與行列式有關(guān)的一些比較

房喜明

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

0 前言

線性代數(shù)是高校理工專業(yè)本科學(xué)生的必修課程,比較思想在該學(xué)科中涉及的方面比較多.通過(guò)比較,有助于學(xué)生對(duì)線性代數(shù)有關(guān)理論和方法的掌握.行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分[1-5],也是整個(gè)線性代數(shù)理論的基礎(chǔ).熟練掌握行列式的有關(guān)理論和方法，對(duì)后續(xù)理論學(xué)習(xí)和學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng),以及其他學(xué)科學(xué)習(xí)均有益處.行列式的相關(guān)知識(shí)如下:數(shù)域、排列的定義,排列的逆序數(shù),排列的一個(gè)對(duì)換,對(duì)換對(duì)排列逆序數(shù)的影響,n階行列式的定義,特殊行列式的計(jì)算公式,行列式的性質(zhì),行列式中某個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式概念,行列式按某一行（或列）展開(kāi)的定理,行列式的計(jì)算方法,求解線性方程組的克萊姆法則,用行列式的值判定系數(shù)矩陣為方陣的齊次線性方程組解的情況等.本文中,筆者探討一些與行列式有關(guān)的比較思想.

1 一些與行列式有關(guān)的比較思想

1)關(guān)于行列式的定義,通常是在給出2階和3階行列式定義的基礎(chǔ)上逐步定義n階行列式[1,5].對(duì)于2階和3階行列式,為便于計(jì)算,給出了對(duì)角線法則的計(jì)算方法,但4階以上的行列式?jīng)]有對(duì)角線法則.針對(duì)隨著階數(shù)增加,計(jì)算行列式的對(duì)角線法則消失這種情況,可以用定義分別計(jì)算低階和高階行列式,并將之與對(duì)角線法則計(jì)算方法所得結(jié)果進(jìn)行比較.

通過(guò)比較可以看出,前一個(gè)例子與用對(duì)角線法則計(jì)算結(jié)果一致,但第2個(gè)例子如果也采用類似3階行列式的對(duì)角線法則計(jì)算,則是錯(cuò)誤的.

2)在n階行列式的定義中,有按行和按列取元素作乘積2種定義方法,這2種方法可以統(tǒng)一如下:每一項(xiàng)都是取自不同行、不同列的n個(gè)元素的連乘積,在其前面添加1個(gè)符號(hào).這里存在比較思想,可以用實(shí)例顯示出2種定義方法的一致性.如果用定義計(jì)算行列式,選取元素的方式會(huì)影響計(jì)算過(guò)程.

前一個(gè)例子分別按行和按列取元素作乘積計(jì)算同一行列式,顯示2種定義方法一致.后一個(gè)例子采用按行選取元素的定義計(jì)算比較簡(jiǎn)便.

3)在行列式中確定某一項(xiàng)前面的符號(hào)存在比較思想.行列式中取自不同行、不同列的n個(gè)元素的連乘積要想成為行列式中的1項(xiàng),其前面需添加1個(gè)符號(hào),該符號(hào)的確定方法有3種.現(xiàn)給出實(shí)例將3種確定符號(hào)的方法進(jìn)行比較,以體現(xiàn)三者的一致性.

例4確定5階行列式中a21a34a15a42a53的符號(hào).

4)在行列式計(jì)算方面存在比較思想.化為上(或下)三角形行列式和降階法是計(jì)算行列式的2種常用方法,這2種方法也可以綜合使用.下面以實(shí)例對(duì)這2種方法的特點(diǎn)與結(jié)果的一致性進(jìn)行比較,以便更好地掌握這2種方法.

5)在行列式中某個(gè)元素aij的余子式和代數(shù)余子式相關(guān)問(wèn)題存在比較思想.行列式中某個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān),而與該元素本身的值無(wú)關(guān),也與該元素所在行和列的其他元素的值無(wú)關(guān).為掌握和理解這一知識(shí)點(diǎn),給出2個(gè)實(shí)例進(jìn)行比較.

2個(gè)行列式中的(2,2)位置元素雖然不同,但這個(gè)位置元素的余子式和代數(shù)余子式都分別相同.

6)在行列式的計(jì)算與矩陣的初等變化方面存在比較思想.用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值與用矩陣的初等行變換化矩陣為階梯形或行最簡(jiǎn)形矩陣時(shí),雖然是對(duì)2種不同對(duì)象的操作,一個(gè)用等號(hào)連接,另一個(gè)用箭頭連接,但由于有些操作相同,故容易混淆.引入1個(gè)例子進(jìn)行比較,可以區(qū)分兩者的異同.

例8求行列式的值,并將矩陣化為階梯形矩陣.

7)用行列式的值判斷線性方程組解的情況存在比較思想.用行列式的值只能判斷系數(shù)矩陣為方陣的齊次和非齊次線性方程組解的情況.其中對(duì)于非齊次線性方程組,用行列式只能判斷有唯一解的情況,其他情況不能判斷.這種方法與用矩陣的秩判斷線性方程組解的情況相比,具有局限性.為區(qū)別這2種方法,現(xiàn)將其使用情況分別列表進(jìn)行比較,詳見(jiàn)表1.

表1 用矩陣的行列式的值或秩判斷線性方程組解的情況對(duì)比表

2 小結(jié)

本文介紹了線性代數(shù)理論中一些與行列式有關(guān)的比較知識(shí)和實(shí)例,線性代數(shù)中其他涉及比較思想的知識(shí)還有:克萊姆法則與初等行變換法解線性方程組的比較;使用配方法和矩陣初等行列變換法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的比較;有限維線性空間的線性變換在不同基下的矩陣的比較;實(shí)有限維線性空間上內(nèi)積的不同定義方式(進(jìn)而構(gòu)成不同的歐氏空間)的比較等.通過(guò)比較,可以加深學(xué)生對(duì)線性代數(shù)理論和方法的掌握,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).