姬 浩，李 彪，蘇 兵，呂 美

(西安工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,西安 710021)

現(xiàn)實生活中，居住城市的人們?nèi)粘３俗卉噺某霭l(fā)地到達(dá)目的地，總是有多條路徑可以選擇，如直接到達(dá)、換乘到達(dá)等。從便捷的角度，往往會選擇最多換乘一次，對國內(nèi)大多數(shù)城市而言，由于沒有地鐵或者存在地鐵線路少、單一和出租車打車難等問題，公交車的行駛線路固定，理想狀態(tài)下到達(dá)時間基本固定，成為日常大多數(shù)人經(jīng)濟(jì)出行的首選交通方式。具體實例如圖1～2所示。

圖1 乘車一次，但需要步行一段距離

圖2 換乘一次，直接到達(dá)Fig.2 Transfer one time then reaching destination

現(xiàn)實中各種因素導(dǎo)致人們的出行花費時間不斷增加，出行效率不斷降低，乘公交車出行中，盡可能節(jié)省出行時間，其路徑選擇已成為城市管理的重點問題，是運籌學(xué)、交通管理等領(lǐng)域研究關(guān)注的熱點。關(guān)于乘公交車的路徑選擇，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要從換乘次數(shù)和方式[1-2]、乘車策略[3-4]、出行者行為[5]、出行路徑選擇[6-7]和公交信息已知的出行選擇[8]等角度展開研究。以上研究在不同目標(biāo)函數(shù)的約束下，運用多種方法分析公交乘車最優(yōu)路徑選擇問題，基于公交出行信息可以預(yù)知情形下展開分析，有的是針對具體的城市某些路徑，有的是針對某一次出行決策。人們?nèi)粘３鲂?，公交乘車的路徑選擇決策是一個重復(fù)的、多次行為過程，由于交通擁堵已經(jīng)成為常態(tài)，尤其是上下班時段乘車高峰期，公交車輛不能按預(yù)期時間到達(dá)公交站，乘車者對公交車輛到達(dá)時間等信息無法或有限預(yù)知，面臨不確定的乘車等待時間序列。在此情形下，乘車者每次出行需要數(shù)次決策乘車等待時間，以此選擇不同乘車路徑，使得出行花費時間盡可能少，決策具有動態(tài)性。

在線問題與競爭策略為研究這類問題提供了新思路、新方法,這種方法針對的問題具有較強(qiáng)的動態(tài)特征,決策者對未來的因素變化難以預(yù)測,其變化因素的每一個特例均能給出一個策略,使用這一策略所得到的解與最優(yōu)方案給出的解總在一定的比例之內(nèi)[9-10]，即競爭比。經(jīng)典的在線問題競爭比是一個與序列事件無關(guān)的常數(shù)，即存在與序列事件無關(guān)的常數(shù)α和β使得CA(R)≤αCopt(R)+β成立，則稱α為策略A的競爭比系數(shù)。競爭比是對在線問題策略效用的衡量，如果競爭性能較好，說明在線問題所采用策略的時間成本同與之對應(yīng)的離線問題的最優(yōu)時間成本的偏離較小。對于同一假設(shè)的時間成本問題，α越接近于1，競爭性能越好。即存在一個量值λA，使得CA(R)≤λACopt(R)成立，則稱λA為策略A的競爭比。

本文應(yīng)用在線競爭策略分析方法，以節(jié)省出行時間為目標(biāo)，考慮乘車者每次出行乘車等待時間是一個獨立的隨機(jī)序列的情形，進(jìn)行乘車路徑選擇的決策，給出乘車等待時間隨機(jī)的公交乘車路徑在線選擇問題的定義及數(shù)學(xué)模型；給出乘車等待時間為均勻分布下常用的三個策略，即乘車直達(dá)策略、先乘車后步行和換乘策略，分析對應(yīng)的競爭比，對不同策略進(jìn)行分析和比較。

1 問題描述和基本假設(shè)

對于乘車者而言，乘車前往同一個目的地可以選擇數(shù)條乘車路徑，每種乘車路徑可能會遇到因某一或一系列突發(fā)事件造成的道路擁堵，例如車禍、堵車及紅燈燈時較長等，造成乘車等待時間變化，在此情形下，提出問題1和問題2。

問題1 如果乘車者能確切知道每天某個時段在哪條道路上車輛擁堵、紅燈燈時較長等信息，就能準(zhǔn)確獲知車輛到站時間，即乘車等待時間確定，在此情形下，乘車者能選擇最佳乘車路徑，使得出行花費時間最少。

問題2 如果乘車者雖然無法完全獲知每個確切的乘車等待時間，但是知道乘車等待時間為一個服從某種分布的隨機(jī)序列，在此情形下，乘車者如何決策乘車等待時間，并選擇相應(yīng)乘車策略，使得出行花費時間最少。

問題1是離線情形,問題2是在線情形。針對問題2,給出相關(guān)定義和數(shù)學(xué)模型，問題抽象如圖3所示。假設(shè)乘車者需要乘坐公交車從出發(fā)地Vs抵達(dá)目的地Vd，選擇一條由Vs到Vd的路徑，出行花費時間最短。不同路徑上任意兩輛公交車在站間行駛時間為t0，且為常數(shù)。乘車者一般有三個常用策略：① 乘車直接到達(dá)(Vs至Vd，有數(shù)條路徑)；② 先乘車后步行到達(dá)(Vs至Vf，再至Vd，有數(shù)條路徑)；③ 一次換乘到達(dá)(Vs至Vc，再至Vd，有數(shù)條路徑)。這三種情形下，可以認(rèn)為車輛行駛花費的時間T相同，乘車等待、換乘等待和步行的時間不同。

