朱進(jìn)紅

[摘 要] 弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程. 數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程，也是現(xiàn)實(shí)例子加工后變成數(shù)學(xué)概念的過程. 數(shù)學(xué)化包括水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化. 數(shù)學(xué)化的教學(xué)過程涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等，因而也是可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)教學(xué)

如何看待學(xué)科教學(xué)，涉及教師的教學(xué)理念，也涉及以什么樣的過程讓學(xué)生更合規(guī)律地掌握學(xué)科知識(shí). 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)教師均知道其是研究數(shù)與形的學(xué)科，可從教學(xué)的角度來看，對(duì)這一判斷的認(rèn)識(shí)不能過于狹隘，不能據(jù)此認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)就是讓學(xué)生去研究數(shù)與形. 從教學(xué)的視角來看，又或是從學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念規(guī)律、形成數(shù)學(xué)認(rèn)知，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)問題解決能力的角度來看，教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)知需要向?qū)W生的生活延伸，需要基于生活元素來構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 而這，就是數(shù)學(xué)化的過程.

所謂數(shù)學(xué)化，就是指人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象，并加以整理和組織的過程. 這樣的界定是由弗賴登塔爾給出的，其進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)化有兩個(gè)層次：一是水平數(shù)學(xué)化，二是垂直數(shù)學(xué)化. 所謂水平數(shù)學(xué)化，就是現(xiàn)實(shí)問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；所謂垂直數(shù)學(xué)化，就是水平數(shù)學(xué)化后的進(jìn)一步數(shù)學(xué)化. 前者是將現(xiàn)實(shí)情境用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述，進(jìn)而表征為數(shù)學(xué)問題，而后者則是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)換之后得到的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行概念化處理，這是一個(gè)高度抽象的過程，與數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的關(guān)聯(lián)程度較水平數(shù)學(xué)化更高. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，水平數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的基礎(chǔ)，而垂直數(shù)學(xué)化則更多地指向純粹的數(shù)學(xué)邏輯與體系. 需要指出的是，數(shù)學(xué)化的兩種層次都與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密切相關(guān)，教學(xué)中不可有所偏頗.

水平數(shù)學(xué)化，疏通生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的關(guān)節(jié)

水平數(shù)學(xué)化是現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，關(guān)于這一點(diǎn)，其實(shí)一線教師并不陌生，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中引入生活素材，以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建立于生活之上，已經(jīng)成為一個(gè)基本的教學(xué)理念. 因此筆者在這里更多的想強(qiáng)調(diào)其中的“轉(zhuǎn)化”這一關(guān)鍵詞. 結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者以為水平數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵在于構(gòu)建與表征，即用數(shù)學(xué)思維去加工現(xiàn)實(shí)問題，用數(shù)學(xué)語言去表征思維的結(jié)果. 下面以“三角形全等的判定”為例，談?wù)動(dòng)行У慕?gòu)與表征.

三角形全等的判定中，有一個(gè)非常有意思的現(xiàn)象，即教師對(duì)能夠成功判定三角形全等的方法通常都是重點(diǎn)講的，學(xué)生也是重點(diǎn)學(xué)的；但對(duì)于無法判定三角形全等的那些方法，似乎重視不夠. 如“角邊邊”雖然不是有效的三角形全等判定方法，但學(xué)生在解題當(dāng)中卻又常常用到這些方法，很多時(shí)候教師都不知道學(xué)生是新學(xué)知識(shí)時(shí)沒懂，還是實(shí)際解題時(shí)誤用. 在筆者看來，這是因?yàn)閷W(xué)生在構(gòu)建三角形全等認(rèn)識(shí)時(shí)出了問題. 于是筆者就這樣設(shè)計(jì)了教學(xué)過程：在黑板上畫了一個(gè)三角形，然后讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的學(xué)具——飲料吸管進(jìn)行比畫. 由于有了前面的相關(guān)證明過程，此時(shí)學(xué)生思維的重點(diǎn)并非要讓手中的吸管三角形與黑板上的三角形全等，而是思考利用“角邊邊”能否讓兩個(gè)三角形全等，如果不能，那其中的原因又是什么？

