呂榮春 郭愛平

摘要：本文從學(xué)生發(fā)展的需要思考超綱的意義;從一題多解中思考超綱和不超綱;理解超綱知識的價值，進而思考面對不同學(xué)生度的把握;結(jié)合具體題目理解超綱知識和必備知識的相互替代性及解題層面的優(yōu)越性;理解超綱知識和數(shù)學(xué)思想能力的互補

關(guān)鍵詞：超綱;一題多解;互補.

1超綱試題命制的意義

學(xué)生的發(fā)展不拘泥于考試大綱，全國卷在12、16題的命題常常是鼓勵學(xué)生超綱，但也要求學(xué)生把核心思想方法掌握好.

例1（2017年全國亞第16題）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角;

②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角;

③直線AB與a所成角的最小值為45°;

④直線AB與a所成角的最大值為60°;

其中正確的是_____，（填所有正確結(jié)論編號）

解法1（直觀感知）為了更好的觀察，把AB作為體對角線，如圖1，取a=b=1，AC=2，容易求得此時直線AB與a成60°角，AB與b也成60°角;排除①，選②;

當(dāng)AB移動到左側(cè)面的時候，此時a⊥AB，為最大角，如圖2，當(dāng)AB移動到AF時，注意到CF=CB=2=AC，所成角為45°，為最小角.

解法2（回歸正方體，運動變化的觀點）因為出現(xiàn)了很多的垂直，所以考慮回到正方體中考慮，設(shè)邊長為1，B點運動的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓.

（直觀感知）在圓弧上任取一點M，當(dāng)M位于B點時，直線AB與a所成角的最小值為45°;當(dāng)M位于E點時，夾角為90°，直觀感知排除④，選③;

（向量法）在正方體中，建系是一個很好的方案，以C為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)θ=∠MCB，則M（cos0，sin0，0），AM=（cos0，sin0，-1），a=（1，0，0），b=（0，1，0），由直線AM與a所成角的余弦值cos60°=cosθ/√2

，得cos0=√2/2，θ=45°，CM平分角∠BCE，所以此時AM與兩直線所成的角都為60°

解法3（最小角定理或三余弦公式）過M作b的垂線，則AM與MN所成的角為AM與a所成的角.由三余弦公式得cos∠AMN=cos∠AMC`cos∠CMN.2xcos∠CMN，若所成角為60°，則有了cosCCMN，則∠CMN=45°，CM平分角∠BCE，所以此時AM與兩直線所成的角都為60°.

點評立體幾何的學(xué)習(xí)在“直觀感知——操作確認(rèn)——推理論證——度量計算”這四個層面展開.因為立體幾何呈現(xiàn)給我們的是幾何結(jié)構(gòu)，視角思維可以成為主導(dǎo)思維，即特別突出直觀感知.借助長方體這個載體，把所研究的點線面的位置關(guān)系聯(lián)系到一起，降低了立體幾何學(xué)習(xí)的門檻，這是新課改強調(diào)的理念有了長方體，其長度的關(guān)系為計算帶來了便利，求角困難時，還有向量法作為保障，運動變化的觀點是基本觀點，作為一般的學(xué)生深刻理解這些基本思想方法，也能高效地解決此問題。

三余弦公式揭示了線面角、射影角和線線角之間的關(guān)系，在線線角計算有困難的時候，可以借助線面角和射影角來轉(zhuǎn)化，作為特優(yōu)生，不受制于考綱，廣泛地學(xué)習(xí)和專研.

2“一題多解”中的超綱與不超綱

學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、思想方法體系不一樣，對于同一個題目有不同的視角，這就對應(yīng)著不同的思維方式，就會有不同的方法.有些優(yōu)秀的學(xué)生掌握的知識.思想方法超過考試大綱，其解法也自然會超綱.所以很難精確的界定一個題的考查超綱和不超綱.早在上個世紀(jì)90年代，就提出了高考“依據(jù)考綱、但不拘泥于考綱”，高考的12題、16題都是以能力和思想立意，所以知識的定位應(yīng)該從屬于思想能力定位.同時也讓學(xué)生在不同的階段、不同的水平看經(jīng)典的高考題目，有不同的視角和不同的思維方式，更好地解讀高考題目，領(lǐng)會命題思路.

