聚焦問題“題眼” 調(diào)控解題方向
—— 以一道橢圓三角形面積問題的解題研究為例

吳燕梅

(江蘇省海門中學(xué) 226100)

在平時的高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中，我們不可避免會引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一系列研究，每個問題都有其考查的意圖.如果抓住問題的要害，即“題眼”，順藤摸瓜，進(jìn)而對解題方向給出合適的調(diào)控，不僅會收獲各種解法，同時會建立不同的思維方式，提升學(xué)生圍繞題的本質(zhì)去探究解題的能力.本文以一道解析幾何問題為例，拋磚引玉.

一、問題呈現(xiàn)

一種畫橢圓的工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P，Q兩點．若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

二、問題分析

因為直線l與橢圓相切，聯(lián)立方程：

不妨記點P(x1,y1),Q(x2,y2)，

當(dāng)k=0時，S△POQ=8；

綜上，S△POQ面積最小值為8．

思路2面積割補(bǔ)法

當(dāng)k=0時，S△POQ=8，故S△POQ面積最小值為8．

點評圖形面積(尤其是不規(guī)則圖形)通過分割法轉(zhuǎn)化為有特殊關(guān)系的圖形面積之和，可以簡化計算；這題當(dāng)中隨直線變化，交點P,Q可能位于x軸同側(cè)，所以S△POQ=|S△POM-S△QOM|，結(jié)果同法2分析．

點評這題解法思路，學(xué)生是通過平時作業(yè)或練習(xí)中處理過類似的面積問題，通過聯(lián)想遷移，進(jìn)而構(gòu)建固定的數(shù)學(xué)模型，為簡化化簡工作提供了很好的思路．(下面是前期練習(xí)中出現(xiàn)的問題(1)，證明可以獨(dú)立嘗試多種解法．)

聯(lián)想已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A,B和C,D，設(shè)△AOC的面積為S．

(3)設(shè)l1與l2的斜率之積為m，求m的值，使得無論l1與l2如何變動，面積S保持不變．

思路4巧用橢圓切線方程，調(diào)控切線表示．

思路5發(fā)現(xiàn)定值關(guān)系，調(diào)控最值計算．

點評解析幾何中涉及最值問題，往往會結(jié)合題中條件找到定量關(guān)系(定值)，從而為利用基本不等式研究最值創(chuàng)造條件，本題這種解法學(xué)生也容易在平時解決的問題中類比聯(lián)想找到.