涂圣義

[摘? 要] 核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，核心素養(yǎng)的培育需要依靠具體的途徑. 基于“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體系構(gòu)建”“問題解決層”，強(qiáng)調(diào)了通過問題解決來實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的可能. 在指數(shù)函數(shù)相關(guān)問題的解決中，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)得到了培育，這客觀上證明了問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);問題解決;核心素養(yǎng)

呂世虎、吳振英等人在研究“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建”這一命題的時(shí)候，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔的思路，其以數(shù)學(xué)雙基層為基礎(chǔ)，向上依次是問題解決層、數(shù)學(xué)思維層、數(shù)學(xué)精神層. 其中，問題解決層雖然處于倒數(shù)第二層，但在實(shí)際教學(xué)中的地位非常重要，因?yàn)闊o論是從核心素養(yǎng)的角度來看，還是從當(dāng)前仍然非常重要的應(yīng)試角度來看，問題解決都起著重要的作用. 可以不夸張地講，在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際背景下，問題解決是銜接應(yīng)試與核心素養(yǎng)的最重要的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié). 本文試從教學(xué)實(shí)踐的角度，談?wù)剬栴}解決在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育中的作用.

問題解決與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的關(guān)系

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，對問題解決的描述已經(jīng)超越了以往，問題解決已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師的日常用語之一. 對于問題解決，有著多個(gè)層面的理解：從心理學(xué)層面來看，問題解決就是在一定情境中，基于一定的目標(biāo)，應(yīng)用各種認(rèn)知活動與技能，經(jīng)過一系列思維操作，以使問題得到解決的過程;從經(jīng)驗(yàn)的層面來看，問題解決就是從問題的初始狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)的過程;從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，問題解決就是在具體的數(shù)學(xué)問題情境中，發(fā)現(xiàn)、識別其中所存在的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與技能去分析并解決該數(shù)學(xué)問題的過程. 基于這樣的理解，有學(xué)者指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視問題解決，通過對數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用等實(shí)踐活動來幫學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)（“四基”之一），可以幫學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活、實(shí)踐的聯(lián)系的意識，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)學(xué)科的理解. 而實(shí)際上，達(dá)到這樣的理解，也就走進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)有三個(gè)方面的內(nèi)涵：一是用數(shù)學(xué)眼光看待世界;二是用數(shù)學(xué)思維理解世界;三是用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué). 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)又可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是從數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、直觀想象等六個(gè)方面來描述的，根據(jù)呂世虎、吳振英等人的研究，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔的“問題解決層”，數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)溝通與交流能力等四種能力是最為重要的. 基于這樣的梳理，我們可以看出問題解決與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相關(guān)要素之間存在著這樣的兩個(gè)基本關(guān)系：

其一，問題解決是數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等三種能力綜合運(yùn)用的過程

問題解決是一個(gè)綜合過程，其所運(yùn)用的也是綜合能力. 對于數(shù)學(xué)教師來說，這樣的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)是有經(jīng)驗(yàn)支撐的. 至少任何一個(gè)稍微帶點(diǎn)綜合性的數(shù)學(xué)試題，都需要學(xué)生去進(jìn)行建模、分析與運(yùn)算，或者即使是沒有建模，那分析與運(yùn)算總是必然存在的.

其二，數(shù)學(xué)溝通與交流能力是問題解決的重要組成部分

數(shù)學(xué)溝通與交流能力實(shí)際上就是史寧中教授所說的“用數(shù)學(xué)語言描述世界”的能力. 根據(jù)專家考證，該能力在許多教育發(fā)達(dá)國家或地區(qū)的數(shù)學(xué)教育中，都被列為最重要的能力之一. 在實(shí)際教學(xué)中我們也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生都能夠在小組合作交流的過程中較準(zhǔn)確、流暢地使用數(shù)學(xué)語言，而中等生或?qū)W困生在這一方面就表現(xiàn)出非常明顯的欠缺.

立足這兩對關(guān)系，思考問題解決在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育中的作用，我們可以發(fā)現(xiàn)前者是實(shí)現(xiàn)后者的重要途徑，而在這個(gè)途徑中，有效的策略就是將核心素養(yǎng)的要素滲透到問題解決的過程當(dāng)中，下面重點(diǎn)談?wù)勏嚓P(guān)的教學(xué)實(shí)踐.

在問題解決的過程中培育核心素養(yǎng)的實(shí)踐

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決的場合可以無處不在. 數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建、數(shù)學(xué)規(guī)律的探究、數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用等，都可以視作是問題解決的范疇，由于知識的運(yùn)用最具代表性，因此這里想以數(shù)學(xué)知識在問題解決中的運(yùn)用，來談?wù)劰P者的看法.