例2（2013年新課標(biāo)I文16理15）設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cos0=_____.

解法1（輔助角公式+同角三角函數(shù)基本關(guān)系）f（x）=√5sim（x-φ），tanp=2，φ∈（0，/2）.由題知f（0）=√5，則θ-φ=/2+2kπ，h∈Z，即θ=“+2kπ+φ，k∈Z.所以cosO=cos（2+2hπ+φ）=-sinp.因為tanφ=2，所以sinp=2√5則cos0=2√5.

解法2（同角三角函數(shù)基本關(guān)系+方程思想）因為f（x）=√5sin（x-φ）最大值為/5，則f（θ）=sinθ-2cosθ=√5.結(jié)合sin2θ+co3θ=1，可得cosθ=-2/5/5.

解法3（導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性）由題可知f（x）=cosx+2sinx.因為f（x）的最值也是函數(shù)的極值，所以f（0）=cosO+2sinθ=0.結(jié)合sim20+cos2θ=1得cosθ=士2√5/5.因為f（0）=sim0-2cos0=√5，所以cosθ=2√5.

解法4（反三角函數(shù)）f（x）=/5sin（x-arctan2），由題知f（0）=√5，則θ-arctan2=/2+2kπ，k∈Z.即θ=/2+2kπ+arctan2，k∈Z.所以cos0=cos（/2+2kπ+arctan2）=-sin（arctan2）=-2√5/5.

例3（2007年全國I）設(shè)函數(shù)f（x）=e*-e～*.

（I）略;

（II）若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解法1（分離參數(shù)+洛必達法則）當(dāng)x=0時，f（x）≥ax成立;當(dāng)x>0時，a≤ex-e./x.令g（x）=-，g（x）=（e*+e-*）/x-（e*-e～*），g（x）=（e*+e-*）/x-（e*-e～*）/x2.

令h（x）=（e*+e～*）x-（e"-e～*），h'（x）=（e*-e～*）x>0，x∈（0，+∞）.

所以h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增.所以h（x）>h（0）=0，x∈（0，+∞）.

則g'（x）>0，g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增.

因為limg（x→+∞）=lim-→+∞）=limex2=2（洛必達法則），所以a≤2.

解法2（鄰域分析+討論）令g（x）=f（x）-ax，則g'（x）=f'（x）-a=e*+e～*-a.

（注意到g（0）=0，要g（x）≥0恒成立，則要求g（x）在x=0的附近（即鄰域）單調(diào)遞增.由函數(shù)的連續(xù)性知g'（0）≥0，得a≤2.再說明a>2不成立，即說明g（x）在x=0的附近（即鄰域）單調(diào)遞減，用零點存在性定理和導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性說明導(dǎo)函數(shù)有唯一實根xo，從而確定了[0，xo]為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，與g（x）≥0矛盾）.

（i）若a≤2，當(dāng)x>0時，g'（x）=e*+e～*-a>2-a≥0，故g（x）在[0，+∞）.上為增函數(shù)，

所以當(dāng)x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（ii）若a>2，方程g'（x）=0的正根為x|=In“/a-4此時，若x∈（0，x），則g'（x）<0.故g（x）在[0，x]上為減函數(shù).

所以當(dāng)x∈（0，x）時，g（x）

綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2].

解法3（背景分析+微分中值定理）分離參數(shù)，得到a≤df（x）_f（x）-f（0）x-0

由微分中值定理知：存在ξ∈（0，x），使得f（ξ）=f（x）-f（0）/x-0由（1）知f'（ξ）≥2，所以答案為a≤2.

解法4（級數(shù)分析）由e*=1+x+2+...2+3！知，e～*=1-x+2！～3！

則*一*=2（*+號+-）

當(dāng)x-+0時，x3/3！+x5/5！+…是x的高階無窮小，確定a≤2..

