(shù)在現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)領(lǐng)域方面的應(yīng)用也很廣泛，應(yīng)用多元函數(shù)的可微性、全微分、條件極值的概念和理論可以對多元函數(shù)的最大值和最小值問題進(jìn)行求解。在運籌學(xué)中，最值問題也即是最優(yōu)化問題，自變量即是決策變量，最值函數(shù)即是目標(biāo)函數(shù)。應(yīng)用多元函數(shù)的極值可以刻畫多元函數(shù)的局部性質(zhì)。通過多元函數(shù)微分學(xué)中的性質(zhì)方法可以解決一些經(jīng)濟方面的最優(yōu)化、決策問題。

一、多元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)理論

將一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)，并給出如下定義：設(shè)函數(shù)z=（fx，y）在點的某個鄰域上有定義，該鄰域中的點P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy）。如果用AΔx+BΔy+o（h）表示該函數(shù)在 P0處的全增量 Δz。A 和 B 是與點P0相關(guān)的常數(shù)，而，o（h）是 h 的高階無窮小量，那么函數(shù)在P0處可微，并且AΔx+BΔy是該函數(shù)在P0處的全微分。

在處理極值問題時，要明確，對于函數(shù)f，如果不帶有約束條件，且滿足f（P）≥f（P0）或者f（P）≤f（P0），則點P0稱為f的極小值點或極大值點，其對應(yīng)的函數(shù)值為極小值或極大值。在討論這些極值點時，要注意僅限制于定義域的內(nèi)點。在實際應(yīng)用當(dāng)中，通常通過判斷函數(shù)f在點P0處的偏導(dǎo)數(shù)的值來判斷它的穩(wěn)定點進(jìn)而確定它的極值點，判別方法是若存在fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，則P0為f的穩(wěn)定點。求出的穩(wěn)定點可能還不是極值點，這時再結(jié)合經(jīng)濟問題中的實際意義，確定決策變量的取值，將這些穩(wěn)定點和端點處的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行對比，最終求出極值。

對于函數(shù)f，如果帶有約束條件，可引入Lagrange求值法進(jìn)行求解，當(dāng)約束條件為一個時，構(gòu)造Lagrange函數(shù)L（x）=f（x1，x2）+φ·g（x1，x2）。其中，φ稱為Lagrange乘數(shù)，g（x1，x2）為一個約束條件，求出該函數(shù)對于 x1、x2的偏導(dǎo)數(shù)，然后令它等于0，再與約束條件聯(lián)立，即：

求解這三個方程，可得到 x1、x2、φ 的值，而點（x1，x2）則為函數(shù)y=f（x1，x2）的滿足約束條件的極值點。在經(jīng)濟應(yīng)用方面，通常情況下，決策變量和約束條件往往不唯一。因此，還需要將Lagrange函數(shù)推廣到一般情況下的n維：

式中，φ1，φ2，…，φn為 Lagrange 乘數(shù)。此時，可將問題轉(zhuǎn)化為尋找決策變量被多個條件限制的多元函數(shù)的極值方法，此方法將這個有著n個決策變量與p個約束條件的條件極值問題變?yōu)橐粋€n+p個變量的方程組的極值問題。對上述構(gòu)造的函數(shù)f，g，如果滿足如下4個條件：一是f，g 在 D 內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；二是 g（x0）=g（x1，x2）=0；三是；四是 x0=（x1，x2）是 f在=0條件下的極值點。則?A0∈Rm，s.t（.x0，A0）是式所設(shè)的函數(shù)L的穩(wěn)定點，即=0。

二、多產(chǎn)品壟斷利潤最大化問題求解

當(dāng)函數(shù)存在多個自變量時，求目標(biāo)函數(shù)的極值問題通常需要利用其偏導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)，為經(jīng)濟生產(chǎn)中提供最優(yōu)生產(chǎn)決策的理論支持。

某地區(qū)有一壟斷企業(yè)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品x1和x2，假設(shè)這兩種產(chǎn)品的需求都是線性的，其需求函數(shù)分別為：