這個(gè)思維過程中，學(xué)生會(huì)將手中的吸管三角形進(jìn)行變形，去控制一角及另兩邊相等. 這個(gè)過程中學(xué)生的思維還是很有趣的，有學(xué)生一不小心，確定了“邊角邊”，誤認(rèn)為是“角邊邊”，然后認(rèn)為可讓三角形全等，待到別人提醒之后，立馬像泄了氣的皮球一樣. 這個(gè)時(shí)候筆者還鼓勵(lì)他：你看，你無意當(dāng)中幫大家認(rèn)識(shí)到“邊角邊”和“角邊邊”是不同的！也有學(xué)生在比畫的過程中，通過吸管的變形，發(fā)現(xiàn)了原來“角邊邊”相等是可以出現(xiàn)兩種可能的，而兩種可能就意味著三角形全等不是必然的了. 這個(gè)時(shí)候，學(xué)生會(huì)興奮地利用手中的吸管進(jìn)行模擬，以讓同學(xué)能夠認(rèn)可兩種三角形的出現(xiàn)是正確的. 這種通過動(dòng)作構(gòu)建出來的三角形固然是思維的產(chǎn)物，但也可以看作是學(xué)生所構(gòu)建出來的現(xiàn)實(shí)的三角形，這個(gè)三角形是實(shí)物體現(xiàn)的，更是數(shù)學(xué)角度的三角形，于是就實(shí)現(xiàn)了有效的構(gòu)建.

在表征這個(gè)結(jié)論的時(shí)候，有學(xué)生這樣說：兩個(gè)三角形，如果只是一個(gè)角以及兩個(gè)邊相等，那這兩個(gè)三角形不一定全等. 而其他學(xué)生則迅速更正：必須強(qiáng)調(diào)這個(gè)角不是這兩個(gè)邊的夾角. 在這樣的語言表達(dá)過程中，可以肯定的是學(xué)生的思維必然隨著語言的運(yùn)用而在大腦中浮現(xiàn)出相應(yīng)的情形，有了表象構(gòu)建，筆者以為這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程就是成功的.

垂直數(shù)學(xué)化，完善學(xué)生基本數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

垂直數(shù)學(xué)化是水平數(shù)學(xué)化后的再次數(shù)學(xué)化，其強(qiáng)調(diào)基于符號(hào)認(rèn)知的概念構(gòu)建. 這樣的描述似乎有些抽象，但其實(shí)很好理解，如果說水平數(shù)學(xué)化是認(rèn)為學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)處于橫向轉(zhuǎn)變的話，那垂直數(shù)學(xué)化就是對(duì)已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)符號(hào)認(rèn)知進(jìn)行深度思考，以促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的顯性形成.

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的？顯然，不是說讓學(xué)生去重復(fù)數(shù)學(xué)概念的名稱、記憶數(shù)學(xué)概念的定義就掌握了數(shù)學(xué)概念. 數(shù)學(xué)概念的形成實(shí)際上是需要經(jīng)歷一個(gè)過程的，對(duì)符號(hào)化了的數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步抽象，并以合適的數(shù)學(xué)語言描述之，就是數(shù)學(xué)概念形成的重要途徑.

