一類滿足線性遞推關(guān)系的行列式的特征根解法

黃家云

1 背景介紹

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中一個(gè)重要而基礎(chǔ)性的問題。因?yàn)樾辛惺降念愋颓ё內(nèi)f化,所以行列式的計(jì)算方法也五花八門。其中,滿足遞推關(guān)系的行列式因?yàn)槠溥B續(xù)兩階或三階之間具有特殊的規(guī)律性,一直吸引著研究者的興趣,由此發(fā)展出了關(guān)于滿足遞推關(guān)系的行列式的一些算法,如：數(shù)學(xué)歸納法、遞推法等[1]。

在二階常微分方程中,常系數(shù)線性齊次微分方程因?yàn)槲粗瘮?shù)的原函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)三者滿足線性關(guān)系,由此通過建立特征方程,進(jìn)一步根據(jù)特征根的情況討論其通解[2]。受此啟發(fā),如果一個(gè)行列式連續(xù)三階之間也滿足線性關(guān)系p·Dn+2+q·Dn+1+r·Dn=0,這里p,q,r均為實(shí)數(shù),那么能不能通過建立特征方程,并根據(jù)特征根的情況來推導(dǎo)其通項(xiàng)公式呢？通過推導(dǎo),可以得到關(guān)于滿足線性遞推關(guān)系的行列式的通項(xiàng)公式。

2 主要結(jié)論

定義 設(shè)行列式D滿足線性遞推關(guān)系p·Dn+2+q·Dn+1+r·Dn=0,稱方程p·λ2+q·λ+r=0為D的特征方程,稱方程p·λ2+q·λ+r=0根為D的特征根。

定理 設(shè)行列式D滿足線性遞推關(guān)系p·Dn+2+q·Dn+1+r·Dn=0,則有：

(1)如果D的特征根為λ1≠λ2,那么Dn=a·λ1n-1+b·λ2n-1;

(2)如果D的特征根為λ1=λ2=λ,那么Dn=(a+n·b)·λn-1。

注: 上述通項(xiàng)公式Dn中的a,b是待定常數(shù),可通過n=1,2求得。

證明數(shù)學(xué)歸納法

(1)假設(shè)當(dāng)行列式的階數(shù)小于等于n+1時(shí),結(jié)論成立,即有:

Dn=a·λ1n-1+b·λ2n-1

那么由遞推公式p·Dn+2+q·Dn+1+r·Dn=0,可得

(*)

不難驗(yàn)證,當(dāng)Dn+2=a·λ1n+1+b·λ2n+1時(shí),(*)式成立,即:

3 應(yīng)用舉例

利用上面定理的結(jié)論,可以推導(dǎo)出連續(xù)三階滿足齊次線性遞推關(guān)系的行列式的通項(xiàng)公式。

例1計(jì)算n階行列式

解按照第一行展開得

Dn=-Dn-2即Dn+Dn-2=0

于是特征方程為x2+1=0,解得特征根為x1=i,x2=-i。

從而,可令Dn=a·in-1+b·in-1,當(dāng)n=1,2時(shí)有:

例2計(jì)算n階行列式

解按照第一行展開得Dn=9Dn-1-20Dn-2即Dn-9Dn-1+20Dn-2=0。

于是,特征方程為x2-9x+20=0,解得特征根x1=4,x2=5。

從而Dn=a·4n-1+b·5n-1,當(dāng)n=1,2時(shí)有:

所以,Dn=5n+1-4n+1。

例3計(jì)算n階行列式

Dn=

解(1) 當(dāng)α=0時(shí),Dn=βn。

(2)當(dāng)α≠0時(shí),將行列式按照第一行展開得:

Dn=(α+β)·Dn-1-α·β·Dn-2

也即

Dn-(α+β)·Dn-1+α·β·Dn-2=0。

特征方程為

x2-(α+β)·x+α·β=0,

解得特征根為:

x1=α,x2=β。

針對(duì)α與β的關(guān)系,討論如下:

(I)當(dāng)α=β≠0時(shí),令Dn=(a+b·n)·αn-1。當(dāng)n=1,2時(shí)有:

解得

a=b=α,

從而

Dn=(n+1)·an。

(II)當(dāng)α≠β時(shí),令Dn=a·αn-1+b·βn-1。當(dāng)n=1,2時(shí)有:

解得

所以

微分方程與線性代數(shù)本是屬于數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同領(lǐng)域,其研究對(duì)象和背景可謂風(fēng)馬牛不相及。但是,他們?cè)诮鉀Q問題的思想上卻可以一脈相承如出一轍。由此可見,數(shù)學(xué)思想的遷移是數(shù)學(xué)解決問題靈活性的展現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想的遷移,源于不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間的相似類比,在形式上相似的事物或問題在研究思路或解決的思想上往往是相通的。