[摘 要]隨著高校教學(xué)理念的不斷更新，微課和翻轉(zhuǎn)課堂已經(jīng)廣泛應(yīng)用于高校課程改革中。課題組從微課和翻轉(zhuǎn)課堂的概念入手，以線性代數(shù)的某個知識點為例，探討翻轉(zhuǎn)課堂模式下向量組線性相關(guān)性的微課教學(xué)模式，為高校線性代數(shù)課程的教學(xué)改革提供借鑒。

[關(guān)鍵詞]翻轉(zhuǎn)課堂;向量組;線性相關(guān)性;微課;教學(xué)設(shè)計

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）06-0103-03

線性代數(shù)是高等院校理工類、經(jīng)管類專業(yè)開設(shè)的一門重要的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課，是研究生入學(xué)統(tǒng)一考試的必考科目。它的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，以及計算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，線性代數(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域。線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中概念、定理較多，比較抽象，具有較強(qiáng)的邏輯性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺線性代數(shù)較難理解，枯燥，對知識點不容易接受。因此，為了提高學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，提高線性代數(shù)的教學(xué)效果，教師非常有必要對線性代數(shù)的教學(xué)模式進(jìn)行不斷的探索和研究。

向量空間是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，向量空間主要討論向量組的線性組合、線性相關(guān)性、極大無關(guān)組和向量組的秩等。向量組的很多概念、定理比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)抽象概念，我們不是從簡單的定義出發(fā)，而是從有趣的引例出發(fā)，利用所學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生一步步解決問題，在解決問題的過程中理解抽象概念。

一、微課與翻轉(zhuǎn)課堂概述

微課是最近這幾年來興起的一種新的以網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為媒介的新型教學(xué)模式，它給學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)提供了條件，也為高校大學(xué)數(shù)學(xué)開展翻轉(zhuǎn)課堂、慕課等新型教學(xué)模式改革提供了保障。微課是以教學(xué)視頻為主要呈現(xiàn)方式，支持網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)、移動學(xué)習(xí)，教師在課堂教學(xué)中針對某個知識點或短小的教學(xué)活動進(jìn)行教學(xué)反思、課堂小測驗、學(xué)生反饋以及教師點評，播放課堂小視頻，微課視頻的學(xué)習(xí)時間一般是八到十五分鐘。

翻轉(zhuǎn)課堂的概念首次是由美國科羅拉多州的林地公園高中的兩位化學(xué)老師提出來的，他們使用軟件錄制了上課的教學(xué)PPT和同步講解教學(xué)內(nèi)容的視頻，上傳到網(wǎng)絡(luò)給缺課的學(xué)生自我學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)模式很快風(fēng)靡北美各學(xué)校。翻轉(zhuǎn)課堂改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，不再是“上課教師講解為主，課后學(xué)生自我學(xué)習(xí)和消化”，而是轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢n前學(xué)生先自我學(xué)習(xí);課中學(xué)生提出疑問，教師講解答疑;課后學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)”。這種新的教學(xué)模式體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，教師為輔，更能提高學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效率。

微課為翻轉(zhuǎn)課堂提供保障，使得翻轉(zhuǎn)課堂能夠更好地開展，因此擁有優(yōu)秀的微課資源才能使學(xué)生順利完成自主學(xué)習(xí)任務(wù)，才能夠保證課中順利進(jìn)行知識內(nèi)化和拓展。微課資源的優(yōu)劣直接影響翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)效果，兩者的關(guān)系是密不可分的。

二、翻轉(zhuǎn)課堂模式下向量組線性相關(guān)性的微課教學(xué)模式

很多高校的線性代數(shù)教學(xué)都是大班教學(xué)，那么，大班教學(xué)能否很好進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，以及翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)能否提高線性代數(shù)的教學(xué)效果成為重要問題。所以，教師可以選擇比較抽象，學(xué)生難以理解的知識點進(jìn)行微課視頻制作，并嘗試進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式改革，通過學(xué)生課前學(xué)習(xí)微課視頻的情況反饋調(diào)整翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)內(nèi)容。下面以向量組的線性相關(guān)性為例，做好概念的教學(xué)設(shè)計以及錄制概念的優(yōu)質(zhì)微課視頻。