若將t1與t2看作未知元（表示產(chǎn)品x1與x2的單價，單位為元），把以上兩個方程表示為矩陣形式：

用Cramer法則解得：

即這兩種產(chǎn)品的反需求函數(shù)為：

值得認(rèn)識的是，上述反需求函數(shù)所表示的是：兩種產(chǎn)品為互為替代品時，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量以負(fù)數(shù)進(jìn)入另外一種產(chǎn)品的反需求函數(shù)。若其中一種產(chǎn)品（假設(shè)為x1）產(chǎn)量上升，則可能引起x1價格的回落，進(jìn)而導(dǎo)致消費者降低對產(chǎn)品x2的需求，從而使對應(yīng)于任意已知的產(chǎn)品產(chǎn)量x2的t2值同時下降。

假定該企業(yè)的這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本函數(shù)關(guān)系為：

R=16 200+13x1+19x2

則該企業(yè)生產(chǎn)銷售這兩種產(chǎn)品的所得利潤是：

再次用Cramer法則求得使企業(yè)利潤最大化的產(chǎn)品產(chǎn)量為：

由此確定最大利潤對應(yīng)下的產(chǎn)品單價（單位為元）：

t1=301.49 t2=425.82

通過以上結(jié)果得出該企業(yè)的最大利潤（單位為元）：

wmax=23 934.56

三、Lagrange數(shù)乘法求解經(jīng)濟最優(yōu)化問題

當(dāng)多個自變量存在且滿足一定關(guān)系的求目標(biāo)函數(shù)的極值問題稱為條件極值問題，使用Lagrange數(shù)乘法不失為一種簡便快捷的方法，在經(jīng)濟領(lǐng)域的生產(chǎn)銷售問題中起指導(dǎo)意義。

某制造商制造某種產(chǎn)品的兩個生產(chǎn)要素——勞動力和資本分別為x1與x2。該產(chǎn)品的Cobb-Douglas（柯布—道格拉斯）生產(chǎn)函數(shù)（單位為元）：

倘若該制造商制造該產(chǎn)品所需的單位勞動力的成本和單位資本的成本分別為240和480元，該制造商對本產(chǎn)品的總投入為98 000元，應(yīng)如何分配資金使生產(chǎn)量達(dá)到最大值（條件極值問題）。

分析與解決：

本案例為一條件極值問題，其劃歸為數(shù)學(xué)模型則是求y=f（x1，x2）在條件240x1+480x2=98 000的約束下的最大值。

利用Lagrange（拉格朗日）數(shù)乘法，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

因而該制造商在單位勞動力成本為240元，單位資本成本為80元的條件下可以得到最大產(chǎn)量y=f（x1，x2）=185 585.47元。

四、全微分在經(jīng)濟動態(tài)分析中的應(yīng)用

多元函數(shù)的全微分的相關(guān)性質(zhì)反映了當(dāng)自變量發(fā)生增量Δx時對應(yīng)函數(shù)所引起的變化，在經(jīng)濟中應(yīng)用于動態(tài)分析。

某地區(qū)一民營企業(yè)的年產(chǎn)品產(chǎn)量由其所投入產(chǎn)品生產(chǎn)的新式設(shè)備數(shù)目x1和舊式設(shè)備數(shù)目x2共同決定。年產(chǎn)量S滿足。假如該民營企業(yè)原本投入新式設(shè)備15臺、舊式設(shè)備30臺進(jìn)行生產(chǎn)，現(xiàn)計劃再引進(jìn)新式設(shè)備1臺，則需要減少多少臺舊式設(shè)備才能保持企業(yè)的年產(chǎn)量無變化。

利用二階導(dǎo)數(shù)的全微分性質(zhì)得：

故若在題設(shè)條件下，新式設(shè)備增加1臺，需使舊式設(shè)備減少1臺才能保持企業(yè)年產(chǎn)量不發(fā)生變化。

結(jié)語

多元函數(shù)微分學(xué)可以為當(dāng)今供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革與促進(jìn)需求的市場經(jīng)濟下一些決策的制定、問題的解決提供理論性工具。通過對多元函數(shù)的極值、全微分性質(zhì)，以及拉格朗日乘數(shù)法的分析與探究，將經(jīng)濟生活中出現(xiàn)的條件極值、最優(yōu)化問題進(jìn)行剖析，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行精確求解，為企業(yè)生產(chǎn)要素的合理分配、利潤的合理最大化，以及消費者需求、利益安排的最優(yōu)化策略提供解決方法。