黃 秦 安

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)是什么？它是從無(wú)可置疑的正確前提到不容懷疑的正確結(jié)論的邏輯鏈條構(gòu)成的技術(shù)文本嗎？這個(gè)問(wèn)題對(duì)持有絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家來(lái)說(shuō)，似乎問(wèn)的有些多余。然而20世紀(jì)以來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展，尤其是隨著絕對(duì)主義和基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)信念的破產(chǎn)，卻迫使人們不得不重新審視何為數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)這一看似簡(jiǎn)單實(shí)則相當(dāng)復(fù)雜的科學(xué)詮釋學(xué)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)證明結(jié)構(gòu)的多視角審視以及對(duì)若干典范性數(shù)學(xué)證明案例的分析可以斷言，從來(lái)就沒(méi)有一個(gè)不變的、永恒的、絕對(duì)的和形而上學(xué)的關(guān)于數(shù)學(xué)證明的元敘事模式。數(shù)學(xué)證明是一種具有特定語(yǔ)義內(nèi)涵和語(yǔ)法結(jié)構(gòu)、其意義隨著知識(shí)與范式的變遷而不斷變化的科學(xué)敘事。它具有鮮明的擬邏輯性、文本性與文本修辭性。所謂“擬邏輯性”是指超出純粹邏輯界限且包含邏輯內(nèi)核的各個(gè)部分所構(gòu)成的“合金”形態(tài)；就文本性而言，數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)彰顯了一種新的語(yǔ)言解釋學(xué)，在屬性上是一種基本的科學(xué)語(yǔ)言解釋系統(tǒng)；從文本修辭性來(lái)看，數(shù)學(xué)證明的一個(gè)重要功能是為了說(shuō)服。而數(shù)學(xué)證明以何種修辭手法說(shuō)服自我與他人，就成為數(shù)學(xué)證明的一個(gè)具有鮮明主體間性的社會(huì)化語(yǔ)言計(jì)謀。作為一種特殊的科學(xué)敘事，數(shù)學(xué)證明校驗(yàn)并辯護(hù)了數(shù)學(xué)知識(shí)的相對(duì)獨(dú)立性、數(shù)學(xué)真理的相對(duì)客觀性和數(shù)學(xué)方法的自足性、局部性與普遍有效性。

一、 數(shù)學(xué)證明“元敘事”的淵源、興盛與衰落

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)證明作為知識(shí)合法化的一種有效途徑，不乏對(duì)宏大“元敘事”的追求和迷戀。為了論述的便利，首先對(duì)數(shù)學(xué)中的宏大敘事或元敘事概念予以界定。數(shù)學(xué)上的宏大敘事或元敘事是指那些想要包攬一切的、徹底解決所有相關(guān)問(wèn)題的(其實(shí)是無(wú)法完全實(shí)現(xiàn)的)宏偉的、氣勢(shì)磅礴的數(shù)學(xué)規(guī)劃。近代以來(lái)，笛卡爾的“萬(wàn)能代數(shù)方法”和萊布尼茨的“普遍語(yǔ)言”構(gòu)想就是這樣兩個(gè)典范。在笛卡爾時(shí)代，人們用“universal mathematics”來(lái)表示包括代數(shù)和幾何在內(nèi)的、提供可靠運(yùn)算和其他可以被測(cè)量和計(jì)算的量的法則的學(xué)問(wèn)。[1]到了萊布尼茲那里，“Mathesis universalis”的含義是普遍數(shù)學(xué)或普遍科學(xué)。19世紀(jì)末，弗雷格提出把數(shù)學(xué)歸約為邏輯的規(guī)劃，后來(lái)被羅素和懷特海系統(tǒng)地表述為邏輯主義規(guī)劃，也是數(shù)理邏輯學(xué)元敘事的一個(gè)典范。

