(泗門鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué),浙江 余姚 315470)

核心素養(yǎng)是當(dāng)前基礎(chǔ)教育理論與實(shí)踐研究的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的熱點(diǎn)話題.史寧中教授認(rèn)為核心素養(yǎng)是后天習(xí)得的，與特定的情境有關(guān)[1]，這一屬性決定了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)依賴于學(xué)生自己的深度思考，而核心素養(yǎng)一旦形成又會(huì)有力地支持深度思考，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，兩者是相互加強(qiáng)的良性循環(huán)關(guān)系[2].因此，教師需要從教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中探索促進(jìn)學(xué)生深度思考的手段，其中“目標(biāo)導(dǎo)向”和“關(guān)注本質(zhì)”是兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).下面以浙教版《數(shù)學(xué)(八年級(jí)上冊(cè))》第2.2節(jié)“等腰三角形”的教學(xué)為例，探討如何在基于“目標(biāo)導(dǎo)向”和“關(guān)注本質(zhì)”基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考.

1 基于“目標(biāo)導(dǎo)向”和“關(guān)注本質(zhì)”的數(shù)學(xué)深度思考設(shè)計(jì)解讀

1.1 著眼于關(guān)注本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了三角形初步知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)直角三角形、四邊形等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.細(xì)讀教材內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)內(nèi)容可由巧設(shè)由來(lái)、挖掘內(nèi)涵、問(wèn)題解決、適度拓展這4個(gè)環(huán)節(jié)組成.如何在課堂教學(xué)活動(dòng)中落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考呢？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)的深度思考首先是數(shù)學(xué)的，因此需要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即要?jiǎng)?chuàng)設(shè)特定的情境，通過(guò)有效提問(wèn)讓學(xué)生有充分的機(jī)會(huì)重演數(shù)學(xué)家們的思考過(guò)程，并進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)，旨在體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)特征(對(duì)數(shù)學(xué)特征的抽象、分類等)，從而避免非本質(zhì)屬性的泛化.

具體地，在“巧設(shè)由來(lái)”環(huán)節(jié)中，通過(guò)“在正方形網(wǎng)格中任意畫(huà)三角形，之后嘗試調(diào)整某一個(gè)頂點(diǎn)的位置，讓其成為一個(gè)等腰三角形”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，突出等腰三角形概念的本質(zhì)：兩邊相等.

在“挖掘內(nèi)涵”環(huán)節(jié)中,通過(guò)讓學(xué)生折疊紙片，經(jīng)歷“操作—觀察—猜想—論證”這一基本過(guò)程，突出了等腰三角形對(duì)稱性的本質(zhì)：軸對(duì)稱性.同時(shí)借助紙片上的網(wǎng)格線，讓對(duì)稱軸的獲得顯得自然，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等腰三角形具有軸對(duì)稱性的認(rèn)同感.

在“問(wèn)題解決”環(huán)節(jié)中,通過(guò)以問(wèn)題串的形式，經(jīng)歷“找、判、思”這3個(gè)層次，驅(qū)動(dòng)學(xué)生互動(dòng)思辨、深度思考，突出如何找對(duì)稱點(diǎn)的本質(zhì)：構(gòu)造等腰三角形(或共端點(diǎn)的兩條相等的線段).

在“適度拓展”環(huán)節(jié)中，通過(guò)設(shè)置一個(gè)與本節(jié)課開(kāi)頭相呼應(yīng)的問(wèn)題：對(duì)找到的所有等腰三角形分類，以此為任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考，突出等腰三角形分類的本質(zhì)：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走吇蛘唔斀遣淮_定時(shí)，需要分類，可從邊、角這兩個(gè)角度分類；接下來(lái)，通過(guò)對(duì)“給定的一個(gè)格點(diǎn)所形成的三角形是不是等腰三角形”這一問(wèn)題的研討，突出找一個(gè)點(diǎn)與已知兩點(diǎn)形成等腰三角形的本質(zhì)：作一條中垂線及畫(huà)兩條圓弧.