圖3 問題抽象示意圖

1.1 相關(guān)參數(shù)定義

1) 乘車直達(dá)。乘車等待時間為twi=(tw1,tw2,…,twn)，twi∈[0,tM]表示乘車者第i次出行，在所選策略下的乘車等待時間，tM為乘車等待時間的上限。

1.2 問題基本假設(shè)

為了便于討論，只考慮時間成本，不考慮費用和距離成本，即：只有在不同路徑的距離相近的情況下發(fā)生替代；當(dāng)乘車距離差距過大時，乘車者選擇較長乘車路徑的概率接近于零，即不可能發(fā)生。

所有的討論基于以下假設(shè)：

從Vs到Vd有直達(dá)路徑，如果選擇換乘路徑，最多換乘一次；乘車站非公交車的始發(fā)站，使得乘車者可能需要等待較長時間。在選定策略下，乘車行進(jìn)過程中不會遇到交通擁堵；在理想狀態(tài)下乘車直達(dá)花費的時間成本最小，不同乘車花費的時間成本在理想狀態(tài)下相同；乘車者每次乘車，其乘車等待時間服從均勻分布的隨機(jī)序列。

2 在線策略設(shè)計及競爭比分析

2.1 乘車直達(dá)策略

乘車直達(dá)策略是乘車者在選擇乘車路徑時，選擇直接乘車從Vs到Vd的路徑到達(dá)目的地。

競爭比分析：如果乘車者選擇乘車直達(dá)策略，由于乘車等待時間是一個隨機(jī)變量，用數(shù)學(xué)期望E(twi)表示起始點的乘車等待時間，用Cl(R)表示在該策略下n次出行總時間的期望，總花費時間為

(1)

引理1 如果乘車等待時間twi在區(qū)間[0,αit0]服從均勻分布,αi為常數(shù),αi>0 ,則每次出行的乘車等待時間的期望值E(twi)=(αi/2)t0。其中αi為乘車起始點Vs上最大等待時間max(twi) 與t0的比值，最小等待時間的比值為0。

進(jìn)一步證明可得到定理1。

定理1 如果乘車等待時間twi在區(qū)間[0,αit0]，αi為常數(shù)，i=1,2,…,n,且n≥1，αi> 0，則乘車直達(dá)策略的競爭比為

其中α=max(αi)。

證明式(1)可變形為

(2)

由引理1可知

(3)

有Cl(R)≤(1+α/2)·nT

(4)

由定義可知Copt(R)≥nT

(5)

其中Copt(R)為離線情形下乘公交車花費總時間。

故式(4)可變形為

Cl(R)≤(1+α/2)·Copt(R)

(6)

得出該策略的競爭比為

λl=1+α/2

(7)

2.2 先乘車后步行策略

先乘車后步行策略是乘車者在選擇乘車路徑時，選擇先乘車到達(dá)Vf，后步行至Vd的路徑到達(dá)目的地。

(8)

進(jìn)一步證明可得到定理2。

式(8)可變形為

(9)

由引理2可知

(10)

(11)

由定義可知Copt(R)≥nT

(12)

故式(11)可變形為

(13)

得出該策略的競爭比為

(14)

2.3 換乘策略

換乘策略是乘車者在選擇乘車路徑時，選擇有一次換乘的乘車路徑到達(dá)目的地。

(15)

進(jìn)一步證明可得到定理3。

式(15)可變形為

(16)

由引理3可知

(17)

(18)

由定義可知Copt(R)≥nT

(19)

故式(18)可變形為

(20)

得出該策略競爭比為

(21)

3 策略分析與比較

情形1 乘車直達(dá)與先乘車后步行策略的比較

定理4 當(dāng)0≤twi≤t0時，有λ1≤λ2成立，在此情形下，采用直達(dá)乘車是比先乘車后步行更優(yōu)的策略。

用反證法證明如下：

情形2 乘車直達(dá)與換乘策略的比較

定理6 當(dāng)0≤twi≤t0時，有λl≤λ3成立，在此情形下，采用乘車直達(dá)是比換乘更優(yōu)的策略。

證明采用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)有λ1>λ3成立，可得α>(α″+1)成立，則

情形3 先乘車后步行與換乘策略的比較

比較式(14)和式(21)，由先乘車后步行策略的競爭比λ2和換乘策略的競爭比λ3可以看出，采用哪種策略，取決于α′和α″的大小，即比較兩種策略下的乘車等待時間長短，哪個情形之下乘車等待時間比較短，就采用哪種乘車策略，當(dāng)α′和α″的大小相等時，采取兩種策略均可以，即采用先來車先乘車的策略。

4 結(jié) 語

研究結(jié)果表明：在乘車高峰期，由于公交車到達(dá)時間的不確定性，使得乘車直達(dá)的乘車等待時間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過行車時間，其他兩種乘車路徑策略中，由于車輛線路有數(shù)條，乘車等待時間往往遠(yuǎn)小于乘車直達(dá)策略中的乘車等待時間，通過對三種策略競爭比的證明，可以得出，此時先乘車后步行或者換乘策略是更優(yōu)選擇。在非乘車高峰期，由于各個乘車點的乘車等待時間差別不大，此時乘車直達(dá)策略是更優(yōu)選擇。在給定有限時間情形下，選擇先來車先乘車的策略是可行的。

研究結(jié)果可為出行者選擇公交乘車路徑提供決策參考，為相關(guān)問題研究提供新思路和新方法。為城市公交管理優(yōu)化提供專業(yè)建議，特別是治理城市局部交通擁堵，及時疏通城市交通等提供建設(shè)性方案。