追求知識(shí)的系統(tǒng)化、整體性和統(tǒng)一性構(gòu)成了不同類(lèi)型數(shù)學(xué)“元敘事”的共同特征。20世紀(jì)初，希爾伯特提出了證明論思想達(dá)到了數(shù)學(xué)證明“元敘事”的一個(gè)頂點(diǎn),是真正數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)意義上的數(shù)學(xué)“元敘事”。“元數(shù)學(xué)”之本意乃是試圖凌駕于數(shù)學(xué)之上的、更為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)元知識(shí)。在“論無(wú)限”這篇著名的演講中，希爾伯特表達(dá)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)具有最高的數(shù)學(xué)知識(shí)權(quán)威性的元數(shù)學(xué)觀點(diǎn)：“在某種意義上，數(shù)學(xué)成了一個(gè)仲裁法庭，一個(gè)裁決根本問(wèn)題的最高法庭——這種裁決有具體的根據(jù)，這根據(jù)是每個(gè)人都能同意，并且每一個(gè)陳述都能據(jù)此得到控制的”[2]230。1930年，希爾伯特曾給出關(guān)于數(shù)學(xué)證明的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的形式主義定義：“一個(gè)證明就是一組公式構(gòu)成的程序，其中的公式或者是公理，或者是按某種推理規(guī)則從以前的公式得到的”[3]。然而這一定義卻過(guò)于理想化和簡(jiǎn)單化了，只是20世紀(jì)初人們關(guān)于數(shù)學(xué)證明的一種基于形式邏輯視角的天真且理想化的觀點(diǎn)。真正的數(shù)學(xué)證明其實(shí)很難達(dá)到完全意義上的純粹性。事實(shí)上，這種具有終極意義的宏大敘事或元理論的基本立場(chǎng)在1931年哥德?tīng)柊l(fā)表其著名的“不完全性定理”之后就遭到了整體性的失敗。

作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義和元綱領(lǐng)的一個(gè)典范，形式主義者把數(shù)學(xué)“元敘事”推向了極致。之后布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義思想是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)意義上的“宏大敘事”。與形式主義相比，結(jié)構(gòu)主義模式中的“元”色彩有所淡化，但“宏大性”有增無(wú)減。從1935年成立開(kāi)始，雖然布爾巴基的成員在不斷變化，但其學(xué)派宗旨卻始終如一，即“著手把整個(gè)數(shù)學(xué)放在一個(gè)統(tǒng)一的、一般的、進(jìn)而是非常抽象的基礎(chǔ)之上”[4]。布爾巴基學(xué)派計(jì)劃完成一部百科全書(shū)式的數(shù)學(xué)巨著——《數(shù)學(xué)原理》，以期對(duì)全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)進(jìn)行一番徹底的整理和探討。從1939年到1967年，布爾巴基共出版了33卷《數(shù)學(xué)原理》，每卷大約有100—300頁(yè)，[5]可謂恢弘巨作?？梢哉f(shuō)，作為一種后基礎(chǔ)主義運(yùn)動(dòng)，布爾巴基運(yùn)動(dòng)也許是數(shù)學(xué)發(fā)展史上最后一個(gè)具有真正宏大的元敘事性綱領(lǐng)了。經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的輝煌，到1983年，布爾巴基出版了其最后一部著作之后就陷入了沉寂。

為什么諸如形式主義和結(jié)構(gòu)主義這樣的宏大“元敘事”會(huì)趨于衰落？究其原因，形式主義規(guī)劃的突出特點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)“元知識(shí)”的盲目信仰。實(shí)際上，把數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題通過(guò)上升至“元知識(shí)”層面來(lái)解決不失為一種高超的數(shù)學(xué)思想與策略，但過(guò)于強(qiáng)勢(shì)和嚴(yán)苛的主張卻給自我造成了認(rèn)識(shí)論上難以逾越的障礙。在結(jié)構(gòu)主義那里，對(duì)形式化結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的青睞、貶抑并排斥了難以結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)對(duì)象和實(shí)體，自然就給自己設(shè)立了認(rèn)識(shí)的局限和盲點(diǎn)。

無(wú)論是在形式主義還是在結(jié)構(gòu)主義那里，嚴(yán)格性都是衡量數(shù)學(xué)知識(shí)可信性的一個(gè)重要指標(biāo)。這一純粹的數(shù)學(xué)內(nèi)部嚴(yán)格性標(biāo)準(zhǔn)受到了來(lái)自多方的批評(píng)。著名數(shù)學(xué)家瑟斯頓(W. Thurston)指出：“當(dāng)數(shù)學(xué)家在做數(shù)學(xué)的時(shí)候，更加依賴(lài)于想法的涌動(dòng)和社會(huì)關(guān)于有效性的標(biāo)準(zhǔn)，而不是形式化的證明。”[6]在推測(cè)性數(shù)學(xué)的倡導(dǎo)者那里，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的嚴(yán)格性受到嚴(yán)重質(zhì)疑。其代表人物賈弗(A. Jaffe)和奎因(F. Quinn)在引起極大反響的《假設(shè)數(shù)學(xué)：走向數(shù)學(xué)和理論物理的文化綜合》一文中，主張把數(shù)學(xué)分為由證明所確立的“嚴(yán)格數(shù)學(xué)”(rigorous mathematics)和建立在推測(cè)和直覺(jué)基礎(chǔ)上的“假設(shè)數(shù)學(xué)”(theoretical mathematics)，并論證了允許“推測(cè)數(shù)學(xué)”(speculative mathematics)存在的理由。[7]在《證明和數(shù)學(xué)中的革命》一文中，賈弗還特別批評(píng)了布爾巴基的形式論證，認(rèn)為隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們?nèi)找娓械接斜匾艑捵C明嚴(yán)格化的標(biāo)準(zhǔn)，而“在另一個(gè)方向上，從柯西到布爾巴基的鐘擺卻晃得太遠(yuǎn)了”[8]。

