王鵬遠

目前關(guān)于信息技術(shù)和人工智能環(huán)境下教育變革的討論很熱烈，但多屬于宏觀的討論，多集中在技術(shù)對教學(xué)模式、學(xué)習(xí)主體、課堂革命、教學(xué)評價的影響等方面，而結(jié)合具體學(xué)科教學(xué)的討論明顯不足。本文僅就動態(tài)數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響作些初步的探索，與專家和教師同行切磋。

如何看待數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的作用

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念第9條是這樣表述信息技術(shù)對數(shù)學(xué)課程影響的：“現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深刻的影響?！边@里把數(shù)學(xué)課程內(nèi)容擺在了第一位，足見數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要性。

我們整個教學(xué)活動都是圍繞現(xiàn)行教材進行的，教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都離不開教科書。盡管教學(xué)方式靈活各異、學(xué)習(xí)方式多種多樣，但不管采取怎樣的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，最終都是要求學(xué)生更好地理解和掌握特定的教學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容涉及內(nèi)容的選擇、編排和呈現(xiàn)方式。精心挑選和科學(xué)編排的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心，而不是讀來索然無味;精心挑選和科學(xué)編排的內(nèi)容應(yīng)該更能突出數(shù)學(xué)味道、啟發(fā)學(xué)生的理性思考，而不是把數(shù)學(xué)概念和結(jié)論簡單地告知學(xué)生。隨著時代的進步，教材的編輯應(yīng)該考慮到信息技術(shù)對其的影響。

課程改革后的教材已經(jīng)考慮到信息技術(shù)的因素，但由于信息技術(shù)發(fā)展的速度遠遠超前于紙質(zhì)教科書的編輯出版，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)的潛力也還未被人們充分認(rèn)識，因此當(dāng)前數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中信息技術(shù)的應(yīng)用還很不夠，還有很大的提升空間。

什么叫動態(tài)數(shù)學(xué)

動態(tài)數(shù)學(xué)軟件是專為數(shù)學(xué)教學(xué)開發(fā)的專業(yè)學(xué)科教學(xué)平臺。Mathematica是有近三十年歷史的專業(yè)性大型數(shù)學(xué)軟件，其計算與繪圖功能極為豐富強大，多年來已經(jīng)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛使用。開發(fā)此軟件的Wolfram公司借助Mathematica的強大數(shù)學(xué)功能，于2011年推出可計算電子文檔格式CDF，使用戶能輕松實現(xiàn)文檔內(nèi)容的交互式處理。CDF支持多種文檔元素，如滑塊、菜單和按鈕，內(nèi)容包括格式化文本、表格、圖象、聲音和動畫。此軟件功能強大，價格昂貴，且依賴于編程，所以不太適合中學(xué)使用。

現(xiàn)在已在國內(nèi)中學(xué)使用的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件主要有兩種，即幾何畫板和超級畫板。幾何畫板是20世紀(jì)80年代在美國國家科學(xué)基金支持下推出的世界上第一個動態(tài)幾何軟件。20世紀(jì)90年代幾何畫板中文版開始在大陸推廣，受到不少數(shù)學(xué)和物理教師的喜愛。由于幾何畫板對代數(shù)方面的課程內(nèi)容支持不足，且對用戶的操作技巧要求略高，我國張景中院士主持的團隊在1996年研發(fā)推出了具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)的動態(tài)幾何軟件，經(jīng)20多年的發(fā)展改進，形成了“超級畫板”。

超級畫板吸收借鑒了幾何畫板的主要優(yōu)點，增加了符號計算、智能畫筆、公式表示、幾何推理以及編程環(huán)境等支持基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)需求的功能，其特征從動態(tài)幾何發(fā)展到了動態(tài)數(shù)學(xué)，更為易學(xué)好用。國外的GeoGebra、Cabri 3D等都屬于動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它們共同的基本特點是所構(gòu)造的對象具有動態(tài)性，在鼠標(biāo)拖動或參數(shù)驅(qū)動時，在保持預(yù)設(shè)關(guān)系的條件下運動變化，因而有很強的交互性。這類軟件適用于教與學(xué)的多個環(huán)節(jié)，且特別支持探究性學(xué)習(xí)，因而受到教育領(lǐng)域的廣泛好評。

舉一個正弦波疊加的例子以加深對動態(tài)數(shù)學(xué)的認(rèn)識。如圖1中的幾個圖是正弦波疊加成為方波的過程，正弦波的疊加自然是基于三角級數(shù)的計算實現(xiàn)的。用鼠標(biāo)依此不斷地選擇按鈕“n增加到1”，屏幕將展現(xiàn)出從n=1逐次增加時正弦波疊加的過程，充分體現(xiàn)了人機交互功能。這個效果是紙質(zhì)教材不可能實現(xiàn)的。