例如，在上面的例子中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到“兩個(gè)三角形，如果只是一個(gè)角以及兩個(gè)邊相等，而且這個(gè)角不是這兩個(gè)邊的夾角，那這兩個(gè)三角形不一定全等”，其實(shí)這種描述更多的還是用的生活語言，也還只是一種概述，描述的只是當(dāng)時(shí)探究情境中形成的認(rèn)識(shí). 經(jīng)驗(yàn)表明，即時(shí)情境下學(xué)生是能夠聽得懂的，也是知道為什么的；而時(shí)過境遷，學(xué)生則有可能只知其然而不知其所以然，這意味著水平數(shù)學(xué)化的結(jié)果要想得到鞏固，還需要學(xué)生建立持久的表象以提供支撐. 而對(duì)表象的描述，則需要經(jīng)歷一個(gè)垂直數(shù)學(xué)化的過程. 如筆者在教學(xué)中，讓學(xué)生清晰地構(gòu)建一個(gè)表象：黑板上的三角形記作ABC，手中吸管的三角形記作. 由于BC繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可能得到另一個(gè)三角形，所以全等是不成立的. 待這個(gè)表象清晰之后，教學(xué)就進(jìn)入垂直數(shù)學(xué)化的階段.

第一步，離開具體的實(shí)物與經(jīng)驗(yàn)化表述，在大腦中重構(gòu)表象. 這個(gè)表象就是“角邊邊”所可能出現(xiàn)的兩個(gè)三角形，務(wù)必讓學(xué)生大腦中的這個(gè)表象變得十分清晰. 此時(shí)教師可以讓學(xué)生將此表象與“邊邊邊”“邊角邊”等判定所用的三角形進(jìn)行比較，這是一個(gè)純粹的抽象思維過程，思維加工的對(duì)象不是實(shí)物形成的表象而是學(xué)生的想象表象. 在水平數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上進(jìn)一步地抽象化處理，邁開了垂直數(shù)學(xué)化的第一步.

第二步，利用形成的想象表象，進(jìn)一步抽象得出數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，其實(shí)，在數(shù)學(xué)化的過程中，垂直數(shù)學(xué)化的重要載體之一，就是數(shù)學(xué)模型. 在三角形全等的判定中，學(xué)生要建立的模型是不同判定法則下兩個(gè)三角形全等的模型及其數(shù)學(xué)表述. 同樣，如果說學(xué)生對(duì)有效的判定模型的認(rèn)識(shí)是清晰的話，那對(duì)于像“角邊邊”這樣的判定法則的表象常常是模糊的，而這會(huì)導(dǎo)致問題解決過程中的誤用，因此建立它們的模型其實(shí)也是重要的. 這一步其實(shí)已經(jīng)是綜合性的過程了，在上面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生將“角邊邊”的表象與數(shù)學(xué)表述結(jié)合起來，然后讓學(xué)生用語言去描述——即“說出來”. 說出來是數(shù)學(xué)表示教學(xué)思想的體現(xiàn)，說出來的目的是讓學(xué)生大腦中的數(shù)學(xué)模型變得清晰、準(zhǔn)確，這可以避免學(xué)生在建模的過程中因?yàn)槟Ｐ湍：鴮?dǎo)致知識(shí)掌握不準(zhǔn)確、應(yīng)用低效等情形.

數(shù)學(xué)概念作為垂直數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物，其最大的價(jià)值在于幫學(xué)生擴(kuò)展、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 因?yàn)楦拍钍墙?gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)，也是認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有效結(jié)點(diǎn)，垂直數(shù)學(xué)化的過程，在深化學(xué)生概念認(rèn)識(shí)的方面是起到重要作用的.

數(shù)學(xué)化理念，奠定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育思路

弗賴登塔爾在界定數(shù)學(xué)化的時(shí)候，明確提出數(shù)學(xué)化的過程就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程. 這意味著數(shù)學(xué)教學(xué)要堅(jiān)持從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，走向數(shù)學(xué)的思路. 尤其是對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，更多、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，只有有效地依靠現(xiàn)實(shí)生活中的事例，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上.

從核心素養(yǎng)培育的角度來看，我們可以看到數(shù)學(xué)化的過程中，需要讓學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)例子進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，需要讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推理，也有充分的數(shù)學(xué)建模過程. 而根據(jù)史寧中教授的界定，這三者恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)最重要的組成部分，因此可以認(rèn)為在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)化的理念，是可以促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成的. 從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)化的教學(xué)理念是可以立足于數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)，面向核心素養(yǎng)培育的未來的.