（一）做好概念的教學(xué)設(shè)計

向量組的線性相關(guān)性概念比較抽象，學(xué)生不易理解，學(xué)好這個概念就必須要理解其定義，所以教師必須做好這個概念的教學(xué)設(shè)計工作。

定義1：由維數(shù)相同的一些向量所構(gòu)成的集合，成為向量組，當(dāng)向量的個數(shù)為[n]時，記為向量組[A：α1，α2，...，αn]。

介紹向量組的線性相關(guān)性時，一定要給學(xué)生講解矩陣與向量組的對應(yīng)關(guān)系。有限個相同維數(shù)的行（列）向量構(gòu)成的向量組與矩陣按行（列）進(jìn)行分塊，是一一對應(yīng)的。在此基礎(chǔ)上，再次介紹齊次線性方程組[Ax=0]的重要表達(dá)式：

同時，為向量組線性相關(guān)性的教學(xué)埋下伏筆。

定義2：給定向量組[α1，α2，…，αn]，如果存在一組常數(shù)[k1，k2，…，kn]，使得[k1α1+k2α2+…+knαn=0]（2），則稱向量組[α1，α2，…，αn]是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的。

由定義2可知，向量組線性相關(guān)意味著齊次線性方程組[Ax=0]有非零解，故（1）式有無窮多種表現(xiàn)形式。向量組線性無關(guān)意味著齊次線性方程組[Ax=0]只有零解，從而（1）式的表現(xiàn)形式唯一。

定義1和定義2的概念講解對向量組的線性相關(guān)性的教學(xué)非常重要，因此，在教學(xué)中一定要講解這些概念之間的聯(lián)系。

（二）微課視頻舉例

考慮到向量組的線性相關(guān)性的概念的抽象性，制作出優(yōu)質(zhì)的微課視頻，吸引學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)的興趣，從而更好進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)改革變得尤為重要。下面給出制作該知識的微課視頻舉例。

引例：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種中成藥，各用量成分見下表：

某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠的第3號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其他特效藥配制出這兩種脫銷的藥品？

1.教學(xué)背景：向量組的線性相關(guān)性在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等各領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，它與行列式、矩陣、線性方程組的求解以及社會生活實踐等有著密不可分的聯(lián)系。向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)理論的重要組成部分，它貫穿線性代數(shù)課程的始終，線性代數(shù)中的許多重要概念都離不開它。為此，我們要在微課視頻教學(xué)中力求將這些抽象枯燥的概念通過引例、實例，深入淺出、生動形象地表達(dá)出來，有意識地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，有利于對概念的理解、掌握以及應(yīng)用。

2.教學(xué)內(nèi)容：線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念;利用線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義判斷向量組的線性相關(guān)性。

3.教學(xué)重點：線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念。

4.教學(xué)難點：利用向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義來判斷向量組的線性相關(guān)性。

5.教學(xué)理念：采用問題驅(qū)動和體驗式學(xué)習(xí)方式，以情境和問題為驅(qū)動，圍繞學(xué)生主體，教學(xué)過程由淺入深，通俗易懂地講解抽象的教學(xué)內(nèi)容。從學(xué)生的生活實例和已有的知識背景出發(fā)，讓他們在工作生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，探究數(shù)學(xué)，認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律。數(shù)學(xué)課程著力于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、主動性。

6.教學(xué)方式：根據(jù)大衛(wèi)·庫伯的體驗式學(xué)習(xí)理論，采用“問題情境—觀察反思—形成抽象概念—實驗拓展”的結(jié)構(gòu)設(shè)計。

（1）問題情境：嘗試分析問題，創(chuàng)設(shè)情境。

（2）觀察反思：通過對引例中拋出的簡單問題1：3號成藥能否用其他特效藥配制出來？引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考;從學(xué)生已有的知識背景出發(fā)，讓他們在分析問題中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，探究數(shù)學(xué)，認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律。

（3）形成抽象概念：在學(xué)生原有的向量組的線性表示、線性組合的知識基礎(chǔ)上，由淺到深，由形象到抽象，利用簡單引例分析，幫助學(xué)生形成抽象概念，定義向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，給出用定義判斷向量組的線性相關(guān)性，及時對解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，最終還能學(xué)以致用。