在教學(xué)的時候，要準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識、能力結(jié)構(gòu)，在合適的時間選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎo學(xué)生呈現(xiàn)多個角度都可以切入的題目.一題多解有助于學(xué)生思維的發(fā)散，但最重要的不是解法，而是對解法的點評和認(rèn)知，方法的選擇應(yīng)該從屬于“思想能力”的定位，鼓勵熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生多專研、多思考，不受考綱的限制.

一題多解也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)某種方法使用的恰當(dāng)與否，比如：

例4已知f（x）={|log3x|，0

解析作出函數(shù)圖象如圖3，y=h，0

研究（x3-3）（x-3）/xx2：范圍，自然要考慮x（，x2，x3，x4之間的關(guān)系，注意到|log3x|=|1og3x2|，有l(wèi)og3x1=.-log3x2，所以log3xI+logsx2=log3（x1x2）=0，即x1x2=1.注意到函數(shù)的對稱性，有x3+x4=18，求（x3-3）（x4-3）/x1x2=（x3-3）（x4-3）最值的方法很多，

但很容易忽略范圍，可以通過不同方法進行檢驗.

解法1（均值不等式）和為定值，即x3+x4=18，求積（x3-3）（x4-3）的最值.考慮均值不等式，（x3-3）（xo-3）<[-（x3-3）+（x4-3）/2]=36，所以范圍為（0，36）.

解法2（運動變化+極限分析）當(dāng)k=1時，此時x3=3，x4=15，（x3-3）（x4-3）=0;當(dāng)k=0時，此時x3=6，x4=12，（x3-3）（x4-3）=27.即范圍為（0，27）.

解法3（函數(shù)觀點）y=（x3-3）（x4-3）=（x3-3）（15-x3），構(gòu)建函數(shù)，就要找定義域，注意到xz∈（3，6），可求得范圍（0，27）.

那到底第一種方法錯在什么地方呢？沒有考慮到（x3-3），（x4-3）的范圍限制，因為x3-x4>6，所以取不到最值，或比最值小的很多值都取不到.

3超綱知識的理解和把握命制試題“難"的度

課標(biāo)削弱了反函數(shù)，只在73頁借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)給出了反函數(shù)的概念，在76頁探究發(fā)現(xiàn)研究了指對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱.考試說明明確指出：“了解指數(shù)函數(shù)y=a°與對數(shù)函數(shù)y=log。x互為反函數(shù)（a>0且a≠1）”，沒有提及圖象的對稱性.“了解”是高考要求中最低層次的要求，要求對所列知識的含義有初步的、感性的認(rèn)識，知道這一知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關(guān)的問題中識別和認(rèn)識它.下面看看新課標(biāo)的高考題：

例5（2012年新課標(biāo)理科第12題）設(shè)點P在曲線y=1/2e*.上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（）.

A.1-ln2

B.√2（1-ln2）

C.1+ln2

D.√2（1+ln2）

這個題需要會解反函數(shù)，才能看出y=-e*和y=ln（2x）互為反函數(shù)，還要求會對“互為反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x靈活運用”這一結(jié)論的應(yīng)用.

反函數(shù)作為一個極其重要的概念，新教材突出函數(shù)概念淡化了映射.因為沒有一一映射作為鋪墊，無法深入地講解反函數(shù)這個概念考綱的制定要參考課程標(biāo)準(zhǔn)，但全國卷兩次都對反函數(shù)提出了很高的要求，超越了考試大綱，明確提出特優(yōu)生應(yīng)該掌握但與反函數(shù)的相關(guān)知識很多，“度”的把握是關(guān)鍵，對于優(yōu)秀的學(xué)生，緊扣考綱要求，結(jié)合高考題目，理解反函數(shù)的概念、在實際問題情景中能夠認(rèn)知反函數(shù)、會求反函數(shù)原函數(shù)和反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，這些都是應(yīng)該掌握的，當(dāng)然作為數(shù)學(xué)愛好者來說，還可以掌握反三角函數(shù)等，不受任何限制，理解知識的本質(zhì)，廣泛地學(xué)習(xí)和思考.