1.2 著眼于目標(biāo)導(dǎo)向，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考

本次授課對(duì)象的學(xué)生來(lái)自于農(nóng)村初中八年級(jí)普通班，有一定的自主學(xué)習(xí)能力與良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生對(duì)等腰三角形已有初步認(rèn)識(shí)，但很多學(xué)生還停留在感性認(rèn)識(shí)階段，需要有理性的高度；同時(shí)這一階段對(duì)等腰三角形還沒(méi)有開(kāi)展性質(zhì)的探究，合情推理也沒(méi)能引起足夠的重視，因此部分學(xué)生對(duì)等腰三角形的認(rèn)識(shí)及相關(guān)運(yùn)用僅停留在直覺(jué)層面，以致于學(xué)生對(duì)等腰三角形的軸對(duì)稱性的獲得過(guò)程、運(yùn)用及拓展還是有困難的.基于這一現(xiàn)狀，教師該如何在課堂教學(xué)活動(dòng)中落實(shí)數(shù)學(xué)深度思考呢？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)的深度思考其次是要有明確的目標(biāo)導(dǎo)向.本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷“溯源之旅—本質(zhì)之踐—探究之法—思維之巔”等系列探究活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)有能力，以符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的目標(biāo)為導(dǎo)向，通過(guò)適切的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，逐級(jí)展開(kāi)，讓學(xué)生在“做”和“思考”中形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

具體地，在“溯源之旅”環(huán)節(jié)中，基于學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)認(rèn)識(shí)了等腰三角形，但小學(xué)階段接觸的等腰三角形還停留在感性認(rèn)識(shí)階段，因此，本環(huán)節(jié)以從理性的角度認(rèn)識(shí)等腰三角形的概念為目標(biāo)導(dǎo)向.

在“本質(zhì)之踐”環(huán)節(jié)中，基于幾何直觀，學(xué)生自然會(huì)沿頂角的角平分線折疊，容易發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有軸對(duì)稱性.另外由于沿底角的角平分線折疊會(huì)出現(xiàn)不重合的情況，干擾學(xué)生對(duì)等腰三角形具有軸對(duì)稱性的認(rèn)知.因此，本環(huán)節(jié)以讓學(xué)生經(jīng)歷等腰三角形軸對(duì)稱性的獲得過(guò)程、明確等腰三角形具有軸對(duì)稱性、發(fā)展合情推理能力為目標(biāo)導(dǎo)向，不用去嘗試探究沿底角的角平分線折疊的情況；同時(shí)基于演繹推理過(guò)程的復(fù)雜性，采用了文本閱讀，意在建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式.

在“探究之法”環(huán)節(jié)中,基于學(xué)生在利用等腰三角形的對(duì)稱性作對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，往往憑直覺(jué)作圖，且思路容易受限，因此，本環(huán)節(jié)以能利用等腰三角形的軸對(duì)稱性作對(duì)稱點(diǎn)及明確作圖依據(jù)，并能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單地演繹、推理、論證為目標(biāo)導(dǎo)向.

在“思維之巔”環(huán)節(jié)中，基于讓有能力的學(xué)生得到更好的發(fā)展，從而促進(jìn)學(xué)生深度思考、形成數(shù)學(xué)能力，本環(huán)節(jié)以讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目標(biāo)導(dǎo)向.

2 基于“目標(biāo)導(dǎo)向”和“關(guān)注本質(zhì)”的數(shù)學(xué)深度思考教學(xué)過(guò)程

2.1 巧設(shè)由來(lái)，引發(fā)數(shù)學(xué)深度思考的溯源之旅

問(wèn)題1如圖1，在單位長(zhǎng)度為1的8×8正方形網(wǎng)格中，BC=6，請(qǐng)你任意取一點(diǎn)A，聯(lián)結(jié)AB,AC，記作△ABC(△ABC是格點(diǎn)三角形，其頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上).

圖1 圖2

師：你是怎么取的？對(duì)于你所畫(huà)的三角形，有哪些認(rèn)識(shí)？

生1：我取了第6列第4行的點(diǎn)A(如圖2)，對(duì)于△ABC，3個(gè)內(nèi)角和是180°.

師(追問(wèn))：從邊方面考慮呢？

生1：任意兩邊之和大于第三邊.

師：你能嘗試調(diào)整頂點(diǎn)A的位置使△ABC成為一個(gè)等腰三角形嗎？說(shuō)說(shuō)你的方法.

生2：我上來(lái)操作，讓它在點(diǎn)A1處(如圖3).