（4）實驗拓展：在學(xué)以致用環(huán)節(jié)，通過引例的問題26號成藥能否用其他特效藥配制出來？引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握利用向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義去判斷向量組的線性相關(guān)性;解題中利用Matlab數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生的計算機(jī)應(yīng)用能力。最后用課后思考的方式檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果，適當(dāng)對題目進(jìn)行引申，使例題的作用更加突出，有利于學(xué)生對知識的串聯(lián)、累積、加工，從而達(dá)到舉一反三的效果。

7.教學(xué)過程：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題。

問題引入：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠的第3號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其他特效藥配制出這兩種脫銷的藥品？ 嘗試分析問題，創(chuàng)設(shè)情境。

（2）歸納探索，形成概念。

問題分析：先從簡單問題分析，針對引例中的問題，通過觀察分析發(fā)現(xiàn)，3號成藥的成分等于1號成藥的成分加上2倍2號成藥的成分，說明3號成藥可以配制。同時也說明1、2、3號成藥之間是相關(guān)的。引導(dǎo)學(xué)生思考：6號成藥可否配制？3號、6號成藥的配制問題可否同時考慮？同時，引出新知：向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念。

新知講解：向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念。

例題講解：選擇典型而具有代表性的2個例題，2個例題中第1個是判別已知具體維數(shù)的向量組的線性相關(guān)性，第2個是證明抽象的向量組的線性相關(guān)性。

新知歸納性質(zhì)：從向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念得出相關(guān)的簡單性質(zhì)。簡單性質(zhì)推導(dǎo)，使學(xué)生更加深刻理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念。

（3）掌握求法，適當(dāng)延展。

學(xué)以致用：針對引例中6號成藥可否配制，3號、6號成藥的配制問題可否同時考慮這兩個問題的解決就是向量組的線性相關(guān)性在實際問題中的應(yīng)用。解題時可利用Matlab數(shù)學(xué)軟件提高學(xué)生的計算機(jī)應(yīng)用能力。

（4）歸納小結(jié)，提高認(rèn)識。

小結(jié)：結(jié)合所講例題學(xué)以致用并進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生加深對用線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念的理解，以及用定義來解題的方法和規(guī)律，有利于學(xué)生對知識的串聯(lián)、累積、加工。

課后思考：（1）7種成藥中，若缺的是5號和7號成藥能否用其他成藥配制出來呢？（2）7種成藥中，哪幾種是不相關(guān)的，相互之間無法配制的？第1個問題是檢驗學(xué)生對新學(xué)知識的應(yīng)用，第2個問題是為下一個內(nèi)容——極大無關(guān)組做鋪墊，起到承前啟后的作用。通過課后思考題檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果，引導(dǎo)學(xué)生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而達(dá)到舉一反三的效果，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。

三、結(jié)束語

微課教學(xué)是一種新型的教學(xué)方法，翻轉(zhuǎn)課堂模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)是高校大學(xué)教學(xué)中一項長期的教學(xué)改革重點工作。優(yōu)質(zhì)的微課視頻資源為個性化學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和移動學(xué)習(xí)提供保障，使教師能夠開展翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)。翻轉(zhuǎn)課堂實施需要很多優(yōu)質(zhì)的微課視頻資源，這就要求我們教師要花大量的時間和精力來做好線性代數(shù)中每個知識點的教學(xué)設(shè)計，錄制出每個知識點的優(yōu)質(zhì)視頻，這對教師而言，也是一種艱巨的考驗。微課和翻轉(zhuǎn)課堂的出現(xiàn)，改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，使學(xué)生課前先通過微課視頻自主學(xué)習(xí)，課中與教師互動探討疑惑，使得教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了前所未有的變革。基于翻轉(zhuǎn)課堂模式下的線性代數(shù)微課教學(xué)是一次全新的嘗試和變革，這種新的教學(xué)模式在一定程度上提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[5] 孫曉青，唐平.翻轉(zhuǎn)課堂模式在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2017（12）：189-190.

[責(zé)任編輯：鐘 嵐]