4注意超綱知識和必備知識的相互替代性及解題層面的優(yōu)越性

新課標(biāo)刪除了夾角公式，原因是可以利用向量來處理夾角.但就解題而言，有時候卻有一點差異，對于特優(yōu)生來說，這些都應(yīng)該掌握，還應(yīng)該掌握夾角公式和向量之間的聯(lián)系.

例6（2017年全國I文）設(shè)A、B是橢圓C：x2/3+y2/m=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是（）.

A.（0，1]∪[9，+∞）

B.（0，v3]∪[9，+∞）

C.（0，1]U[4，+∞）

D.（0，/3]U[4，+∞）解析1（夾角公式+橢圓第三定義）很自然想到夾角公式|tan∠AMB|=|k1-k2/1+k1k2|，由橢圓上的點到長軸端點連線斜率之積為-b2/a2.

若焦點在x軸上，則k1k2的=-m/3

所以√3=-|k1-k2|/1-1/3>2√|k1`（-k2）/1-m/3=√m/3/1=m/3|

即m∈（0，1].

當(dāng)焦點在y軸上，可得m∈[9，+∞）.用向量的夾角公式cos∠AMB=-AM.BM/-AM.BM卻很難處理。

橢圓上到長軸兩個頂點張角最大的點位于橢圓短軸的端點.用同樣的方式容易說明雙曲線上的點到實軸頂點連線張角的變化規(guī)律.橢圓上到兩個焦點張角最大的點在什么位置？

可以利用余弦定理，夾角公式，但用向量法是最優(yōu)化的.

解析2（向量法）cosLF[MF2=FM.F，M

設(shè)M（x，y），則FM.FM=|FM|.|F2M|（x+c，y）`（x-c，y）=x2222=x“-c+y=x“-=c+b°-"x2.2b2

當(dāng)x=0時，即M位于短軸端點時，達到最小值，而|FM|.|F2M|≤{|FM|+|F2M=a2，取等條

2

件是|FM|=|F2M|，即M位于短軸端點此時余弦值最小，F(xiàn)MF2最大.

作為理科，此題可以改得更為隱蔽一點在條件不變的情況下，求離心率的范圍.

例7（2017年全國I文改編）設(shè)A、B是橢圓C：+h=1（a>b>0）長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則離心率e的取值范圍是____.

這其實是很古老的題目，由此看到最新的高考題目常常是經(jīng)典再現(xiàn).

5超綱知識和數(shù)學(xué)思想、能力的互補

考綱明確指出：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)，理科要求一.般不超過三次，文科明確說不超過三次）.因為超過三次，會涉及三次不等式的解法，高考是不做要求的.

例8（2017年全國I第16題）如圖4，圓形紙片的圓心為0，A半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中為0.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)OABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為____.

解析根據(jù)題意可得△DBC，△ECA，△FAB分別全等，故而可得三棱錐是正三棱錐，斜高即為三個三角形的高，即為DG，高為OD（如圖5）.

不妨設(shè)OABC的邊長為a（0

圖6中，OG=^3-a，DG=R-OG=5-√3-a.3‘3

所以5-33-a，解得0

根據(jù)體積公式可得Vv-ARC-a341031310√3.s25一a=25a4-a'.312/3

利用函數(shù)性質(zhì)可得，假設(shè)f（a）=25a*-10√33

則f'（a）=50a3（3a一2）.|3

故而當(dāng)a=2、3時取最大值/15cm3.

點評如果設(shè)OG=x，則構(gòu)造的函數(shù)V=√15（5x4-2x5）更簡潔，求導(dǎo)容易處理，雖然出現(xiàn)了5次函數(shù)，也可以認(rèn)為這和考綱是吻合的.函數(shù)如果超過3次，導(dǎo)函數(shù)很簡潔，易于處理，這可以視為考綱要求.

參考文獻：

[1]呂榮春.全國卷高考數(shù)學(xué)分析及應(yīng)對[M].成都：四川大學(xué)出版社，2018.

[2]呂榮春.高觀點下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀[M].成都：四川電子科技大學(xué)出版社，2017.