問題解決示例：科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳-14，碳-14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘”. 動植物在生長過程中衰變的碳-14，可以通過與大氣的相互作用得到補(bǔ)充，所以活著的動植物每克組織中的碳-14含量保持不變.死亡后的動植物，停止了與外界環(huán)境的相互作用，機(jī)體中原有的碳-14按確定的規(guī)律衰減，我們已經(jīng)知道其“半衰期”為5730年. 問：（1）設(shè)生物體死亡時(shí)，體內(nèi)每克組織的碳-14含量為1，試推算生物死亡t年后體內(nèi)每克組織中的碳-14含量P;（2）湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳-14的殘余量約占原始含量的76.6%，試推算馬王堆墓的年代.

這是一個(gè)典型的科學(xué)問題，也可以看作是一個(gè)實(shí)際問題，雖然是實(shí)際問題，但數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含其中. 要用數(shù)學(xué)知識來解決兩個(gè)問題，需要學(xué)生能夠順利地建立數(shù)學(xué)模型，然后在指數(shù)函數(shù)的運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)問題的解決. 具體的問題解決過程可以這樣設(shè)計(jì)：

首先，根據(jù)實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型

根據(jù)題意，生物體死亡只是數(shù)學(xué)知識的外衣，真正的核心在于碳-14衰減時(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)現(xiàn).根據(jù)題目中給出的“半衰期”信息，應(yīng)當(dāng)可以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律可以用指數(shù)函數(shù)來描述，發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)，就意味著指數(shù)函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型可以得到運(yùn)用. 這里要注意的是，模型的建立過程中，需要讓學(xué)生清晰地判斷出變量與函數(shù)分別對應(yīng)著原實(shí)際問題中的哪些量. 這是數(shù)學(xué)模型是否成功建立的標(biāo)志，也是數(shù)學(xué)建模的精髓所在，只是判斷出指數(shù)函數(shù)，是沒有太大實(shí)際意義的.不過本題有一個(gè)好處，那就是第一問實(shí)際上在暗示學(xué)生要探究的就是P與t的關(guān)系. 當(dāng)然，最終建立的模型就是P=xt，其中，x為生物死亡一年后的殘留量.

這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)建模過程，可以培養(yǎng)學(xué)生將大腦中儲存的不同函數(shù)與題意進(jìn)行比較，以確定最合適的函數(shù)的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生在接近事實(shí)的信息中提取變量的能力.

其次，選擇數(shù)學(xué)工具，實(shí)現(xiàn)問題解決

這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中，學(xué)生所經(jīng)歷的就是數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理的過程，這個(gè)過程中數(shù)學(xué)運(yùn)算占據(jù)學(xué)生的主要意識，而數(shù)據(jù)處理實(shí)際上體現(xiàn)在結(jié)果出來之后學(xué)生對利用碳-14進(jìn)行年代判斷的認(rèn)識上. 需要指出的是，如果從傳統(tǒng)教學(xué)的角度來看，這樣的過程就只是運(yùn)算;可是如果從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，這就培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)處理的素養(yǎng)，更主要的是，如果教師從這個(gè)角度來重點(diǎn)培育孩子的這些素養(yǎng)，那這些素養(yǎng)就可以得到強(qiáng)化，核心素養(yǎng)的培育也就有了巨大的空間.

從上面這個(gè)例子我們也可以發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)的培育與數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)并不完全脫鉤，相反，核心素養(yǎng)的培育要更好地建立在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上. 教師要做的，就是在堅(jiān)持原有優(yōu)秀傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，將行之有效的方式方法移植到核心素養(yǎng)的培育過程當(dāng)中來，這樣既不至于讓核心素養(yǎng)這一新事物脫離原有實(shí)際，又可以為核心素養(yǎng)的培育開辟更好的前景.

讓問題解決成為學(xué)生形成數(shù)學(xué)眼光的主線

總的來說，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心素養(yǎng)的培育還是有章可循，有依可靠的. 問題解決作為脫胎于習(xí)題解答的教學(xué)方式，其在具有了生活情境的背景之后，學(xué)生也就具有了一個(gè)可以從生活元素中提取出數(shù)學(xué)元素以完成數(shù)學(xué)建模的契機(jī)，數(shù)學(xué)建模建立之后，學(xué)生就自然會運(yùn)用邏輯推理（實(shí)際上建立模型的過程本身也有邏輯推理的參與）、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等去完成問題的解決.

這里還需要強(qiáng)調(diào)一下數(shù)學(xué)溝通與交流能力的培養(yǎng)，其作為核心素養(yǎng)的重要一環(huán)，體現(xiàn)在學(xué)生在問題解決的過程中借助于數(shù)學(xué)語言進(jìn)行溝通與交流的水平上. 關(guān)于這一點(diǎn)，筆者的經(jīng)驗(yàn)是在學(xué)生進(jìn)行討論交流合作的時(shí)候，參與其中做一個(gè)傾聽者，以判斷學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解與運(yùn)用情況，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生的生活語言運(yùn)用較多，就需要提醒其更多地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言;如果學(xué)生的數(shù)學(xué)語言運(yùn)用不準(zhǔn)確，則需要及時(shí)糾正. 總之，交流與溝通過程中的數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用，是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的重要標(biāo)志，教師在教學(xué)中宜多觀察并判斷，以完成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的臨門一腳.