四川省蓬安縣長梁鄉(xiāng)馬回小學(xué)校 周建國

大約1500多年前，《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個有趣的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？這就是著名的“雞兔同籠”問題。

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們根本不會把雞兔關(guān)在同一個籠子里，就算是出現(xiàn)了這樣的情況，也不會通過去數(shù)頭和腳來計算雞兔的數(shù)量，那為什么這樣的一個不可能發(fā)生的問題卻能經(jīng)過1500年的洗禮流傳至今呢，它經(jīng)久不衰的魅力究竟在哪兒呢？教學(xué)“雞兔同籠”問題究竟能給孩子帶來什么?我通過對“雞兔同籠”的教學(xué)，對這個問題進(jìn)行了一些膚淺的探究，下面我就來談?wù)勊l(fā)現(xiàn)的“雞兔同籠”問題中數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

一、化歸思想的滲透

化歸是指將有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，以求得解決?！盎睘楹啞本褪沁@一思想方法的運(yùn)用。

《算經(jīng)》中“雞兔同籠”問題的數(shù)據(jù)比較大一些，為了便于小學(xué)生進(jìn)行研究，根據(jù)化繁為簡的思想，將原題中的數(shù)據(jù)修改為較小的數(shù)據(jù)。如：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22只腳。雞和兔各有幾只？”（以下均以此題為例）這樣在學(xué)生掌握了解決“雞兔同籠”問題的一般思想方法和策略后，再應(yīng)用于解決《算經(jīng)》中數(shù)據(jù)比較大的原題時，更來得簡單容易。

二、數(shù)形結(jié)合思想的滲透

“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，借助形象的圖形，可以使得某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動化，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動有趣，更加符合小學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。

三、列表枚舉思想的滲透

用列表枚舉法解決問題，就是把所有的可能的問題答案逐個找出來，再以表格的方式進(jìn)行整理，利用問題中的已知信息進(jìn)行驗證，得從而得到正確答案。它是一種非常樸實(shí)并且實(shí)用的解決問題的方法。

在例題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“雞兔共有8個頭”這一個條件，大膽地猜測“雞、兔各幾只？”并用表格的形式逐一羅列出可能的問題答案，再根據(jù)“有腿一共22只”來驗證。

雞/只 0 1 2 3 4 5 6 7 8兔/只 8 7 6 5 4 3 2 1 0腳/只 32 30 28 26 24 22 20 18 16

在不斷的猜測、驗證的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“如果總腳數(shù)多了，就是兔子的只數(shù)猜多了，就要減少兔的只數(shù)而增加雞的只數(shù)；反之，則應(yīng)減少雞的只數(shù)增加兔的只數(shù)。”甚至有學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果“從中間數(shù)（即雞兔各4只）開始猜，腳多就多猜雞，腳少就多猜兔?！蹦芨涌旖莸卣业絾栴}的準(zhǔn)確答案。這樣的學(xué)習(xí)過程既符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和解決問題的習(xí)慣，同時又滲透了枚舉思想，并不斷地優(yōu)化枚舉策略，進(jìn)一步提升學(xué)生思維的靈活性。

四、假設(shè)思想的滲透

假設(shè)思想是將憑借創(chuàng)造性想象，將題中的某個條件假定為與之相近的另一個條件，并從假定條件入手，分析數(shù)量關(guān)系。假設(shè)是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。合理運(yùn)用假設(shè)法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養(yǎng)靈活的解題技能。

雞和兔的腳的只數(shù)不同是學(xué)生在解決“雞兔同籠”問題時最大的思維障礙，為了消除這一障礙，在例題教學(xué)中，假設(shè)讓每只雞都長出2只腳來，這樣雞和兔子都有四條腿，這時候假設(shè)的情況一共就有8×4=32只腳了，比實(shí)際的“22只”多了32-22=10只，所以雞就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。學(xué)生對雞再長2只腳的假設(shè)非常感興趣，既激發(fā)了探索欲，也使得學(xué)生喜歡上這種天馬行空的“假設(shè)法”解決問題的策略，古人解決“雞兔同籠”問題的“抬腳法”，其中也應(yīng)用了“假設(shè)法”。

五、建模思想的滲透

“學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，就是把數(shù)學(xué)研究對象的某些特征進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言、圖形或模式表達(dá)出來，建立數(shù)學(xué)模型。”建立模型是指人們在以數(shù)學(xué)方式研究具體問題時，通過一系列的思維活動來探究、挖掘具體事物的本質(zhì)與關(guān)系，最終以符號、模型等方式將其中的規(guī)律揭示出來，使復(fù)雜的問題本質(zhì)化、一般化，讓同類問題的解決有了共同的程序與方法。

在例題教學(xué)中，假設(shè)8只全部都是雞或者全部都是兔，再計算全部是雞或者全部是兔子的腳的總數(shù)與實(shí)際的“22只”總數(shù)之間的差距，最后就可以推算出雞和兔的只數(shù)。比如，假設(shè)8只全是兔，那么假設(shè)的腳的總數(shù)有8×4=32只，比實(shí)際的“22只”多了32-22=10只，所以雞就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。在解決了“雞兔同籠”問題后，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考假設(shè)的這一過程，概括提煉解題模型：“雞數(shù)=（雞兔總數(shù)×4－實(shí)際的腳數(shù)）÷（4－2）”；同理，用“抬腳法”假設(shè)，則可以得出“兔數(shù)=（實(shí)際的腳數(shù)－雞兔總數(shù)×2）÷（4－2）”。在抽象出數(shù)學(xué)模型后，引導(dǎo)學(xué)生利用模型解決類似的實(shí)際問題，如“龜鶴問題”、“坐船問題”、“答題問題”“捐款問題”等，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯(lián)系，再進(jìn)一步求解，可以使模型得到的鞏固、擴(kuò)展，從而促進(jìn)知識的內(nèi)化、思想的升華。

以上就是“雞兔同籠”問題的解法中蘊(yùn)含的幾種數(shù)學(xué)思想方法，從上述討論中看出每一種解法中可能蘊(yùn)含不止一種數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)時，既要讓學(xué)生掌握解決“雞兔同籠”這一問題的策略，也要滲透一些數(shù)學(xué)的思想方法，從而提升其思維能力。但切記多種方法不必也不宜一哄而上，應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材、學(xué)生的年齡和心理特征，引導(dǎo)學(xué)生充分展示、交流不同的方法，讓學(xué)生選擇適合自己的方法解答的同時，感悟不同的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，是將學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題能力的橋梁，唯獨(dú)構(gòu)建起這個橋梁，才能讓學(xué)生在學(xué)好數(shù)學(xué)的同時，又能用好數(shù)學(xué)，借助數(shù)學(xué)來服務(wù)于他們的生活。