類似的用于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的例子還有很多，如圓面積公式的說明、圓錐截線的展示、函數(shù)性質(zhì)的研究等。雖然動態(tài)數(shù)學(xué)軟件已經(jīng)在我國不少學(xué)校推廣了許多年，但尚未普及，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師甚至還沒有見到過動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，而且對于已經(jīng)應(yīng)用過這類軟件的老師也缺乏對動態(tài)數(shù)學(xué)深刻影響數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整體認(rèn)識。

動態(tài)數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的影響

1.對激發(fā)學(xué)生興趣與好奇心的作用

人工智能時代，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于教會學(xué)生具體的知識和技能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識應(yīng)該受到關(guān)注。數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識應(yīng)該從激發(fā)學(xué)生的興趣、好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和想象力入手，動態(tài)數(shù)學(xué)能在這方面發(fā)揮一些作用。

我們以“ 函數(shù)概念的引入”一課為例來說。函數(shù)是刻畫客觀世界運動和變化的數(shù)學(xué)模型，與實際生活聯(lián)系廣泛。函數(shù)又是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)折的門檻，是教學(xué)的難點。我們認(rèn)為可以從函數(shù)的引入入手，借助信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)最佳的教學(xué)情境，化解這個教學(xué)難點。抽象的數(shù)學(xué)概念總需要從若干具體的事例出發(fā)抽出事物共同的本質(zhì)屬性。選擇怎樣的具體事例，提出怎樣的問題啟發(fā)學(xué)生思考是數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要關(guān)注的，函數(shù)概念的教學(xué)尤其是這樣。

傳統(tǒng)教材是通過實例引入變量與函數(shù)，如汽車行駛的時間與路程的關(guān)系，電影院售出電影票的票價、張數(shù)與票房收入的關(guān)系等。課本的本意是從這些問題入手，引導(dǎo)學(xué)生填表和列式，讓學(xué)生通過上述活動思考：能否用含有x的式子表示y，繼而對其數(shù)量關(guān)系進行抽象和概括，從中認(rèn)識常量和變量的特征，并抽象出兩個變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，對應(yīng)另一個變量唯一確定的數(shù)值，由此引出函數(shù)概念。

由于技術(shù)手段的限制，以上問題都是通過靜態(tài)呈現(xiàn)的，不易凸顯函數(shù)是刻畫運動和變化的數(shù)學(xué)模型。所列舉的實例顯得平淡，難以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生思考的問題單一，給學(xué)生造成的第一印象是：“函數(shù)就是一個變量能夠用含有另外一個變量的式子表達”，這其實并沒有突出函數(shù)概念的本質(zhì)。我們知道，對應(yīng)法則才是函數(shù)概念的要素，對應(yīng)法則多種多樣，解析式僅是表達函數(shù)對應(yīng)法則中的一種，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不僅僅能用解析式表達，且有些函數(shù)的對應(yīng)法則根本無法用解析式表達，所以函數(shù)的表示不等同于函數(shù)概念的本質(zhì)。

如果我們從一個問題引入函數(shù)：紙盒的容積何時最大？把一個5厘米見方的正方形紙片剪去四角后折成一個紙盒，使紙盒的容積最大，剪去的小正方形的邊長該是多少？如圖2，在動態(tài)數(shù)學(xué)的課件中用鼠標(biāo)拖動點X，四角小正方形的邊長發(fā)生變化，右邊的紙盒同時發(fā)生變化。這個動態(tài)的數(shù)學(xué)課件生動地把變化與對應(yīng)呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。課件中有多個按鈕，可以根據(jù)教學(xué)需要打開相應(yīng)的按鈕，例如可以動態(tài)地呈現(xiàn)出四角正方形的邊長與對應(yīng)的紙盒容積等數(shù)據(jù)。數(shù)學(xué)有用、數(shù)學(xué)有趣，盡在不言中。抽象的函數(shù)以這樣的方式與學(xué)生見面，對照課本的例子，這個動態(tài)課件即生動又深刻。類似的例子還有很多。

我們設(shè)想，如果把動態(tài)數(shù)學(xué)課件與紙質(zhì)的教科書的相關(guān)內(nèi)容配套，形成一系列立體化的教學(xué)資源，應(yīng)該是一種創(chuàng)新，且必將大大改善數(shù)學(xué)教學(xué)的面貌。如果能借助于網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)與教學(xué)同步的立體化教學(xué)資源，應(yīng)該有助于優(yōu)質(zhì)教育資源的共享，解決教育資源配置不平衡的問題。

2.借助動態(tài)數(shù)學(xué)增進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

動態(tài)數(shù)學(xué)的價值不僅在于激發(fā)學(xué)生興趣，更重要的是增進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。還是通過一些實例說明動態(tài)數(shù)學(xué)的價值。

