一種等比半群作用下的分形集的Hausdorff維數(shù)

金艷玲

(山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,山西 太原 030031)

分形維數(shù)的計算是分形理論中比較基礎(chǔ)且重要的課題．近年來在物理、化學(xué)、金融,乃至環(huán)境科學(xué)中的應(yīng)用都十分活躍．本文討論的是符號迭代理論中經(jīng)過有限型轉(zhuǎn)移所形成的相應(yīng)于[0,1]區(qū)間上的分形集的Hausdorff維數(shù)．文獻(xiàn)[1]中計算了公比q=2時,分形集的Hausdorff維數(shù)和盒維數(shù),文獻(xiàn)[2]推廣任意公比為q時的結(jié)論,文獻(xiàn)[3]則探討了二維空間上的壓縮變換下的分形集的Hausdorff維數(shù)．文獻(xiàn)[4]討論了Sobolev映射下的一類分形集的Hausdorff維數(shù).本文探討公比取一般值q2時的等比數(shù)列作用下的分形集的Hausdorff維數(shù)．

0 引言

[0,1]區(qū)間上與XΩ相應(yīng)的子集記為θΩ,

在序列空間∑中定義長度

ρ((xk),(yk))=m-min{n::xn≠yn}+1

則θΩ與XΩ的維數(shù)恰好相等,這相當(dāng)于限制θΩ的覆蓋為m進(jìn)制區(qū)間,所以要求解θΩ的Hausdorff維數(shù)dimH(θΩ),我們主要討論集合XΩ．

1 本文的主要結(jié)論

相應(yīng)地,定義XΩ上的概率測度

我們將使用文獻(xiàn)[1]中的重要引理,用以求解維數(shù)的上下限．

引理1 設(shè)E是∑中的一個Borel集,v為∑上的一個有限Borel測度

定理2 對于如上定義的XΩ,有dimH(XΩ)≥q2logmtφ.

令l→∞,則有

又由條件熵公式

由引理1可知dimH(XΩ)≥q2logmtφ.

定理3 對于如上定義的XΩ,有dimH(XΩ)=q2logmtφ.

證明 以下證明dimH(XΩ)≤q2logmtφ.

由μ和Pμ的定義可得

則(1)式可化為

所以,dimH(θΩ)=dimH(XΩ)=q2logmtφ.