馬鈴兒　蔣守成

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生經(jīng)歷用一一列舉的策略解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程，體驗(yàn)一一列舉的關(guān)鍵就是通過有序列舉，以及不遺漏、不重復(fù)的列舉找到符合要求的所有答案。

2.讓學(xué)生在對(duì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題過程的反思和交流中，感受“一一列舉”的價(jià)值，進(jìn)一步發(fā)展思維的條理性和嚴(yán)密性。

3.讓學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問題的策略意識(shí)，并獲得解決問題的成功體驗(yàn)，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

讓學(xué)生感知列舉的基本思考過程和方法，初步積累運(yùn)用策略解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問題的策略意識(shí)，獲得解決問題的成功體驗(yàn)。

【教學(xué)過程】

一、談話導(dǎo)入

王大叔想買一些1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，這根木條的單價(jià)是由2、3、4三個(gè)數(shù)字組成的兩位小數(shù)。你能把想到的價(jià)格按從小到大的順序來說一說嗎？

師：為什么這位同學(xué)這么快就找到所有答案？他有什么竅門嗎？

師：像這樣將事物按一定順序一一羅列出來，在數(shù)學(xué)上叫作一一列舉，是解決問題常用的策略。今天我們就來研究一一列舉。

二、教學(xué)案例

1.提出問題

（1）師：王大叔以每根3.24元的價(jià)格買了22根，王大叔打算用這22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，我們來看看他遇到了什么樣的問題？

生：怎樣圍面積最大。

師：根據(jù)題中的條件“用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃”和“怎樣圍面積最大”，你能想到什么？

生1：周長(zhǎng)是22米。

生2：長(zhǎng)+寬=11米。

生3：可以圍成大小不同的長(zhǎng)方形。

師：其實(shí)根據(jù)22根1米長(zhǎng)的木條，我們還可以想到長(zhǎng)和寬都是整米數(shù)。

（2）師：你們準(zhǔn)備怎樣解決這個(gè)問題？

生：先求出長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的和，再列舉出長(zhǎng)和寬求出的面積各是多少，選擇面積最大的圍法就可以了。

師：幾位同學(xué)說的解決方案都有一定的道理。

2.探究方法

（1）提出開放問題：師：你能幫王大叔找出所有不同的圍法嗎？一起來看看我們的活動(dòng)要求。請(qǐng)一位聲音響亮的同學(xué)讀一讀我們的活動(dòng)要求。

①想一想：有幾種不同的圍法？

②寫一寫：把你想到的方法寫在表格中。

③算一算：哪一種圍法面積最大？

④說一說：和你的同桌說一說你的想法。

師：要求明確了沒有？請(qǐng)同學(xué)們把第一張作業(yè)紙上的表格填寫完整。（學(xué)生獨(dú)立操作）

（2）收集典型資源：①列舉不全;②列舉全但無序;③列舉全有序（長(zhǎng)從大到小的順序）;④有重復(fù)的;⑤列舉全有序（長(zhǎng)從小到大的順序）。

（3）資源結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)、交流序列展開。

第一層次，同步出現(xiàn)：①列舉不全;②列舉全但無序;③列舉全有序

①號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 8 7

寬/米 1 3 4

面積/平方米 10 24 28

②號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 8 6 7 9

寬/米 1 3 5 4 2

面積/平方米 10 24 30 28 18

③號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

師：老師發(fā)現(xiàn)你們列舉的情況大致有這樣幾種，我們來看，這是一種情況，我們稱為（1）號(hào)，以下兩種我們依次稱為（2）號(hào)、（3）號(hào)，請(qǐng)同學(xué)們依次來評(píng)價(jià)一下他們列舉得怎么樣，從（1）號(hào)開始。

生1：（1）號(hào)找得不全，少了，應(yīng)該有5種。（若沒有再說：有不同意見嗎？還有別的評(píng)價(jià)嗎？）

生2：（2）號(hào)同學(xué)找得有點(diǎn)亂，沒有按順序找。

生3：（3）號(hào)同學(xué)找得比較好，有順序。

師：通過比較，我們發(fā)現(xiàn)：（1）號(hào)作業(yè)找得有遺漏，（2）號(hào)作業(yè)沒有按順序找，（3）號(hào)作業(yè)找得有順序?？磥碛行蛩伎际且环N好的方法。