傳統(tǒng)教學(xué)中研究函數(shù)性質(zhì)時，一般通過“列表、描點、連線”法，先畫出圖象，然后從觀察圖象的走勢得出函數(shù)性質(zhì)。在沒有計算機的情況下，由于計算繁復(fù)，只好選擇求值列表，畫出少許的點，再憑感覺連線畫圖象。其實，有了動態(tài)數(shù)學(xué)的幫助，讓數(shù)據(jù)說話是研究函數(shù)性質(zhì)更直接、更重要的方法，要知道快速計算是計算機的拿手好戲。如研究函數(shù)? 的單調(diào)性。我們從-3到3取了10個值，然后列表、描點、連線，得到函數(shù)圖象的是位于一三象限遞增的直線。根據(jù)已經(jīng)畫出的圖象不難得到函數(shù)在整個定義域是遞增的。

這個結(jié)論對嗎？讓我們通過計算驗證以上結(jié)論。通過拖動變量尺的滑鈕可以觀察函數(shù)變化過程中的一系列數(shù)據(jù)，在[-10，10]這個區(qū)間，函數(shù)確實是遞增的，但變量的范圍擴大后，上述結(jié)論就不對了。在x=10時，函數(shù)值為20，但x大于10，函數(shù)就遞減了。為什么會出現(xiàn)前面的誤判呢，原因是我們犯了以偏概全的錯誤，前面畫出的圖象僅僅是整個圖象的一小部分，如圖3。

于是問題來了，對于二次函數(shù)我們也是取了-3到3中的幾組數(shù)據(jù)，而后列表、描點、連線畫出的圖象，是否也會出現(xiàn)“以偏蓋全”的誤判呢？當(dāng)x從0增加到20、50、100，…，情況怎么樣？畫圖驗證太費時費力，但借助動態(tài)數(shù)學(xué)觀察大數(shù)據(jù)卻輕而易舉。當(dāng)然，依靠大數(shù)據(jù)可以支持的猜想，最后還需要補充邏輯證明。研究函數(shù)性質(zhì)時應(yīng)該特別關(guān)注對函數(shù)解析式特點的研究。當(dāng)學(xué)生的知識還達不到邏輯論證的水平時，讓數(shù)據(jù)說話是對函數(shù)性質(zhì)最好的說明。這涉及對現(xiàn)行教材的改造，這部分教學(xué)內(nèi)容的整體編排和呈現(xiàn)應(yīng)更加體現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的理性思考。研究函數(shù)性質(zhì)不單純依靠傳統(tǒng)“列表、描點、連線”畫圖的方法，有時可以借助分析函數(shù)解析式的特點，或借助動態(tài)數(shù)學(xué)提供的動態(tài)計算得出的大數(shù)據(jù)獲得函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)信息。

借助動態(tài)數(shù)學(xué)增進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解是很有意義的研究課題。

3.動態(tài)數(shù)學(xué)促進學(xué)生的自主探究

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中還提到“學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、技能的學(xué)習(xí)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，提倡自主探究、動手實踐、合作交流，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式?！眲討B(tài)數(shù)學(xué)為這種學(xué)習(xí)方式提供了理想的平臺。

如“有關(guān)費馬點的探尋”課例。費馬點是指三角形中這樣一個點，它到三角形三個頂點的距離的和最短。這在歷史上曾經(jīng)是一個難題，經(jīng)過多年的探索才得到答案?，F(xiàn)在借助動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，通過實驗的方法可以很快發(fā)現(xiàn)這個點的位置。我們選擇每個內(nèi)角都小于120°的三角形在計算機上進行實驗。

實驗步驟為：在計算機上畫出三角形ABC，任取一點P，連接PA、PB、PC;測量PA、PB、PC的長，并計算三者之和;拖動點P，觀察屏幕上數(shù)據(jù)的變化，猜測費馬點的位置;用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的作圖功能作出費馬點;測量費馬點到三角形三頂點距離之和，拖動點P驗證費馬點到三頂點距離之和最小;與計算機的圖形對應(yīng)給出完整的證明;通過鼠標(biāo)拖動改變?nèi)切涡螤睿紤]一個內(nèi)角等于或大于120°的情況;寫出實驗報告。

還可以將活動進行延伸：查閱費馬點提出的歷史、查閱費馬其人其事、提出與費馬點相關(guān)的更多值得探究的問題。可以結(jié)合這次探究活動組織課外閱讀，專題報告或討論會，撰寫數(shù)學(xué)小論文。

動態(tài)數(shù)學(xué)為數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)探究提供了理想的實驗平臺，我們可以借此組織豐富多彩的數(shù)學(xué)探究活動。

作者單位：北京大學(xué)附屬中學(xué)