黃廣華

摘 ?要：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)包括學(xué)科事實概念、學(xué)科思想方法以及學(xué)科價值觀念等。從某種意義上說，從學(xué)科知識到核心素養(yǎng)的演變、轉(zhuǎn)化，其根本旨趣就在于讓數(shù)學(xué)教學(xué)超越傳統(tǒng)“雙基”的桎梏，用學(xué)科思想或價值觀來引領(lǐng)教學(xué)、引領(lǐng)學(xué)生活動。在這個過程中，教師要超越“冰冷的知識”，激活學(xué)生“火熱的思考”。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成過程是數(shù)學(xué)學(xué)科知識被重新發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑、批判、思想的過程。

關(guān)鍵詞：學(xué)科知識;核心素養(yǎng);學(xué)科教學(xué)

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是當下課程與教學(xué)改革的總的方向。面對信息社會的挑戰(zhàn)，以學(xué)科知識為核心、為邏輯的課程與教學(xué)正越來越困窘、越來越尷尬?！皬膶W(xué)科知識到核心素養(yǎng)”不是一句口號，而是實實在在的發(fā)展、改革趨向?！皬年P(guān)注學(xué)科到關(guān)注人，從關(guān)注知識到關(guān)注素養(yǎng)” [1]，需要教師智性的教學(xué)實踐。核心素養(yǎng)需要知識，但知識絕不等于核心素養(yǎng)。以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，核心素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)社會的必備品格和關(guān)鍵能力。有專家認為，新課標所提出的十大核心概念就是核心素養(yǎng)，具體包括數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識;也有專家認為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六大方面，就是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。無論怎樣分析，都表明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是單一的，而是一個具有多層次、多結(jié)構(gòu)的復(fù)合體。本文以《圓的周長》為例，試探學(xué)生掌握學(xué)科事實性知識到形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程嬗變。

一、知性認知：從核心素養(yǎng)視角設(shè)置教學(xué)目標

教學(xué)目標是教學(xué)的原點和歸宿，對教學(xué)有著導(dǎo)向性作用。教學(xué)目標不僅涉及知識性目標，更涉及能力性目標、情意性目標等;不僅涉及基礎(chǔ)性目標，而且涉及發(fā)展性目標、提升性目標等;不僅有短期目標，更有長期目標等。盡管這些目標內(nèi)容、表現(xiàn)形態(tài)不同，但都指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成。

確立數(shù)學(xué)教學(xué)目標，必須有兩方面的觀照：其一是對學(xué)科知識邏輯的觀照;其二是對學(xué)生具體學(xué)情的觀照 [2]。學(xué)科事實性知識邏輯屬于本體性知識，是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分。盡管學(xué)科本體性知識并不是學(xué)科素養(yǎng)，但學(xué)科素養(yǎng)一定離不開學(xué)科本體性知識。沒有學(xué)科本體性知識，學(xué)科素養(yǎng)就是無源之水、無本之木。由此，觀照數(shù)學(xué)學(xué)科本體性知識也就是確定教學(xué)目標的必然。對于《圓的周長》知識而言，教師既要讓學(xué)生認識“周長”“圓的周長”等陳述性知識，也要讓學(xué)生掌握測量圓的周長等操作性、程序性知識;既要讓學(xué)生理解測量圓的周長的化曲為直的顯性知識，要讓學(xué)生感悟圓出于方、方出于矩等蘊含極限思想的隱性知識。這些程序性知識、隱性知識等是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)核，需要學(xué)生在學(xué)習中慢慢感悟，對學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習發(fā)揮著潛在作用。

比如測量圓的周長的程序性知識，就需要引導(dǎo)學(xué)生思考“怎樣才算滾了一整圈”（做記號、滾動時不能打滑等），引導(dǎo)學(xué)生思考“用線繞著圓一周時要注意什么？”（線要盡量貼著圓的周長等）。在這個過程中，有學(xué)生甚至感悟到“應(yīng)該用盡量大一些的圓做實驗，因為圓越大誤差越小因而探究出的圓周率越精準”。再比如感悟極限思想的隱性知識，需要教師運用多媒體課件動態(tài)展示劉徽的割圓術(shù)，從正六邊形到正十二邊形，從正十二邊形到正二十四邊形……。在割圓的過程中，學(xué)生通過“看”，能對“正多邊形無限接近圓”“正多邊形就是圓”等形成本質(zhì)直觀，進而感悟到“極限”的鮮活思想。這種極限思想的感悟，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習圓的面積、圓柱的體積等都具有重要的意義和價值。

觀照學(xué)生具體學(xué)情，主要是指教師要認識學(xué)生“已經(jīng)認識了什么”“還應(yīng)當認識什么”“怎樣進行這種認識”等，在知識上、技能上、思想方法上，等等。如筆者在教學(xué)前，通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)知道了圓周率的存在，部分學(xué)生知道圓周率用π表示，少部分學(xué)生知道圓周率就是圓的周長和直徑的比值，但學(xué)生對圓的周長沒有進行過動手的探究，因而對圓周率的理解比較膚淺，停留在“知道”層面。從效果上說，學(xué)科知識邏輯是確定教學(xué)目標的邏輯起點，而學(xué)生具體學(xué)情是確定教學(xué)目標的現(xiàn)實起點。