從后現(xiàn)代哲學(xué)的視域看，以形式主義和結(jié)構(gòu)主義為代表的基礎(chǔ)主義元話(huà)語(yǔ)恰好成為許多后現(xiàn)代主義者予以解構(gòu)的知識(shí)范例。法國(guó)哲學(xué)家利奧塔(J. F. Lyotard)站在后現(xiàn)代哲學(xué)的立場(chǎng)上對(duì)元敘事的合理性予以否定：“我們不再相信存在著一個(gè)能一勞永逸地捕捉住每一個(gè)最初級(jí)話(huà)語(yǔ)真理的具有特權(quán)的元話(huà)語(yǔ)?！^的元話(huà)語(yǔ)只不過(guò)是所有話(huà)語(yǔ)中的一種?！盵9]333法國(guó)哲學(xué)家福柯主張放棄對(duì)知識(shí)基礎(chǔ)和知識(shí)體系的追求，強(qiáng)調(diào)了非中心化世界的重要性。法國(guó)哲學(xué)家德里達(dá)(J. Derrida)作為解構(gòu)主義的著名代表人物，秉承了尼采和海德格爾的反形而上學(xué)立場(chǎng)，發(fā)起了對(duì)追求普遍性、本質(zhì)性的“邏各斯中心主義”的解構(gòu)。在“書(shū)的終結(jié)和文字的開(kāi)端”一章中，德里達(dá)描述了西方思想傳統(tǒng)中“邏各斯”長(zhǎng)期統(tǒng)治的狀態(tài)：“決定真理的一切形而上因素，甚至海德格爾提醒我們的超越形而上本體神學(xué)的那個(gè)因素，無(wú)論以哪種方式理解該詞的意義——在前蘇格拉底或哲學(xué)的意義上，在上帝的無(wú)限理解或在人類(lèi)文化學(xué)的意義上，在前黑格爾或后黑格爾的意義上，都或多或少與邏各斯密不可分，或與在邏各斯的線性發(fā)展中思考的一種理性密不可分。在這個(gè)邏各斯內(nèi)部，與語(yǔ)音的原始和本質(zhì)聯(lián)系從沒(méi)有間斷過(guò)”[10]100。形式主義和結(jié)構(gòu)主義等倡導(dǎo)的基礎(chǔ)主義元敘事都是“邏各斯中心主義”在數(shù)學(xué)中的典型體現(xiàn)，其衰落也是“元敘事”難以為繼的一個(gè)明證，進(jìn)而“可選擇的、多樣化的數(shù)學(xué)文化形態(tài)和多元數(shù)學(xué)范式的建立，解構(gòu)了存在唯一絕對(duì)的數(shù)學(xué)理念和真理的宏大敘事”。[11]

二、 數(shù)學(xué)證明中的“經(jīng)驗(yàn)話(huà)語(yǔ)”與“擬邏輯”構(gòu)態(tài)

數(shù)學(xué)證明“元敘事”規(guī)劃的整體性破產(chǎn)，不僅印證了后現(xiàn)代主義者對(duì)“元敘事”質(zhì)疑的普遍合理性，而且促使人們重新審視數(shù)學(xué)證明的性質(zhì)，尤其是被長(zhǎng)期忽略、貶抑和輕視的非宏大和非元化的敘事性質(zhì)。為此有必要對(duì)數(shù)學(xué)證明的敘事本質(zhì)和結(jié)構(gòu)重新予以分析。相對(duì)而言，在被視為嚴(yán)格的(如形式化的)數(shù)學(xué)證明結(jié)構(gòu)中，從原始命題(公理)到基本命題的導(dǎo)出基本上是一個(gè)由環(huán)環(huán)相扣的邏輯程式所組成的推理鏈條，如此設(shè)想的數(shù)學(xué)證明就排除了敘事性，即越出或溢出邏輯框架的數(shù)學(xué)話(huà)語(yǔ)。遺憾的是，嚴(yán)格化的證明過(guò)程與結(jié)構(gòu)卻并不是嚴(yán)絲合縫和免于敘事的。在起點(diǎn)上，除了數(shù)學(xué)中有些概念是未能?chē)?yán)格定義的原始定義而減損了數(shù)學(xué)證明的可靠性之外，還有一些定義類(lèi)型在邏輯上也不十分通暢。例如非直謂定義(1)非直謂定義是指一個(gè)被定義的對(duì)象包括在用來(lái)定義它的各個(gè)對(duì)象之中。就有循環(huán)定義之嫌，而這在邏輯上是難以自圓其說(shuō)的。