第二層次，同步出現(xiàn)：③列舉全有序;和④有重復(fù)的

③號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

④號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 9 8 7 6 5

寬/米 1 2 3 4 5 6

面積/平方米 10 18 24 28 30 30

師：老師還找了這樣一種作業(yè)情況，我們稱之為（4）號(hào)，與（3）號(hào)比一比，你有什么想說的。

生：④號(hào)作業(yè)最后兩種重復(fù)了。

師：最后兩種是否重復(fù)呢？我們一起來看一個(gè)小實(shí)驗(yàn)。

出示：

（1）

（2）

師：第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6，寬是5，第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5，寬是6。[第二個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)90度，再與（1）圖重合。]

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這兩種長(zhǎng)方形是完全一樣的。

師：是的，所以這位同學(xué)找得有重復(fù)。

師：請(qǐng)（3）號(hào)作業(yè)的xx同學(xué)說一說你是怎樣列舉的，好嗎？

生：根據(jù)長(zhǎng)加寬的和等于11米，長(zhǎng)就從10米想起，相應(yīng)的寬就是1米，然后長(zhǎng)依次減1，寬依次加1，直到找到長(zhǎng)是6米，寬是5米。（是這樣想的同學(xué)舉手）

（1）師：老師發(fā)現(xiàn)有許多同學(xué)也是這樣列舉的，你們是怎么想到長(zhǎng)可以從10米找起的？

生：因?yàn)殚L(zhǎng)加寬的和是11米，長(zhǎng)最大就是10米，所以長(zhǎng)應(yīng)該從10米想起。

（2）師：如果先確定寬，要從幾米開始列舉？

生：因?yàn)閷捠潜容^短的一條邊，所以寬可以從1米想起。

師：是的，要做到有序列舉，一定要有一個(gè)思考的方向，在這里，就是要想到，長(zhǎng)從幾米開始想起或?qū)拸膸酌组_始想起。

（3）師：按照這樣的順序，為什么找到長(zhǎng)6米、寬5米就結(jié)束了，不接著往下找呢？

生：再往下找就重復(fù)了。

師：有順序地找，當(dāng)找到有重復(fù)時(shí)，就說明找全了。

第三層次，同步出現(xiàn)：③列舉全有序（長(zhǎng)從大到小的順序）;⑤列舉也全有序（長(zhǎng)從小到大的順序）;

③號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 10 9 8 7 6

寬/米 1 2 3 4 5

面積/平方米 10 18 24 28 30

⑤號(hào)作業(yè)

長(zhǎng)/米 6 7 8 9 10

寬/米 5 4 3 2 1

面積/平方米 30 28 24 18 10

師：這兒還有一種不同的列舉情況，我們稱之為（5）號(hào)作業(yè)，比較（4）號(hào)和（5）號(hào)，你覺得他們思考的方向有什么不同？（4號(hào)往下降，5號(hào)往上升，可引導(dǎo)4號(hào)的長(zhǎng)是從10米開始找起。）

生：這里的長(zhǎng)是從6米開始找起的。

師：有序列舉一定要有一個(gè)思考的方向，在這兒長(zhǎng)從6米開始想起，也是一種好方法。

（4）思維自主完善

師：跟前面的列舉作業(yè)比較一下，（3）、（5）號(hào)作業(yè)好在哪里？

生1：有順序，沒有重復(fù)的。

生2：沒有遺漏。

（板書）有序、不重復(fù)、不遺漏。

師：是的，列舉時(shí)要做到有序思考，不重復(fù)，不遺漏。

師：接下來我們從長(zhǎng)最長(zhǎng)是10米開始找起，一起來一一列舉，你們說老師填表。（學(xué)生說教師板書）

師：觀察我們填寫的表格，哪種圍法面積最大？

生：長(zhǎng)6米、寬5米的長(zhǎng)方形。

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這張表格里的數(shù)據(jù)，比較這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬和面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：長(zhǎng)和寬相差越小，面積就越大。

生2：長(zhǎng)和寬相差越大，面積就越小。

師：在這個(gè)變化中哪個(gè)量始終沒有變呢？

生：周長(zhǎng)沒有變化。

師：按照這樣說的順序，誰能把剛才的發(fā)現(xiàn)完整地說一下。

課件出示：在（? ?）情況下，長(zhǎng)和寬（? ? ），面積（? ? ）。

生：周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬越接近，面積就越大;長(zhǎng)和寬相差越大，面積就越小。

