李瑞云

【摘要】APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯等人對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)提出的理論，包含四個(gè)階段：活動(dòng)階段、程序階段、對(duì)象階段、圖式階段，并運(yùn)用于指導(dǎo)實(shí)踐教學(xué).本文結(jié)合APOS理論進(jìn)行“導(dǎo)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)，以期對(duì)高中導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)有所幫助和啟示.

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué);APOS理論;教學(xué)設(shè)計(jì);導(dǎo)數(shù)概念

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人基于建構(gòu)主義理論發(fā)展起來的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論模型，包含四個(gè)階段：活動(dòng)階段（Action），程序階段（Process），對(duì)象階段（Object），圖式階段（Scheme）.[1]

一、基于APOS理論的導(dǎo)數(shù)的概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）活動(dòng)階段：創(chuàng)設(shè)情境，感知瞬時(shí)變化率

高鐵的每一節(jié)車廂都有一個(gè)速度顯示表（如圖所示），那么310 km/h表示的是什么速度？

分析：在這一階段創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生提供實(shí)際生活的例子，使其親身感受生活中的直觀背景與概念之間的關(guān)系，學(xué)生在“活動(dòng)”中形成對(duì)瞬時(shí)變化率主觀認(rèn)識(shí)的思考，能更好地理解概念.

（二）程序階段：不斷設(shè)問，體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)概念形成的過程

我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了平均變化率和瞬時(shí)變化率，求平均變化率的步驟是什么？怎樣求函數(shù)y=f（x），x從x0到x1平均變化率？

一小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：s=12gt2，t∈[0，10]（g=9.8m/s2）

問題1：小球在t∈[1，2] s之間的平均速度是多少？

問題2：小球在2 s末的瞬時(shí)速度是多少？

問題3：平均速度就是2 s末的瞬時(shí)速度嗎？

分析：此處主要通過不斷設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生理解越逼近2 s范圍的平均速度就越與2 s末的瞬時(shí)速度誤差小，利用逼近思想得出2 s末的瞬時(shí)速度.

在這一階段設(shè)計(jì)有啟發(fā)、有層次的問題，充分發(fā)揮學(xué)生的直觀與抽象思維的碰撞，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)參與知識(shí)產(chǎn)生的過程，使得學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”階段進(jìn)行描述和反思，進(jìn)一步對(duì)瞬時(shí)變化率的思考，為建構(gòu)導(dǎo)數(shù)這個(gè)“對(duì)象”起到鋪墊作用.

（三）對(duì)象階段：建構(gòu)對(duì)象，導(dǎo)數(shù)概念形式化，符號(hào)化

問題4：若用f（x）來表示這個(gè)變化率問題中的函數(shù)問題，那么函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率如何呢？

分析：通過問題1和2結(jié)合畫圖及列表格分析函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率，經(jīng)歷由一個(gè)具體的物理問題擴(kuò)展到一般的函數(shù)來理解.引導(dǎo)學(xué)生從理解瞬時(shí)變化率過渡到導(dǎo)數(shù)概念的形成，進(jìn)而得到導(dǎo)數(shù)的概念.

在這一階段學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念形式化、符號(hào)化，明確瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)概念的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì).此時(shí)學(xué)生初步理解導(dǎo)數(shù)的概念，要使其成為一個(gè)具體的“對(duì)象”，需返回“活動(dòng)”階段，在“活動(dòng)”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善“程序”，經(jīng)過不斷循環(huán)之后，才能對(duì)導(dǎo)數(shù)概念從“對(duì)象”階段上升到“圖式”階段.

（四）圖式階段：設(shè)計(jì)練習(xí)，建立綜合心理圖式

練習(xí)：1.求 limΔx→0f（2+Δx）-f（2）Δx=（）.

（1）根據(jù)求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟，函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)是什么？

（2）其實(shí)際意義又是什么？

小結(jié)：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)導(dǎo)數(shù)的概念形成過程，深化理解用數(shù)學(xué)語言描述導(dǎo)數(shù)的概念.

分析：通過以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)建立如下的心理圖式：實(shí)際生活中導(dǎo)數(shù)思想的直觀感知如高鐵的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率與平均變化率的區(qū)別、瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系及形成過程等.教師設(shè)計(jì)理解導(dǎo)數(shù)概念的練習(xí)，使學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)概念的運(yùn)用及瞬時(shí)變化率的實(shí)際意義.通過練習(xí)與其變式，感受導(dǎo)數(shù)的形式的變化，兩道選擇題是互逆的，引導(dǎo)學(xué)生觀察四個(gè)選項(xiàng)的區(qū)別及與f′（-1）的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的直觀感受與互逆思維的“碰撞”;例題側(cè)重在理解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)際意義，引導(dǎo)學(xué)生回歸“函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率”的意義中去.

在這一階段，可采用變式教學(xué)如在例題基礎(chǔ)上變式等對(duì)導(dǎo)數(shù)概念進(jìn)行具體運(yùn)用，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)由“對(duì)象”上升到“圖式”的高度.

二、教學(xué)反思

APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，根據(jù)學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)引入瞬時(shí)變化率，由此過渡到導(dǎo)數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生求知欲，感受學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念的重要性.而導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)不能只是流于形式，要凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，上升到抽象層面，在設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)時(shí)，需要把導(dǎo)數(shù)形成的“活動(dòng)”與“程序”向“對(duì)象”階段轉(zhuǎn)化，最后達(dá)到“圖式”階段，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)與內(nèi)涵.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.