比定義更令人棘手的是公理的合理性問(wèn)題。按照拉卡托斯的看法，數(shù)學(xué)證明在邏輯結(jié)構(gòu)上最薄弱的環(huán)節(jié)之一就是其起始部分，例如公理系統(tǒng)的初始選擇。任何致力于解決這個(gè)薄弱環(huán)節(jié)的努力，就會(huì)陷入無(wú)窮回歸。由于要避免“無(wú)窮回歸”，所以必須認(rèn)定一些不能加以證明的假設(shè)和前提，例如公理和原始定義。著名數(shù)學(xué)家彭加勒就指出：“一個(gè)幾何對(duì)象的同一性不是由公理所強(qiáng)加的邏輯結(jié)構(gòu)所決定的：它只是一種默會(huì)的假設(shè)；它是一種先于邏輯的未被說(shuō)出的和‘在先’的存在。”[12]61-62由于不能陷入無(wú)窮回歸，所以必須把某些假設(shè)當(dāng)作是不可再予以追索的事實(shí)，這就是公理。那么哪些“事實(shí)性”和“經(jīng)驗(yàn)性”的陳述可以作為公理呢？選取多少條就“剛好夠了”(可以推出大多數(shù)預(yù)想的結(jié)果)呢？這些都是頗費(fèi)思量而且難以取得一致意見(jiàn)的。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀念中，數(shù)學(xué)公理至少應(yīng)該滿(mǎn)足可靠性、自明性和與直覺(jué)的符合性等條件。然而這幾條標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有一條是絕對(duì)可靠并免于質(zhì)疑的。首先，公理并不是那么可靠的。公理遠(yuǎn)非天經(jīng)地義和不可撼動(dòng)的數(shù)學(xué)教條。有些公理其實(shí)可以用相反的原始命題加以替換并得到新的公理系統(tǒng)。其次，公理也不是那么自明的。自從非歐幾何產(chǎn)生之后，人們也不再能用自明性來(lái)看待公理了。第三，公理及其推論也并不總是完全符合直覺(jué)。彭加勒認(rèn)為，“在我看來(lái)……沒(méi)有一個(gè)關(guān)于無(wú)限集合的命題能夠在直覺(jué)上是明顯的。”[13]73更有甚者，公理的本質(zhì)其實(shí)并不僅僅是事實(shí)陳述，它還包含了定義，正如彭加勒所指出的：“幾何學(xué)的公理只不過(guò)是隱蔽的定義”[14]46。

非形式化證明也是一種典型的“擬邏輯”構(gòu)態(tài)。在當(dāng)代數(shù)學(xué)中，有時(shí)候?qū)嵭詴?huì)代替嚴(yán)格性，成為數(shù)學(xué)可接受性的標(biāo)準(zhǔn)。例如在理論物理學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)的依賴(lài)和使用十分頻繁，而此時(shí)嚴(yán)格性的標(biāo)準(zhǔn)會(huì)大大降低。以數(shù)學(xué)物理方程為例，有許多方程的解并不是嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)的，而是嘗試和假設(shè)的結(jié)果，由于與實(shí)際相符合而被接受，這種非形式化的驗(yàn)證成為有效的標(biāo)準(zhǔn)。在被稱(chēng)為新潮數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)中，形式化和嚴(yán)格化的價(jià)值更是被極大地忽略了，取而代之的是用計(jì)算機(jī)進(jìn)行的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。[15]我們把這些不具備嚴(yán)格邏輯意義上的證明形態(tài)稱(chēng)之為“擬邏輯”構(gòu)態(tài)。由于推測(cè)數(shù)學(xué)、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)等非形式化證明在數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造與構(gòu)建中是不可避免，加之形式化證明的固有局限，因此，數(shù)學(xué)中所有的證明形式都不是一個(gè)完美的、天衣無(wú)縫的邏輯鏈條，其間許多縫隙被數(shù)學(xué)直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)所填滿(mǎn)。