圖3

師(追問(wèn))：你能說(shuō)說(shuō)△A1BC是等腰三角形的理由嗎？

生2：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

師(追問(wèn))：你指的是哪兩條邊？

生2：A1B=A1C.

師(追問(wèn))：這兩條邊為什么相等？

生2：可以通過(guò)構(gòu)造全等三角形證得.

師：很不錯(cuò)，我們把有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

評(píng)注該環(huán)節(jié)以“從理性的角度認(rèn)識(shí)等腰三角形的概念”為目標(biāo)導(dǎo)向，摒棄了“從實(shí)物中抽象出等腰三角形”來(lái)導(dǎo)入這一感性認(rèn)識(shí)過(guò)程，采用在正方形網(wǎng)格中先任意畫(huà)三角形，然后畫(huà)特殊的等腰三角形，進(jìn)而導(dǎo)出等腰三角形的概念.這樣處理的理由是讓學(xué)生參與畫(huà)等腰三角形這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，意在讓學(xué)生對(duì)等腰三角形的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，這樣設(shè)計(jì)自然、簡(jiǎn)約但不失厚重，讓“三角形”和“等腰三角形”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，關(guān)注了知識(shí)的邏輯性，經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，有效地突出了等腰三角形概念的本質(zhì)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，并為后面開(kāi)展等腰三角形的軸對(duì)稱性及分類討論作了思維的鋪墊.

2.2 探究?jī)?nèi)涵，凸顯數(shù)學(xué)深度思考的本質(zhì)之踐

問(wèn)題2問(wèn)題1中剪下來(lái)的等腰△A1BC紙片，在折疊過(guò)程中你有什么發(fā)現(xiàn)？在紙片上畫(huà)出折痕，頂點(diǎn)處標(biāo)上字母，并說(shuō)說(shuō)你所畫(huà)的折痕有什么特點(diǎn)？

生3：我在折疊過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)等腰△A1BC是軸對(duì)稱圖形.

師(追問(wèn))：說(shuō)說(shuō)你的理由.

生3：在折疊時(shí)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形折痕兩側(cè)的部分互相重合.

師(追問(wèn))：你是怎樣折的？

生3：沿著等腰三角形的高線折.

師(追問(wèn))：哪條邊上的高？

生3：等腰三角形底邊上的高線.

師(追問(wèn))：對(duì)于這條折痕還有補(bǔ)充的嗎？

生3：它也是等腰三角形底邊上的中線.

師(追問(wèn))：還有嗎？

生3：也是等腰三角形頂角的角平分線.

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)原因嗎？

生4：因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)發(fā)現(xiàn)折痕兩側(cè)的部分互相重合，由共折痕的兩個(gè)三角形全等就可以推得.

師：不錯(cuò).你能把剛才的發(fā)現(xiàn)總結(jié)一下嗎？

生4：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的折痕既是等腰三角形底邊上的高線、中線，也是頂角的角平分線.

師(追問(wèn))：等腰三角形的對(duì)稱軸是什么呢？

生4：等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高線所在的直線，也可以是底邊上的中線所在的直線，也可以是頂角的角平分線所在的直線.

評(píng)注該環(huán)節(jié)以讓學(xué)生經(jīng)歷等腰三角形軸對(duì)稱性的獲得過(guò)程、明確等腰三角形具有軸對(duì)稱性為目標(biāo)導(dǎo)向，擯棄了“沿任意一角的角平分線折疊，讓學(xué)生在折疊時(shí)發(fā)現(xiàn)只有沿頂角的角平分線折疊時(shí)才能重合，而沿底角的角平分線折疊時(shí)不重合”.這樣處理的理由是基于這一數(shù)學(xué)活動(dòng)承載的功能讓學(xué)生明確等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，而任意角折疊的設(shè)置會(huì)干擾學(xué)生的認(rèn)知，發(fā)現(xiàn)等腰三角形不對(duì)稱了.因此，本環(huán)節(jié)采用直接折疊紙片，讓學(xué)生憑借幾何直觀經(jīng)歷等腰三角形軸對(duì)稱性的探索過(guò)程，通過(guò)合情推理發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，再借助紙片上的網(wǎng)格線，讓學(xué)生自然聯(lián)想，意識(shí)到對(duì)稱軸是等腰三角形底邊上的高線、中線所在直線，也是頂角的角平分線所在直線，感受知識(shí)產(chǎn)生的背景和形成過(guò)程，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)同感，有效地突出等腰三角形對(duì)稱性的本質(zhì)：軸對(duì)稱性.