基于對學(xué)科知識邏輯和學(xué)生具體學(xué)情的把脈，筆者在教學(xué)中設(shè)置了這樣的教學(xué)目標：①在感知圓滾動過程中認識圓周上的點所經(jīng)過的路線，并能描述這種路線;②通過“滾圓法”“繞圓法”探索圓的周長，培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、分析、比較的能力;③深入理解圓周率的意義，感受、體驗圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)。這樣的教學(xué)目標設(shè)置，既關(guān)注了數(shù)學(xué)知識，更關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、智性實踐：從核心素養(yǎng)視角展開教學(xué)設(shè)計

理性思考是智性實踐的前提。只有對教學(xué)目標進行深度思考，才能展開有效的教學(xué)設(shè)計。如果說教學(xué)目標是一種規(guī)劃，那么教學(xué)設(shè)計就是構(gòu)建藍圖 [3]。核心素養(yǎng)視野下的教學(xué)設(shè)計是基于教學(xué)目標的，是為了學(xué)生發(fā)展的，是指向?qū)W生、借助學(xué)生、成全學(xué)生的。從教學(xué)目標出發(fā)，遵循學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，在學(xué)生原有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上展開。通過教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”，從而建構(gòu)學(xué)生可能性學(xué)習。

1. 在“數(shù)學(xué)實驗”中形成學(xué)法

①看一看：課件出示學(xué)生生活中圓形物體中的圓，比如圓鏡的鑲邊框，讓學(xué)生感知圓的周長，也就是一周邊線的長度。

②摸一摸：教師出示學(xué)生已學(xué)圖形，要求學(xué)生指出它們的周長。在此基礎(chǔ)上出示圓形，同樣要求學(xué)生指出周長。在比畫過程中，學(xué)生能感受、體驗到已學(xué)圖形的周長（直線）和圓形周長（曲線）的聯(lián)系和區(qū)別。

③測一測：這些圖形的周長怎樣測量呢？已學(xué)的直線圖形的周長可以運用直尺直接測量，而圓形的周長是曲線，又應(yīng)怎樣測量呢？從而激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究，從而導(dǎo)引出“滾圓法”和“繞圓法”。

通過數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生已學(xué)會了測量圓的周長。通過測量，學(xué)生能深刻感受、體驗到圓是一種曲線圖形，領(lǐng)悟到“化曲為直”的思想方法。

2. 在“圓的軌跡”中激發(fā)沖突

對于教學(xué)來說，測量圓的周長不是目的，而是探究圓周率的手段。在數(shù)學(xué)實驗中，有學(xué)生會形成這樣的認知，即對于任何一個圓，都可以運用測量的方法求得周長。教學(xué)中，筆者設(shè)置了這樣的環(huán)節(jié)：

1. 轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：用一個細的繩子系住重物，然后甩動重物，形成一個圓形的軌跡。

2. 想一想：對于軌跡圓，如何“測量”出其周長呢？什么決定圓的周長的長短？

3. 猜一猜：探究圓的周長和直徑的關(guān)系，或者探究圓的周長和半徑的關(guān)系。

4. 算一算：圓的周長和直徑的商。

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生計算圓的周長和直徑的比值一定會產(chǎn)生不一致。具體而言，這是由于兩方面的原因：其一是由于學(xué)生測量工具、測量材料、觀察等主觀性因素的影響;其二是由于圓周率π本身就是一個無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），這就從根本上決定了學(xué)生計算圓的周長和直徑的比值不是一個確定的數(shù)。面對不一致，教師不是被動回避，而是正面引導(dǎo)，讓學(xué)生深度思考：為什么圓的周長和直徑的比值是一個不確定的數(shù)。如此，不僅提升學(xué)生的操作技能，而且有助于激發(fā)學(xué)生思考。

3. 在“數(shù)據(jù)思辨”中建構(gòu)知識

教學(xué)中，筆者設(shè)置了這樣的一個環(huán)節(jié)，就是讓學(xué)生對每個小組計算的圓的周長和直徑的比值進行研討。

問題1：圓的周長與直徑之間有沒有倍數(shù)關(guān)系？

問題2：如果有倍數(shù)關(guān)系，為什么會各不相同？如果沒有倍數(shù)關(guān)系，為什么又會接近某一個數(shù)值？

通過這樣的思辨，讓學(xué)生認識到圓的周長和直徑之間有著明確的倍數(shù)關(guān)系，但是這種倍數(shù)關(guān)系不同于以前的整數(shù)倍、小數(shù)倍，而是不同的數(shù)，從而讓學(xué)生感受、體驗圓周率的存在。