更進(jìn)一步看，在很多時(shí)候數(shù)學(xué)家所認(rèn)可的數(shù)學(xué)原理或邏輯規(guī)則未必都完全一致。這種不一致性也會(huì)造成對(duì)何種命題為真、何種證明被認(rèn)可的認(rèn)識(shí)分野。美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德(R. L. Wilder)曾明確表達(dá)了對(duì)存在絕對(duì)證明標(biāo)準(zhǔn)的懷疑：“顯然我們不會(huì)擁有，而且也許永遠(yuǎn)不會(huì)有任何一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)，它能獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明之物，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派。在這種情況下，明智之舉似乎就是承認(rèn)，一般地來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中根本就沒(méi)有絕對(duì)真理這個(gè)東西，而不用去考慮公眾是怎么想的”[16]。懷爾德將公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為例證，他寫(xiě)道：“應(yīng)該承認(rèn)，如果沒(méi)有用到上述原理中的一個(gè)或全部，許多數(shù)學(xué)實(shí)體的存在都是不能證明的”[16]。而事實(shí)是，許多直覺(jué)主義者是不接受在論證中采用諸如“實(shí)無(wú)限”以及頗有爭(zhēng)議的“選擇公理”這樣的公理和原理所得到的證明的。事實(shí)上，把數(shù)學(xué)限制于嚴(yán)格的、苛刻的標(biāo)準(zhǔn)之下，只能造成數(shù)學(xué)發(fā)展的窒息?；蛟S我們必須容忍的是，一些數(shù)學(xué)理論和知識(shí)可能只具有極為有限的嚴(yán)格性形式。而數(shù)學(xué)若想有更長(zhǎng)足的進(jìn)步，那么與其他科學(xué)知識(shí)在本體論和認(rèn)識(shí)論上的交融將不可避免。

三、 數(shù)學(xué)證明中的文本修辭性與詮釋學(xué)意義

隨著不同時(shí)代數(shù)學(xué)范式和共同體的演變，數(shù)學(xué)證明構(gòu)成了一種描述、辯解、修辭的復(fù)雜話(huà)語(yǔ)表達(dá)系統(tǒng)。無(wú)論是經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證還是邏輯的證明，究其本質(zhì)都有難以避免的修辭和詮釋色彩。所謂“修辭”，《辭?！分卸x為“運(yùn)用各種語(yǔ)文材料、各種表現(xiàn)手法，恰當(dāng)?shù)乇憩F(xiàn)寫(xiě)說(shuō)者所要表達(dá)的內(nèi)容的言語(yǔ)活動(dòng)”[17]292。加之?dāng)?shù)學(xué)證明固有的自我說(shuō)明與解釋特征，數(shù)學(xué)證明就具有特別獨(dú)特和突出的修辭與詮釋學(xué)涵義。

我們把數(shù)學(xué)中的文本修辭方法看作是為了更有效地傳遞數(shù)學(xué)信息、表達(dá)數(shù)學(xué)思想所采用的相比較而言在論證上更具感染力的話(huà)語(yǔ)表達(dá)方式。比如，人們通常會(huì)認(rèn)為經(jīng)過(guò)邏輯處理的或者更一般地經(jīng)過(guò)公理化、符號(hào)化或形式化處理之后的數(shù)學(xué)體系會(huì)顯示出更高的可信性，就是因?yàn)楣砘葦?shù)學(xué)工具在人們心中具有更強(qiáng)的修辭說(shuō)服力。一個(gè)權(quán)威數(shù)學(xué)家的話(huà)語(yǔ)權(quán)無(wú)疑要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一個(gè)名不見(jiàn)經(jīng)傳的小字輩的聲音。在此，“修辭”的含義不僅僅限于一般語(yǔ)言學(xué)意義上的“修辭”(即語(yǔ)詞的修飾和言語(yǔ)的技巧)，它還有其自身知識(shí)的語(yǔ)境變遷及語(yǔ)言的默合性含義。例如，從素樸概念到精致概念的轉(zhuǎn)換，像集合概念從樸素到公理化的語(yǔ)境轉(zhuǎn)化和升華，從實(shí)質(zhì)公理學(xué)到形式公理學(xué)的演進(jìn)等，都是概念語(yǔ)境和公理表達(dá)方式變遷的知識(shí)典范；再比如，從悖謬性概念到邏輯化概念，如經(jīng)典實(shí)數(shù)系中無(wú)窮小量概念在語(yǔ)言上的非法性到非標(biāo)準(zhǔn)分析中經(jīng)過(guò)新的實(shí)數(shù)模型的構(gòu)造所獲得的合法性。上述例子都表明隨著數(shù)學(xué)話(huà)語(yǔ)修辭性的不斷增強(qiáng)，其理論說(shuō)服力亦在不斷提高。因此，數(shù)學(xué)的修辭特征本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展與演化中語(yǔ)言維度變量與知識(shí)可信性交互促進(jìn)的體現(xiàn)與投射。

