國內(nèi)三種《復變函數(shù)》教材的比較與分析

湯 獲，王曉英

（赤峰學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

《復變函數(shù)》是高等師范院校數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課程，也是理工科類院校力學、物理學、天文學等專業(yè)的必修課程，其教材選用的好壞直接關系到該課程的建設質(zhì)量和水平，也影響到學生的學習效果.目前，國內(nèi)《復變函數(shù)》教材版本較多，有20余種，但經(jīng)典教材并不多見.例如，鐘玉泉[1]主編的《復變函數(shù)論》（第四版，2013年8月出版）（以下簡稱教材1），曾獲高等學校優(yōu)秀教材二等獎；余家榮[2]主編的《復變函數(shù)》（第三版，2000年3月出版）（以下簡稱教材2），是面向21世紀課程教材和普通高等教育“九五”國家級重點教材；路見可、鐘壽國、劉士強[3]主編的《復變函數(shù)》（修訂版，1999年7月出版）（以下簡稱教材3），是理工科專業(yè)熱門教材.雖然這些教材在內(nèi)容編排上幾乎一致，但其在適用對象、例題和練習題的設置以及專業(yè)名詞的應用上有本質(zhì)的區(qū)別.本文以上述三種《復變函數(shù)》教材為例，從教材適用對象、內(nèi)容編排、例題、練習題以及專業(yè)名詞譯名等幾個方面進行分析和比較（見表1-7），指出其區(qū)別和聯(lián)系，為不同專業(yè)的師生合理選用該教材提供一些理論依據(jù).

1 教材適用對象的比較

由表1可以看出，教材1主要適用于高等師范院校數(shù)學專業(yè)學生，而教材2和教材3主要適用于非數(shù)學專業(yè)理工科學生.

表1 三種教材適用對象的比較

2 教材內(nèi)容的比較

由表2可以看出，三種教材在內(nèi)容編排上幾乎一致，都是從復數(shù)和復變函數(shù)的基本理論出發(fā)，內(nèi)容由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，做到理論聯(lián)系實際，符合學生的學習習慣，但它們之間也存在區(qū)別：章節(jié)安排上，教材1和教材3都有九章內(nèi)容，而教材2只有八章內(nèi)容.內(nèi)容編排上，教材1不但介紹了留數(shù)的理論知識，還給出了留數(shù)理論的某些應用；教材2和教材3都是將解析函數(shù)的冪級數(shù)展開和洛朗展開統(tǒng)一歸為一章，相對于教材1來說介紹過于籠統(tǒng).另外，教材3還將解析函數(shù)在平面場中的應用單獨作為一章，這充分體現(xiàn)了該教材非常注重復變函數(shù)理論的應用.

表2 三種教材內(nèi)容的比較

3 例題和練習題的比較

3.1 例題、練習題和思考題的數(shù)量

表3 三種教材中例題和練習題總量統(tǒng)計表

從表3可知，教材1中例題的數(shù)量最多；教材3中習題數(shù)量最多，教材1次之.教材1和教材3中思考題數(shù)量差別不大，但設置順序有所不同，教材1中思考題是直接設置在某個定義、定理或推論證明之后，而教材3是單獨設置在每章練習題之前.

3.2 例題和練習題的數(shù)學認知水平

一般地，我們把學生對例題和練習題的數(shù)學認知水平劃分為四個層次[4].

水平1:計算—操作性記憶水平.根據(jù)教科書要求的步驟或方法進行簡單的計算.這里，我們將與例題算法相同或相似的練習題都歸為水平1.例如，教材[2，第7頁]中例題3：設z1及z2是兩個復數(shù)，求證教材[2，第 13 頁]中的習題 1（5）：設 z1及 z2是兩個復數(shù)，求證：

水平2:概念—概念性記憶水平.按照某些概念或定義進行簡單的識別活動.例如，教材[1，第6頁]中例題1.9：求復數(shù)的實部、虛部和模；教材[3，第 8 頁]中習題 1.1（2）：求 1+i和 -i的n次方根.對于這兩題，只要學生掌握了復數(shù)的實部、虛部、模以及方根的定義就能計算出來.

水平3:領會—說明性理解水平.對于較復雜的問題，我們在理解了概念和步驟的基礎上，選擇合適的解題方法，再靈活運用所學知識來進行簡單的推理.這里，我們把與例題相近或形式不同的練習題都歸為水平3.例如，教材[1，第131頁]中例題3.15：驗證u(x,y)=x3-3xy3是平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以u(x,y)為實部的解析函數(shù)f(z)，使?jié)M足f(0)=i；教材[2，第 85 頁]中習題 4（16）：設函數(shù) f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析，證明：如果對某一點z0∈D，有f(n)(z0)=0，n=1,2,……，那么，f(z)在D內(nèi)為常數(shù).

水平4:分析—探究性理解水平.對于比較復雜或綜合性強的問題，我們需要具備較高層次的數(shù)學認知水平和綜合分析能力來創(chuàng)造性地解決問題.這里，我們將與例題差別較大、需要綜合更多的數(shù)學知識和計算方法或沒有現(xiàn)成解決方法的習題都歸為水平 4.例如，教材[1，第 143 頁]中習題 3（12）：如果在 |z|＜1內(nèi)的函數(shù) f(z)解析，且試證

下面，我們根據(jù)上述四個數(shù)學認知水平，分別對三種教材中的例題和練習題進行分析和比較，并統(tǒng)計出它們在各水平上的數(shù)量和所占比例（見表4和表 5）.

表4 三種教材中例題的數(shù)學認知水平的比較

從表4可知，三種教材中例題都是水平3所占比例最大，水平1次之，水平2和水平4所占比例都較小.由此可知，三種教材中例題設置都是注重在理解分析方面，而對概念、定義類和需要綜合性的數(shù)學知識去解決的例題要求較低.

表5 三種教材中練習題的數(shù)學認知水平的比較

從表5可知，三種教材中練習題的數(shù)學認知水平都是以水平3為主，水平1次之，符合對所學知識鞏固理解的要求，同時，也要加強學生分析解決問題的能力.對水平2的習題只是考查學生對概念定義的理解程度，所占比例適宜.而對水平4的習題是要求學生具備扎實的綜合數(shù)學知識和較強的分析能力，因此，此水平的習題在三種教材中所占比例都較小.

4 其他部分的比較

表6 三種教材中譯名、索引、插圖數(shù)量統(tǒng)計表

從表6可知，教材1和教材2中外國人名譯名都是27個，但教材2中外國人名譯名是以對照表形式附在課本后面的，而教材1和教材3中外國人名譯名則是隨著名詞出現(xiàn)的，一目了然，便于學生直接記憶.另外，只有教材1和教材2分別附有專業(yè)名詞譯名和索引.教材1中插圖最多，有132個，比較符合師范類專業(yè)教材的特點，簡潔直觀，圖文并茂，便于學生理解和掌握.

表7 三種教材中部分名詞譯名的比較

從表7可以看出，教材1和教材2中專業(yè)名詞譯名基本一致，只是個別譯名稍微有點不同.而教材3中專業(yè)名詞譯名完全與教材1和教材2不一致.

5 小結

通過以上分析和比較發(fā)現(xiàn)，教材1理論性內(nèi)容較多，應用性內(nèi)容偏少，概念引入、定理推導過程詳細，插圖和譯注豐富，圖文并茂，適合高等學校數(shù)學專業(yè)學生或自學者使用；教材2和教材3理論性內(nèi)容和應用性內(nèi)容并重，對定理推導過程要求不高，應用性較強，非常適合非數(shù)學專業(yè)理工科學生或工程技術人員使用.