師：我們來驗(yàn)證一下這個(gè)規(guī)律。（課件演示圍成的長(zhǎng)方形面積變化情況。）

師：在周長(zhǎng)一定的情況下，從前往后看，長(zhǎng)和寬相差越小，面積越大;從后往前看，長(zhǎng)和寬相差越大，面積越小。

師：看來有序列舉不僅能幫助我們找到所求的答案，還能讓我們發(fā)現(xiàn)一些隱藏的規(guī)律，真是一舉兩得。

4.回顧反思

（1）師：我們幫王大叔解決了問題“怎樣圍面積最大”，你有什么體會(huì)？

生1：有些實(shí)際問題可以通過列舉來解決。

生2：有序列舉，不重復(fù)，不遺漏。

生3：要對(duì)列舉出的結(jié)果進(jìn)行比較，做出選擇。

師：剛才幾位同學(xué)說得非常好。

（2）師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，剛才我們是怎么解決這個(gè)問題的？

生1：先找到長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的和是11。

師：那就是“分析數(shù)量關(guān)系”。

生2：再一一列舉。

師：也就是運(yùn)用解題策略。

生3：最后找到面積最大的圍法。

師：找出問題答案。

師：剛才我們就是按照：分析數(shù)量關(guān)系——運(yùn)用解題策略——找出問題答案這三個(gè)步驟解決了這個(gè)問題。（逐一板書）

三、鞏固練習(xí)

練習(xí)1：長(zhǎng)方形花圃建成了，王大叔準(zhǔn)備坐公交車到城里去采購一些花木回來栽種。公交車每隔一段相等的時(shí)間就發(fā)出一班車，已經(jīng)知道上午8：00、8：40、9：20和10：00發(fā)出四班車。

師：你了解了哪些信息？

師：假如王大叔15：10到了公交站，他最早什么時(shí)間能坐上下一班車？

生：（嘗試解答后，并展示兩種方法。）

師：這是××同學(xué)列舉的，請(qǐng)你說一說你是怎樣想的，好嗎？（是這樣列舉的同學(xué)舉手）

師：這是××同學(xué)列舉的，請(qǐng)你說一說你是怎樣想的，好嗎？（是這樣列舉的同學(xué)舉手）為什么可以從10：40開始寫？

10：40 11：20 12：00 12：40 13：20 14：00 14：40 15：20

師：這兩種方法你們更喜歡哪一種方法？

生1：我喜歡第二種方法，因?yàn)閷懙蒙佟?/p>

生2：我也喜歡第二種方法，看上去更簡(jiǎn)潔，沒有第一種復(fù)雜。我們做題就是要選擇簡(jiǎn)潔的方法，才能提高我們做題的效率。

師：是的，我們要學(xué)會(huì)選擇更簡(jiǎn)潔的方法來解決問題。

練習(xí)2：采購?fù)昊揪偷搅擞貌蜁r(shí)間，王大叔于是進(jìn)入一家快餐店。

麗華快餐某天晚餐供應(yīng)的葷菜有3種，素菜有4種，王大叔想選1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配？

師：一共有多少種不同的搭配？一看就是我們?cè)谒哪昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的搭配規(guī)律，誰能口答出結(jié)果？并說一說你是怎么算出來的？

生：（直接口答。）

師：你能把這12種搭配方法一一列舉出來嗎，讓別人一目了然？請(qǐng)大家完成第3張作業(yè)紙。

生獨(dú)立作業(yè)，并收集三種列舉方法，并同步出示：

方法一：文字記錄

方法二：字母記錄

方法三：連線

師：老師發(fā)現(xiàn)你們列舉方法大致有以下三種，我們分別也稱之為（1）號(hào)、（2）、號(hào)、（3）號(hào)。我們請(qǐng)這三位同學(xué)依次說一說是怎樣想的，好嗎？你最喜歡哪一種？

師：三種方法都是一一列舉，正是應(yīng)用了一一列舉的策略，才使得12種搭配方法顯得有序，不重復(fù)，不遺漏。

四、全課總結(jié)

1.師：通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲？

生1：我知道一一列舉的策略可以解決一些實(shí)際問題。

生2：列舉時(shí)要有序，不重復(fù)，不遺漏。

生3：我知道了解決這類問題的思考過程：分析數(shù)量關(guān)系—運(yùn)用解題策略找到問題答案。

2.師：在以前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)\(yùn)用一一列舉的策略解決過哪些問題？