如果僅僅把數(shù)學(xué)證明理解為一種特殊的修辭學(xué)，尚不足以揭示數(shù)學(xué)證明的全部本質(zhì)。數(shù)學(xué)證明還是數(shù)學(xué)家為了說(shuō)服別人相信自己的結(jié)論而構(gòu)造出來(lái)的一種詮釋學(xué)方法，正如一段精彩完整的故事告訴人們一個(gè)事件或人物的始末一樣。與數(shù)學(xué)證明的修辭學(xué)相比，數(shù)學(xué)證明的詮釋學(xué)具有更為廣闊和深邃的語(yǔ)義能指。比普通的文學(xué)故事陳述性結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的是，數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)作用之一是為命題的正確性提供一種合法化的詮釋或解釋?zhuān)嗉醋屪约捍_信同時(shí)也向別人表明，何以某些數(shù)學(xué)事實(shí)和判斷(命題)確實(shí)為真。在這一過(guò)程中，如何讓一個(gè)證明令人信服就成為關(guān)鍵。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈代在《數(shù)學(xué)證明》一文中表達(dá)了數(shù)學(xué)證明的這一特性：“對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)家而言，一種哲學(xué)所要接受的決定性檢驗(yàn)就是它應(yīng)該給出關(guān)于命題和證明的某種合理的解釋。”[18]這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)證明就不可避免帶有一種具有群體傾向的認(rèn)同感、主體性意識(shí)和主體間性的社會(huì)約定的色彩，我們稱(chēng)之為“文本的現(xiàn)象修辭與詮釋性”。需要注意的是，這種現(xiàn)象修辭與詮釋學(xué)也有一個(gè)隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜而呈現(xiàn)出來(lái)的越來(lái)越高級(jí)與精致的修辭形式和文本結(jié)構(gòu)。

赫斯(R. Hersh)在《證明就是說(shuō)服和解釋》一文中，首先指出了在英語(yǔ)中證明(prove)一詞的基本意義，即試驗(yàn)、測(cè)試、確定事務(wù)的真實(shí)狀態(tài)。然后提出了在數(shù)學(xué)中證明(proof)一詞的兩種含義：一是通常意義上的“確信一個(gè)適合的判斷的論證”，二是專(zhuān)業(yè)的數(shù)理邏輯意義上的“按照謂詞演算規(guī)則所進(jìn)行的形式語(yǔ)句轉(zhuǎn)換的序列”。 赫斯認(rèn)為，“在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)證明的首要作用就是令人信服”。赫斯同時(shí)認(rèn)為，除了使人確信之外，數(shù)學(xué)還可以進(jìn)行解釋。[19]一個(gè)數(shù)學(xué)證明如何才能令人信服呢？這個(gè)問(wèn)題不僅與證明中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)事實(shí)的確鑿性與推理的合法性有關(guān)，還與數(shù)學(xué)證明常常采用敘事與修辭的手法有關(guān)。歐內(nèi)斯特相信，數(shù)學(xué)證明其實(shí)具有修辭性，是為了說(shuō)服其他數(shù)學(xué)家而構(gòu)想的說(shuō)服性話(huà)語(yǔ)。[20]183

數(shù)學(xué)證明的文本合法性建基并依賴(lài)于當(dāng)下數(shù)學(xué)共同體的信念以及相對(duì)一致的話(huà)語(yǔ)體系和標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)家馬寧(Y. I. Manin)認(rèn)為，“數(shù)學(xué)證明之所以被接受是因?yàn)樗f(shuō)服了個(gè)體(尤其是數(shù)學(xué)共同體中適當(dāng)?shù)拇砣宋?并使這些人相信它們提供了足夠的理由，而不是因?yàn)樗鼈儩M(mǎn)足外在的、客觀的證明邏輯法則?！盵20]46一個(gè)命題的數(shù)學(xué)證明一開(kāi)始是數(shù)學(xué)家本人在直覺(jué)上堅(jiān)信或相信這個(gè)命題是對(duì)的，然后就要尋求一種讓其他數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)共同體可以接受的方式，這個(gè)方式就是證明的文本構(gòu)造。無(wú)疑，一個(gè)文筆優(yōu)雅、行文流暢、循循善誘的證明要比語(yǔ)言粗糙、強(qiáng)人所難、充滿(mǎn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的證明更容易獲得廣泛的認(rèn)可。著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞認(rèn)為，“如果你想讓其他人理解某個(gè)論證的基本構(gòu)成，它在原則上就應(yīng)該是簡(jiǎn)單和優(yōu)美的。簡(jiǎn)單和優(yōu)美是在數(shù)學(xué)框架內(nèi)最容易對(duì)人類(lèi)心智產(chǎn)生吸引力且被最好地理解的品質(zhì)。”[21]英國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈代甚至表達(dá)過(guò)數(shù)學(xué)證明只不過(guò)是裝點(diǎn)門(mén)面的看法：“嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)，根本沒(méi)有所謂的數(shù)學(xué)證明；……歸根到底，我們只是指出了一些要點(diǎn)；……李特伍德(Littlewood)和我都把證明稱(chēng)之為廢話(huà)，它是為打動(dòng)某些人而編造的一堆華麗詞藻，是講演時(shí)用來(lái)演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想象力的工具。”[22]323雖然哈代的看法有些極端和片面，但卻道出了數(shù)學(xué)證明的某種修辭學(xué)和詮釋學(xué)本質(zhì)。