4. 在“歷史回望”中清晰認知

在學(xué)生感受到圓的周長和直徑的比值的存在后，筆者運用多媒體課件向?qū)W生介紹圓周率，從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)求真精神。比如向?qū)W生介紹《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”說法，向?qū)W生介紹劉徽的“割圓術(shù)”，向?qū)W生介紹祖沖之對圓周率的探索，向?qū)W生介紹英國數(shù)學(xué)家瓊斯用π來表示圓周率的故事，向?qū)W生介紹德國數(shù)學(xué)家朗伯證明圓周率π是一個無理數(shù)的故事，向?qū)W生介紹德國數(shù)學(xué)家林德曼證明圓周率是一種超越數(shù)的故事，向?qū)W生介紹現(xiàn)代計算機已經(jīng)將圓周率計算精確到小數(shù)點后十萬億位，等等。

三、理性思考：從核心素養(yǎng)視角促發(fā)教學(xué)反思

對于小學(xué)生來說，圓周率知識屬于一種“超驗性”知識，但卻可以通過經(jīng)驗性猜想、驗證、探究等活動，讓學(xué)生觸摸到圓周率內(nèi)核、靈魂。著眼于“圓周率”這樣的學(xué)科本體性知識，教師完全可以運用“單刀直入”式的教學(xué)方式，在學(xué)生測量、計算基礎(chǔ)上告訴。但這樣的教學(xué)，不利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括主動質(zhì)疑、理性思辨、深度探究等能力，對此學(xué)生不得不向教師妥協(xié)。而引導(dǎo)學(xué)生對圓周率知識進行深度探究，讓學(xué)生經(jīng)歷人類探索知識的歷程，重走人類探究圓周率的關(guān)鍵之路，就能提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) [4]。

學(xué)科核心素養(yǎng)至少呈現(xiàn)為三種形態(tài)，即“結(jié)果形態(tài)”“過程形態(tài)”和“價值形態(tài)”。從結(jié)果上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是由事實性知識、概念性知識以及方法性知識、價值性知識等構(gòu)成的一種“層級結(jié)構(gòu)” [5]。就《圓的周長》這一課的教學(xué)而言，認識圓周長、認識圓周率π都是一種事實性知識，而探究圓的周長、計算圓的周長和直徑的比值等是一種方法性知識，如何運用圓周長公式進行計算的知識則屬于一種價值性知識;從過程上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是由事實性知識、概念性知識以及方法性知識、價值性知識等組成的“順序結(jié)構(gòu)”，比如從“數(shù)學(xué)實驗”到“認知沖突”，從“數(shù)據(jù)思辨”到“歷史回望”，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習是一個逐步提升、深化的過程。比如對于圓的周長與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系進行思辨，就具有一種問題價值，正是通過思辨圓的周長和直徑之間的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生才能感悟到圓周率的真諦，即圓周率既是客觀存在的，其小數(shù)部分的數(shù)的出現(xiàn)又是沒有規(guī)律的。而運用軌跡圓喚起學(xué)生對圓的周長與直徑關(guān)系、圓的周長與半徑關(guān)系的猜想，就具有很深的價值旨趣，它讓學(xué)生明確了為什么要探究圓的周長與直徑之間的關(guān)系;從價值上看，學(xué)科核心素養(yǎng)是事實性知識、概念性知識以及方法性知識、價值性知識組成的“層核結(jié)構(gòu)”，其中以探究圓周率為載體，讓學(xué)生形成“極限思想”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的內(nèi)核，這個內(nèi)核具有包攝性、遷移性，是一種“高觀點”“大觀念”“深思想”，這些觀點、觀念、思想等就是學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它們是超越數(shù)學(xué)事實性知識的。

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)包括學(xué)科事實概念、學(xué)科思想方法以及學(xué)科價值觀念等。從某種意義上說，從學(xué)科本體知識到核心素養(yǎng)的演變、轉(zhuǎn)化，其根本旨趣就在于讓數(shù)學(xué)教學(xué)超越傳統(tǒng)的“雙基”的桎梏 [6]，用學(xué)科思想或?qū)W科價值觀來引領(lǐng)教學(xué)，從學(xué)科思想和學(xué)科價值觀角度來設(shè)計教學(xué)或者說來引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)活動。在這個過程中，教師要超越“冰冷的本體性知識”，激活學(xué)生“火熱的數(shù)學(xué)思考” [7]。在數(shù)學(xué)本體性知識被重新發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑、批判和運思過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)悄然生成！

參考文獻：

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[2] ?龔怡祖. 學(xué)科的內(nèi)在建構(gòu)路徑與知識運行機制[J]. 教育研究， 2013（9）.

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[4] ?鄭毓信. “數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”之我見[J]. 教育視界，2016（8）.

[5] ?殷容儀. 循序漸進的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017（1）.

[6] ?郭思樂. 改革核心：課程與教學(xué)的再造[J]. 人民教育，2015（4）.

[7] ?鐘啟泉. 教學(xué)方法：概念的詮釋[J]. 教育研究，2017（1）.