師：同學(xué)們一下子想不起來，沒關(guān)系，老師這兒收集了一些實(shí)例，我們一起來看一看。課件顯示：一年級(jí)的時(shí)候?qū)W習(xí)過一組一組地寫10的分成，三年級(jí)時(shí)有序地列舉出周長(zhǎng)是20厘米的長(zhǎng)方形和正方形，今天學(xué)習(xí)了如何一一列舉。今后的學(xué)習(xí)中也會(huì)遇到許多一一列舉的問題，相信經(jīng)過今天的學(xué)習(xí)，同學(xué)們一定能更靈活地運(yùn)用。

機(jī)動(dòng)：王大叔又遇到了新的問題，你能幫他解決嗎？用一些木條圍成面積是20平方米的長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍最省木料呢？留給同學(xué)們課后研究。

【總評(píng)】

馬老師執(zhí)教的“解決問題的策略”是蘇教版教材獨(dú)有的板塊，這節(jié)課的內(nèi)容是蘇教版五年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)用列表和畫圖來解決問題，對(duì)這兩種策略解決問題的價(jià)值已經(jīng)有了體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上展開教學(xué)的。解決問題的策略不能直接從外部輸入，只能在方法的實(shí)施過程中獲得意識(shí)與感受。

教學(xué)中馬老師將本節(jié)課分成四個(gè)板塊：1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課;2.理解題意，形成思路;3. 嘗試列舉，感知策略;4.拓展應(yīng)用，豐富體驗(yàn)。本節(jié)課始終圍繞著王大叔買木條的情境，在列舉時(shí)，考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，在此環(huán)節(jié)中出示表格讓學(xué)生獨(dú)立操作。討論交流時(shí)，主要分兩個(gè)層次進(jìn)行，首先出示：遺漏的、全無序的、全有序的三種典型性資源，之后出示全有序和重復(fù)的，讓學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，在交流中讓學(xué)生初步感受到列舉要有序，不重復(fù)，不遺漏。其次出示：全有序（兩種）。讓學(xué)生說一說思考過程，幫助學(xué)生理解列舉的思路，學(xué)習(xí)列舉的方法，在找的過程中體會(huì)一一列舉的價(jià)值?；仡櫡此紩r(shí)，首先讓學(xué)生回顧解題的過程，談一談學(xué)習(xí)體會(huì)。由此明確，列舉是解決這個(gè)問題的基本策略，列舉時(shí)要按順序思考，努力做到不重復(fù)、不遺漏，對(duì)列舉的結(jié)果還要做進(jìn)一步的比較，才能找到符合要求的答案。其次讓學(xué)生回憶剛才是怎么解決這個(gè)問題的，總結(jié)出解決問題的思路：分析數(shù)量關(guān)系——運(yùn)用解題策略——找出問題答案。對(duì)解決問題的回顧，能使列舉的策略意義得以凸顯，也有利于學(xué)生初步掌握列舉的具體思考方法。

好的策略教學(xué)需要好的教學(xué)策略，策略的教學(xué)需長(zhǎng)期滲透，逐漸豐富，形成策略。要教好“解決問題的策略”，必須把握四點(diǎn)：滲透性策略、過程性策略、融合性策略、整體性策略。

作者簡(jiǎn)介：

馬鈴兒，中小學(xué)二級(jí)教師，常州市蔣守成名師工作室成員，曾獲金壇區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課競(jìng)賽二等獎(jiǎng)。

蔣守成，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人，江蘇省鄉(xiāng)村骨干教師培育站主持人，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，常州市中青年專業(yè)技術(shù)拔尖人才，常州市教育領(lǐng)軍人才，金壇市首屆名教師，《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》兼職編輯，常州市金壇區(qū)朝陽小學(xué)校長(zhǎng)。多年來，他始終堅(jiān)持站在兒童的立場(chǎng)去研究?jī)和?，連續(xù)主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題和重點(diǎn)資助課題，獲江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng)，出版了1—6年級(jí)數(shù)學(xué)讀本《走進(jìn)你知道嗎》，出版了主題思維叢書《圖形王國(guó)》等四本，在研究中他提出了小學(xué)數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)的主張，《江蘇教育》《生活教育》《學(xué)校管理》《江蘇教育報(bào)》《小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》《江蘇教育新時(shí)空》等媒體進(jìn)行了研究成果的推廣和專題報(bào)道，他應(yīng)邀到上海、北京、浙江、山東、河南、河北、湖南、湖北、內(nèi)蒙古等22個(gè)省市自治區(qū)上數(shù)學(xué)研究課、做專題報(bào)告。