李 壯

(遼寧省鐵嶺縣高級(jí)中學(xué) 112000)

一、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1.累加法

適用于an+1=an+f(n)

例1 數(shù)列{an}對(duì)任意n∈N+，都有an+1=an+2n+1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由題意，知

當(dāng)n≥2時(shí)，a2-a1=2×1+1，

a3-a2=2×2+1，

…

an-an-1=2×(n-1)+1.

∴an-a1=2×[1+2+…+(n-1)]+n-1，

∴an=n2(n≥2).

又a1=1,∴an=n2，n∈N+

2.累乘法

適用于an+1=an·f(n)

解由題意，知

3.公式法

已知Sn，求an.

n=1時(shí)，a1=S1;n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1.

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比q=-2的等比數(shù)列,

∴an=(-2)n-1.

4.待定系數(shù)法

適用于an+1=qan+f(n)

(1)形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)

①若c=1,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

②若d=0, 則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

(2)形如an+1=pan+qn(pq≠0)

①若p=1,用累加法；

②若p≠1,用以下三種方法：

ⅰ.兩邊同時(shí)除以pn+1，再用累加法；

ⅱ.兩邊同時(shí)除以qn+1;

ⅲ.用待定系數(shù)法.

例4 數(shù)列{an}對(duì)任意n∈N+，an+1=2an+4×3n-1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(3)形如an+1=pan+kn+b(k,b是常數(shù)，且k≠0)

解題步驟：①確定f(n)=kn+b；

②設(shè)等比數(shù)列{bn}中bn=an+xn+y，公比為p;

③列出關(guān)系式an+xn+y=p[an-1+x(n-1)+y]，即bn=pbn-1；

④比較系數(shù)求出x,y;

⑤解出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

⑥解出{an}的通項(xiàng)公式.

5.逐項(xiàng)相減法

例5 數(shù)列{an}對(duì)任意n∈N+，an+1=3an+2n，a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解∵an+1=3an+2n,∴an=3an-1+2(n-1),n≥2.

小結(jié)通過以上方法的總結(jié)和例題的解法可以看出它們是有內(nèi)在聯(lián)系的，既要注意一題多解，又要把握每個(gè)題型的特點(diǎn).

6.對(duì)數(shù)變換法

解兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，得log2an=1+2log2an+1=2(log2an-1+1).

令bn=log2an+1，則bn=2bn-1,數(shù)列{bn}為首項(xiàng)b1=1，公比q=2的等比數(shù)列，

可求得bn=2n-1，所以an=22n-1-1.

7.倒數(shù)變換法

適用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項(xiàng)

8.周期法

9.刪項(xiàng)法

例9 數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)所有n≥2，n∈N+都有a1·a2·a3·…·an=n2，則a3+a5=( ).

解由題意，知a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,n≥2.

二、數(shù)列求和

1.公式法

適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列

例1 在等差數(shù)列{an}中，a16+a17+a18+a19=-36，其前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

2.分組求和法

例2 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(C).

A.2n+n2-1 B. 2n+1+n2-1 C. 2n+1+n2-2 D. 2n+n2-2

3.裂項(xiàng)相消法

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解(1)易求得an=3n.

4.錯(cuò)位相減法

已知等比數(shù)列{an}滿足a1a3=2a2，a5=16，單調(diào)遞增的等差數(shù)列{bn}滿足b2+b6=b3+5，b7=7.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)cn=anbn，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

解(1)用公式易求得an=2n-1，bn=n.

(2)cn=anbn=n·2n-1，

∴Tn=1×20+2×21+…+n×2n-1,

∴2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n.

兩式相減，得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n,

∴Tn=(n-1)×2n+1.