問(wèn)題3請(qǐng)學(xué)生們閱讀教材第54頁(yè)第二段，思考以下兩個(gè)問(wèn)題，并在文中標(biāo)注關(guān)鍵詞.

思考1軸對(duì)稱圖形是怎么說(shuō)明的？

圖4

思考2如圖4，要說(shuō)明△A1BC沿A1D折疊后，A1D兩側(cè)的△A1BD與△A1CD能夠重合,關(guān)鍵要說(shuō)明什么？具體是怎么說(shuō)明的？

生5：一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠互相重合，就能說(shuō)明它是軸對(duì)稱圖形.

生6：A1D兩側(cè)的△A1BD與△A1CD能夠重合,關(guān)鍵要說(shuō)明沿A1D折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.

師(追問(wèn))：點(diǎn)B與點(diǎn)C重合是怎么說(shuō)明的？

生6：先說(shuō)明射線A1B與A1C重合，又因?yàn)锳1B=A1C，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.

評(píng)注該環(huán)節(jié)以發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力、建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式為目標(biāo)導(dǎo)向，讓學(xué)生通過(guò)合情推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用演繹推理的方法加以說(shuō)明，遵循“操作—觀察—猜想—論證”這一基本過(guò)程，關(guān)注猜想的完善，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)的理性精神，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)研究幾何圖形的一般方法.但基于這個(gè)演繹推理的過(guò)程學(xué)生很難形成思路，因此采用了文本閱讀，以問(wèn)題為任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，在學(xué)法上進(jìn)行指導(dǎo)，挖掘隱含的知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考.

2.3 問(wèn)題解決，體驗(yàn)數(shù)學(xué)深度思考的探究之法

問(wèn)題4在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線.

思考1點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)是什么？為什么？

生7：點(diǎn)C，因?yàn)榈妊切问禽S對(duì)稱圖形，直線AD是它的對(duì)稱軸.

生8：點(diǎn)B沿AD折疊后與點(diǎn)C重合.

思考2用刻度尺在AB，AC上分別量取AE=2，AF=2，點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于AD對(duì)稱嗎？為什么？

生9：聯(lián)結(jié)EF，因?yàn)锳E=AF，所以△DEF是等腰三角形.由于△DEF是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，因此點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于AD對(duì)稱(如圖5).

(教師請(qǐng)學(xué)生們自行折疊進(jìn)行驗(yàn)證.)

圖5 圖6

思考3如圖6，若點(diǎn)M在AB上且AM=k(其中k是常數(shù))，點(diǎn)N在AC上，當(dāng)AN滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)M,N關(guān)于AD對(duì)稱？

生10：當(dāng)AN=AM=k時(shí)，點(diǎn)M,N關(guān)于AD對(duì)稱.

思考4請(qǐng)學(xué)生們嘗試用多種方法作出點(diǎn)M關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，并說(shuō)明理由(作圖工具不限).

(學(xué)生先獨(dú)立思考，3分鐘后4人一小組交流，達(dá)成共識(shí)，派小組成員點(diǎn)評(píng).)

生11：我們小組有3種想法：1)和思考2一樣，先用刻度尺量取AM的長(zhǎng)，然后在AC上截取AN=AM得點(diǎn)N；2)過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)N(如圖7),通過(guò)證明△AME≌△ANE得AN=AM；3)以點(diǎn)A為圓心、AM長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧交AC于點(diǎn)N，可得AN=AM(如圖8).

圖7 圖8

師：很不錯(cuò)，以上3種方法都很好地構(gòu)造了相等的線段，進(jìn)而產(chǎn)生等腰三角形，作出對(duì)稱點(diǎn).其他小組還有不同的想法嗎？

生12：我們小組的想法是截取BM的長(zhǎng)度，以點(diǎn)C為圓心、BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧交AC于點(diǎn)N(如圖9).

圖9 圖10

生13：聯(lián)結(jié)MC交AD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF,并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)N(如圖10).

(教師認(rèn)同了生13的想法，簡(jiǎn)單分析后發(fā)現(xiàn)暫時(shí)還無(wú)法說(shuō)理.)

