利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題

（江門市江海區(qū)外海中學(xué) 廣東江門 529000）

導(dǎo)數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想，它給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實(shí)際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風(fēng)景線，也使它成為新教材高考試題的熱點(diǎn)和命題新的增長點(diǎn)．這幾年的高考命題趨勢表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具．將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合，不僅能加強(qiáng)能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實(shí)踐意義．

題型一：導(dǎo)數(shù)與恒不等式

例：已知向量a=（x2，x+1），b=（1－x，t），若函數(shù)f（x）= a．b在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

解法一： 由f（x）= a ．b得f（x）=x2（1－x）+t（x+1）=－x3+x2+ tx+ t，則f/（x）= －3x2+ 2x+ t，若f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)f/（x）≥0。所以f/（x） ?t≥3x2－2x在區(qū)間（-1，1）上恒成立。

故t的取值范圍是t≥5。

解法二： 由f（x）= a ．b得f（x）=x2（1－x）+t（x+1）=－x3+x2+ tx+ t，則則f/（x）= －3x2+ 2x+ t，若f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)f/（x）≥0。

因?yàn)閒/（x）= －3x2+ 2x+ t的圖象是開口向下的拋物線，所以當(dāng)且僅當(dāng)f/（1）= t－1≥0，且f/（-1）= t－5≥0時(shí)，f/（x）在（-1，1）上滿足f/（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)。

故t的取值范圍是t≥5。

啟思：考察導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，在解題過程中，對恒不等式的理解是解題的關(guān)鍵。

變式題：

已知函數(shù)f（x）=x3－tx－1（1）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求t的取值范圍。（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使f（x）在（—1，1）上單調(diào)遞減，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由。

題型二：導(dǎo)函數(shù)的極值與分類討論

例：設(shè)函數(shù)f（x）= 2x3－3（a+1）x2+ 6ax+ 8。（1）若f（x）在x= 3處取得極值，求常數(shù)a的值；（2）若f（x） 在（—∞，0）上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

解：（1）f/（x）= 6x2－6（a+1）x+ 6a=6（x－1）（x－a）.

因?yàn)閒（x）在x= 3處取得極值，所以f/（3）= =6（3－1）（3－a）=0。解得a=3。

經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a=3時(shí)，x= 3為f（x）的極值點(diǎn)。

（2）令f/（x）= 6（x－1）（x－a）=0得x1=a，x2=1.

當(dāng)a＜1時(shí)，若x∈（—∞，a）∪（1，+∞），則f/（x）＞0，所以f（x）在（—∞，a）和（1，+∞）上為增函數(shù)。故當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x） 在（—∞，0）上為增函數(shù)。

當(dāng)a≥1時(shí)，若x∈（—∞，1）∪（a，+∞），則f/（x）＞0，所以f（x）在（—∞，1）和（a，+∞）上為增函數(shù)。從而f（x）在（—∞，0）上也為增函數(shù)。

綜上所述，當(dāng)a∈ [0，+∞）時(shí)，f（x） 在（—∞，0）上為增函數(shù)。

啟思：當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論常常難于避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類原則和討論的準(zhǔn)確性。

變式題：

已知函數(shù)f（x）=x3＋3bx+2c，若函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)落在x軸上，求b3+c2的值。

題型三：導(dǎo)函數(shù)與轉(zhuǎn)化的思想方法

例：曲線y=f（x）= ax3＋bx2+cx，當(dāng)x=1—時(shí)，f（x）有極小值，當(dāng)x=1+時(shí)有極大值，且在x=1處切線的斜率為。（1）求f（x）；（2）曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對稱？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并給出證明；若不存在，請說明理由。

解：y=f（x） = ax3＋bx2+cx在x=1—時(shí)，f（x）有極小值，當(dāng)x=1+時(shí)有極大值，所以f/（1±）=0即1±為3ax2＋2bx+c=0的兩根。

（2）設(shè)存在P（x0，y0），使得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，則

f（x0+x）+ f（x0－x）=2y0。即

因?yàn)閷τ谌我鈞∈R等式都成立，

啟思：本題是函數(shù)解析式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何中的點(diǎn)對稱等內(nèi)容的綜合應(yīng)用，而把導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化相應(yīng)函數(shù)知識點(diǎn)是關(guān)鍵，解題的整個(gè)過程中也充滿了分析和推理，需要有較強(qiáng)的問題解決能力和綜合素質(zhì)。

變式題：已知函數(shù)y=f（x）= ax3＋bx2-3x在x =±1處取到極值。（1）求f（x）的解析式；（2）過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程。

利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題無論是對于學(xué)生的知識能力的要求還是意志品質(zhì)的要求都比較高，在考試有限的時(shí)間內(nèi)完成也不是容易的事情，所以對于這類題問題，在教學(xué)的過程中除了要加強(qiáng)訓(xùn)練，還要注意培養(yǎng)學(xué)生解題能力和良好的心理素質(zhì)。