斯瑪特(H. R. Smart)提出，在日常的口頭和書(shū)面表達(dá)以及法律、歷史甚至科學(xué)文獻(xiàn)中，“一般地存在著把演繹等同于推理的傾向，這兩個(gè)詞含義之間的差異很模糊的?！诳茖W(xué)文獻(xiàn)等諸多表達(dá)中，存在著像‘從以上事實(shí)我推斷出下列命題’；‘從這些精確的被證實(shí)的觀察中，推斷出這樣那樣的法則’；‘從給定的前提，你不能得出這樣的推斷’”[23]。19世紀(jì)末，持有形式主義或邏輯主義信念的數(shù)理邏輯學(xué)家相信他們可以從與經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)無(wú)涉的純粹思想中演繹出整個(gè)純數(shù)學(xué)和純邏輯。然而這種似乎排斥了任何修辭性的邏輯純粹性其實(shí)只不過(guò)是一種虛幻的絕對(duì)主義信條而已?！耙粋€(gè)科學(xué)推理過(guò)程的確立和合法性是不能通過(guò)與自身同樣的過(guò)程來(lái)完成的。”[23]這就意味著，由于會(huì)陷入惡性循環(huán)，按照同樣的邏輯原則從邏輯原則中獲得演繹過(guò)程是不可能的。因此，數(shù)學(xué)推理和證明是不可能完全把自己置于與修辭學(xué)與詮釋學(xué)無(wú)關(guān)的純粹邏輯學(xué)圣地的。

四、 數(shù)學(xué)證明異于普通敘事的獨(dú)特本質(zhì)

作為一種特殊的科學(xué)敘事，數(shù)學(xué)證明在多重視角和語(yǔ)境之下都不能與普通的敘事模式劃等號(hào)，其異于普通敘事的獨(dú)特本質(zhì)亦彰顯了數(shù)學(xué)知識(shí)的話(huà)語(yǔ)特質(zhì)。

首先，數(shù)學(xué)證明作為數(shù)學(xué)文化最顯著的理論特征之一，展示了數(shù)學(xué)知識(shí)在語(yǔ)言系統(tǒng)上的相對(duì)獨(dú)立性以及數(shù)學(xué)作為一種自主性真理的相對(duì)客觀性?？梢园堰@種相對(duì)獨(dú)立性稱(chēng)之為數(shù)學(xué)證明的獨(dú)立敘事特征。作為波普爾世界3的一種典范，數(shù)學(xué)共同體在一個(gè)時(shí)期內(nèi)會(huì)形成相對(duì)穩(wěn)定的共同體“宣言”和制度綱領(lǐng)。這就意味著，一旦認(rèn)可了某個(gè)理論框架，其相應(yīng)知識(shí)的語(yǔ)言表述，結(jié)構(gòu)的演化、展開(kāi)和完善就具有一種相對(duì)“自為”和“客觀”的性質(zhì)。此時(shí)，個(gè)人喜好和情感等主觀色彩會(huì)被數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性所吸收、規(guī)范和引導(dǎo)。例如，1930—1931年哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼漠a(chǎn)生就是一個(gè)典型例子。正當(dāng)希爾伯特等數(shù)學(xué)家努力完成形式主義的基本目標(biāo)時(shí)，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碚Q生了，希爾伯特綱領(lǐng)遭到了巨大打擊。那些相關(guān)的數(shù)學(xué)大師，如貝爾奈斯，雖然在內(nèi)心里仍然存有抵觸的情緒，但也會(huì)接受自己工作中的錯(cuò)誤。在1939年出版的希爾伯特和貝爾奈斯合著的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第2卷中，首先給出了哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ淼耐暾C明。