師：學(xué)生們通過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)了多種作對(duì)稱點(diǎn)的方法，有一種方法暫時(shí)無(wú)法說(shuō)理，有待學(xué)生們學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)后再來(lái)思考這種作法的理由.

圖11

思考5如圖11，若點(diǎn)M在AB的中點(diǎn)處，點(diǎn)N在AC的中點(diǎn)處時(shí)，聯(lián)結(jié)MC，NB，請(qǐng)你猜想BN和CM的數(shù)量關(guān)系，并把你的猜想以命題的形式進(jìn)行表述.

生14：等腰三角形兩條腰上的中線相等.

師(追問(wèn))：這個(gè)猜想是否正確？你如何說(shuō)明？

生15：因?yàn)椤鰽BN≌△ACM

師：能否從對(duì)稱性角度來(lái)說(shuō)明？

生16：因?yàn)锳B=AC，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，又因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是AB,AC的中點(diǎn)，所以AM=AN，即點(diǎn)N與點(diǎn)M也關(guān)于AD對(duì)稱，故MC=NB.

評(píng)注該環(huán)節(jié)以能利用等腰三角形的軸對(duì)稱性作對(duì)稱點(diǎn)及明確作圖依據(jù)、并能運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理論證為目標(biāo)導(dǎo)向.學(xué)生在利用等腰三角形的對(duì)稱性作對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，往往能想到作垂線，但不太清楚其原因，且思路受限.為了讓學(xué)生了解利用等腰三角形的對(duì)稱性作對(duì)稱點(diǎn)的依據(jù)，本環(huán)節(jié)對(duì)教材內(nèi)容優(yōu)化整合，以問(wèn)題串的形式，通過(guò)找、判、思這3個(gè)層次，驅(qū)動(dòng)學(xué)生互動(dòng)思辨、深度思考，有效地突破了找對(duì)稱點(diǎn)的本質(zhì)：構(gòu)造等腰三角形(或共端點(diǎn)的兩條相等的線段)即可，達(dá)到認(rèn)識(shí)、理解、感悟、深化的目的.同時(shí)又提供足夠的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生合作交流、充分探討，形成多種思考方法，雖然有一種方法暫時(shí)無(wú)法演繹證明，但學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得了解題經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的魅力.

2.4 適度拓展，提升數(shù)學(xué)深度思考的思維之巔

問(wèn)題5請(qǐng)你在單位長(zhǎng)度為1的8×8正方形網(wǎng)格中找出所有的格點(diǎn)C，使得△ABC是格點(diǎn)等腰三角形(每個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的等腰三角形)，并理清找到的每一個(gè)等腰三角形的腰和底邊分別是什么.

(教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，2分鐘后請(qǐng)學(xué)生上黑板來(lái)描點(diǎn).)

生17：如圖12，共找到了8個(gè)等腰三角形.

圖12圖13

生18：我認(rèn)為還有兩個(gè)點(diǎn)A9,A10(如圖13).

師：請(qǐng)學(xué)生觀察所找到的等腰三角形，BC在等腰三角形中一定作為底邊嗎？若不是，你認(rèn)為哪些等腰三角形不是，并說(shuō)說(shuō)這些等腰三角形的底邊又是什么呢？

生19：在△A9BC中，BC作為腰，此時(shí)底邊是A9C;在△A10BC中，BC作為腰，此時(shí)底邊是A10B.

師：能不能把找到的所有等腰三角形分分類？并說(shuō)說(shuō)你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生20：我把這些等腰三角形分成兩類，即以BC是腰還是底邊進(jìn)行分類.

生21：我把這些等腰三角形分成3類，即以BC是底邊為一類，AC是底邊為一類，AB是底邊為一類.

生22：我把這些等腰三角形分成3類，即以AB,AC是腰為一類，AB,BC是腰為一類，AC,BC是腰為一類.

師：能從角的方面進(jìn)行分類嗎？

生23：我把這些等腰三角形分成3類，即以∠BAC是頂角為一類，∠ABC是頂角為一類，∠ACB是頂角為一類.

師：很好，當(dāng)?shù)妊切蔚牡走吇蛘唔斀遣淮_定時(shí)，需要分類，這里的分類標(biāo)準(zhǔn)不唯一，學(xué)生們可以結(jié)合實(shí)際選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.

師：到此為止，老師還有一個(gè)疑問(wèn)，除了剛才找到的10個(gè)格點(diǎn)等腰三角形外，還有沒(méi)有其他的格點(diǎn)等腰三角形？

圖14

(學(xué)生們陷入沉思，滿是疑問(wèn).)

師：如圖14，格點(diǎn)A11所形成的△A11BC是不是等腰三角形？說(shuō)說(shuō)你的理由.

生24：不是，因?yàn)檫@個(gè)三角形的兩邊不相等.

師(追問(wèn))：能具體說(shuō)說(shuō)嗎？

生24：很容易發(fā)現(xiàn)A11B≠A11C.

師(追問(wèn))：兩邊不相等就一定不是等腰三角形了嗎？

生24：A11C≠BC，A11B與BC好像也不相等.

師(追問(wèn))：你怎么知道A11B≠BC？

(學(xué)生們又陷入沉思.)

師：借助作圖工具能解決嗎？

生25：用刻度尺量量看就可以.

生26：我覺(jué)得可以借助圓規(guī)，先截取BC的長(zhǎng)，以點(diǎn)B為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，看看有沒(méi)有經(jīng)過(guò)點(diǎn)A11(如圖15).

圖15圖16

師：你的想法真不錯(cuò)，很好地解決了這個(gè)問(wèn)題.現(xiàn)在正方形網(wǎng)格上還有這樣一些格點(diǎn)A12,A13,A14,A15(如圖16)，請(qǐng)你判斷它們與點(diǎn)B,C所形成的三角形是不是等腰三角形？

(學(xué)生用圓規(guī)逐一判斷發(fā)現(xiàn)都不是等腰三角形.)

師：剛才老師的疑問(wèn)你能解決了嗎？

生27：分別以點(diǎn)B，C為圓心、BC為半徑畫(huà)圓弧，看圓弧有沒(méi)有經(jīng)過(guò)格點(diǎn)，我發(fā)現(xiàn)在8×8網(wǎng)格中只有10個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是格點(diǎn)等腰三角形.

師：已知一條邊，要找一個(gè)點(diǎn)形成等腰三角形，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)點(diǎn)該怎么去找呢？若不太明白，請(qǐng)你再把上面所有能形成等腰三角形的格點(diǎn)有序地描出，或許你會(huì)有所發(fā)現(xiàn).

生28：作一條中垂線，還有畫(huà)兩條圓弧.

評(píng)注該環(huán)節(jié)以讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，體會(huì)分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為目標(biāo)導(dǎo)向.通過(guò)設(shè)置一個(gè)與本節(jié)課開(kāi)頭相呼應(yīng)的問(wèn)題，讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的等腰三角形概念和性質(zhì)去解決問(wèn)題.通過(guò)對(duì)找到的所有等腰三角形進(jìn)行分類，讓學(xué)生形成分類意識(shí)，明確何時(shí)需要分類、怎么分類；通過(guò)對(duì)給定的一個(gè)格點(diǎn)所形成的三角形是不是等腰三角形這一問(wèn)題進(jìn)行研討，讓學(xué)生形成如何找一個(gè)點(diǎn)與已知兩點(diǎn)形成等腰三角形的思維能力，讓知識(shí)有邏輯地生長(zhǎng)、聯(lián)結(jié)，有效地突破了找一個(gè)點(diǎn)與已知兩點(diǎn)形成等腰三角形的本質(zhì)：作一條中垂線及畫(huà)兩條圓弧.同時(shí)，學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中經(jīng)歷思考、交流、評(píng)價(jià)、試錯(cuò)等過(guò)程，獲得樸素而廣泛、深厚而靈動(dòng)、能遷移且可生長(zhǎng)的思考品質(zhì)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到有效落實(shí).