其次，數(shù)學(xué)證明是與數(shù)學(xué)的語(yǔ)義、語(yǔ)法、語(yǔ)匯和語(yǔ)境等多要素交互性相關(guān)的，甚至可以說(shuō)是由語(yǔ)義、語(yǔ)法、語(yǔ)匯和語(yǔ)境交互性決定的。數(shù)學(xué)哲學(xué)家亨佩爾斷言：“數(shù)學(xué)的正確性既不依賴(lài)于所宣稱(chēng)的自明性，也不依賴(lài)于任何經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這種正確性來(lái)自于那些決定數(shù)學(xué)概念含義的約定，因而數(shù)學(xué)命題在本質(zhì)上是依定義為真的。”[24]223例如，“2+2=4”作為一個(gè)命題是否正確，取決于這個(gè)命題中所涉及的所有術(shù)語(yǔ)的規(guī)定性。比如，在二進(jìn)制數(shù)碼系統(tǒng)中，可識(shí)別的數(shù)碼只有0和1，“2+2=4”就是一個(gè)沒(méi)有任何意義的公式，因?yàn)?和4在二進(jìn)制中都是無(wú)法識(shí)別的非法符號(hào)。而如果是在三進(jìn)制中，則“2+2=11”，而4在三進(jìn)制中是一個(gè)沒(méi)有意義的符號(hào)。在四進(jìn)制中，“2+2=10”才是正確的公式。在集合論語(yǔ)言中，如果用N0表示有理數(shù)集合的基數(shù)，那么加法的運(yùn)算規(guī)則是N0+N0=N0，這就意味著，2N0=N0,……,nN0=N0。如果對(duì)應(yīng)成上述形式，就有2N0+2N0=N0。在這里，普通的加法公式“2+2=4”同樣是失效的。在向量的加法中，遵循著平行四邊形法則。兩個(gè)長(zhǎng)度為2的向量相加，其結(jié)果是平行四邊形一條對(duì)角線(同方向的)的長(zhǎng)度，所以，2+2一般是小于或等于4的,即2+2≤4。維特根斯坦就敏銳地指出：“假定在算術(shù)中人們想將比如2×2=5附加到通行的公理之中，情況會(huì)怎么樣？這自然意味著：現(xiàn)在同一性符號(hào)變換了其意義，也即，現(xiàn)在不同的規(guī)則適用于同一性符號(hào)了?！盵25]17由上述分析可知，沒(méi)有哪種普通的敘事模式具有數(shù)學(xué)證明敘事這么多樣和復(fù)雜的語(yǔ)言交互性。

再次，數(shù)學(xué)證明在方法上的自足性、專(zhuān)業(yè)化和局部性也是其異于普通敘事模式的一個(gè)突出特征。數(shù)學(xué)證明的方法是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中逐步形成的。數(shù)學(xué)證明方法的自足性有兩個(gè)基本含義：一是它不依賴(lài)于其他學(xué)科和知識(shí)的敘事方式和判別標(biāo)準(zhǔn)，而是自為和自足的。二是數(shù)學(xué)證明的方法是自洽的，即其意義和例證都在數(shù)學(xué)自身的范圍和限度之內(nèi)。就前者而言，與自然科學(xué)和人文社會(huì)科學(xué)的知識(shí)與真理判別標(biāo)準(zhǔn)不同，數(shù)學(xué)證明有自己的一套敘事規(guī)則、方式和模式。就后者而言，數(shù)學(xué)證明的敘事模式是領(lǐng)域相關(guān)的、局部有限的和高度專(zhuān)業(yè)化的。以專(zhuān)業(yè)化為例，高度的專(zhuān)業(yè)化是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)基本特點(diǎn)，這同時(shí)也帶來(lái)了數(shù)學(xué)證明方法的專(zhuān)門(mén)化。許多專(zhuān)業(yè)化的數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有自己獨(dú)有的方法。例如，甘岑(G. Gentzen)在允許超窮歸納的前提下證明了算術(shù)的無(wú)矛盾性，這種放寬了的希爾伯特元理論后來(lái)發(fā)展為證明論的分支，并得到了相應(yīng)的發(fā)展。為了證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性，美國(guó)數(shù)理邏輯專(zhuān)家科恩(P. J. Cohen)創(chuàng)造了“力迫法”。20世紀(jì)60年代初，科恩通過(guò)創(chuàng)立“集合論力迫法”(2)力迫，是定義在模型和句子之間的一種關(guān)系。解決了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZFC公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性和獨(dú)立性。稍后，魯濱遜(A. Robinson)把力迫法引入模型論，創(chuàng)立了模型論中的有限力迫和無(wú)限力迫兩種方法。后來(lái)各種模型論力迫法層出不窮。模型論也因此獲得了極大的發(fā)展。

數(shù)學(xué)證明獨(dú)特的敘事特征不僅使數(shù)學(xué)與文學(xué)、歷史、詩(shī)歌和藝術(shù)等傳統(tǒng)人文學(xué)科在語(yǔ)言學(xué)的意義上得以分野，而且使得數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的真理認(rèn)證、話(huà)語(yǔ)呈現(xiàn)與表征方式厘清了關(guān)系。數(shù)學(xué)證明作為一種特殊的科學(xué)敘事，不僅為敘事這一古老又充滿(mǎn)生機(jī)的話(huà)語(yǔ)表達(dá)形式增添了新的內(nèi)涵，同時(shí)也從敘事的本源與本真意義上獲取其科學(xué)解釋學(xué)維度上新的意境。