3 基于“目標(biāo)導(dǎo)向”和“關(guān)注本質(zhì)”的數(shù)學(xué)深度思考教學(xué)反思

3.1 教學(xué)目標(biāo)：為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考提供方向

數(shù)學(xué)深度思考不等于超出學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平的高難度思考.因此，在教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展前，執(zhí)教者要在充分理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，明確學(xué)生在這節(jié)課上要獲得什么、可能的困惑是什么，從而制定出準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo).在目標(biāo)的指引下，執(zhí)教者才能明確在教學(xué)活動(dòng)實(shí)施中需要從事哪些核心的認(rèn)知活動(dòng)，才能把握好思考的深度和廣度，為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考指明方向.本節(jié)課是在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，各個(gè)環(huán)節(jié)中所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)都基于目標(biāo)的要求，給學(xué)生搭建了拾級(jí)而上的思維臺(tái)階，有了明確的需要達(dá)成的核心任務(wù)，就能保證學(xué)生在課堂中學(xué)習(xí)該學(xué)的、值得學(xué)的內(nèi)容，能夠把有限的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間用在達(dá)成重點(diǎn)目標(biāo)上，保障了學(xué)生深度思考的有效開(kāi)展.

3.2 教學(xué)活動(dòng)：為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考提供載體

必須承認(rèn)學(xué)生以其自身的知識(shí)體系以及思維經(jīng)驗(yàn)無(wú)法有效地建構(gòu)出復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，更談不上思維層面的深度思考.因此，教學(xué)活動(dòng)實(shí)施中的有效問(wèn)題作為一種催化劑，是促進(jìn)學(xué)生深度思考的載體.基于目標(biāo)導(dǎo)向下的有價(jià)值的問(wèn)題，能讓學(xué)生在情境交互中激活原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能引領(lǐng)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，使課堂在思辨中曲徑通幽，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的深刻探究，從而一步步走向基于理解、善思的深度思考狀態(tài).本節(jié)課在實(shí)施中，各個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展依賴于合理的問(wèn)題引導(dǎo)，如：作對(duì)稱點(diǎn)這一環(huán)節(jié)中設(shè)置了找、判、思這3個(gè)層次的系列問(wèn)題，適度拓展中設(shè)置了“對(duì)給定的一個(gè)格點(diǎn)所形成的三角形是不是等腰三角形”這一問(wèn)題等，這樣處理就能以問(wèn)題為載體幫助學(xué)生進(jìn)入逐漸深入的學(xué)習(xí)思考狀態(tài)，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系；同時(shí)，有效及時(shí)的追問(wèn)以及問(wèn)題與問(wèn)題之間的跨度為學(xué)生思維的多樣性提供了可能，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓數(shù)學(xué)深度思考得以落實(shí).

3.3 教學(xué)本質(zhì)：為學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思考提供根基

數(shù)學(xué)的本質(zhì)都是精簡(jiǎn)樸實(shí)的，根源都是自然而富有直觀的內(nèi)涵.很多問(wèn)題外在呈現(xiàn)紛繁蕪雜，但內(nèi)核的東西往往簡(jiǎn)單明了.因此，在教學(xué)活動(dòng)實(shí)施中，只有把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能為數(shù)學(xué)深度思考提供根基.數(shù)學(xué)的本質(zhì)必須要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，在恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引起學(xué)生深度思考的出現(xiàn)和發(fā)展，其核心價(jià)值不僅僅是建構(gòu)知識(shí)體系，更在于讓問(wèn)題的內(nèi)核從學(xué)生的心底里生長(zhǎng)出來(lái)，獲得對(duì)問(wèn)題的感悟.本節(jié)課中，在教學(xué)目標(biāo)的指引下，通過(guò)有效的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和及時(shí)合理的追問(wèn)，各個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)凸顯了具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征的深度，如：等腰三角形概念的本質(zhì)、利用等腰三角形的對(duì)稱性找對(duì)稱點(diǎn)的本質(zhì)、找一個(gè)點(diǎn)與已知兩點(diǎn)形成等腰三角形的本質(zhì)等，都被建構(gòu)起來(lái)，各個(gè)環(huán)節(jié)承載的功能被落實(shí)，引發(fā)新的深度思考，讓數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng).

總之，每一堂課都有特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)只有基于特定的內(nèi)容和目標(biāo)，以恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題為載體，有側(cè)重、有邏輯地開(kāi)展課堂教學(xué)，同時(shí)努力豐富知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，凸顯問(wèn)題的本質(zhì)，只有這樣才能更好地促進(jìn)學(xué)生深度思考，才能更好地落實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力的形成”，才能給學(xué)生帶來(lái)更多智慧與思維的啟迪[3].