張春新

【摘要】從概念表征的視角分析“分數(shù)的初步認識”這一內(nèi)容，眾多的教學設計都存在忽視表征的多元、發(fā)展層次、忽略表征間的轉換與轉譯、表征的全面等傾向，這些傾向將為學生進一步理解分數(shù)的意義埋下障礙。鑒于此，本課從多元表征的多向表達、逐步抽象、自覺轉換、整體聯(lián)系中引導學生逐步認識分數(shù)，這樣順應兒童的學習心理的發(fā)展，讓兒童學習充滿生長的力量，從而使學生的核心素養(yǎng)得到真正培養(yǎng)。

【關鍵詞】多元表征 生長 核心素養(yǎng)

鄭毓信教授在《新數(shù)學教育哲學》一書中認為概念的心理表征在大多數(shù)情況下并非相應的形式定義，而是由多個成分組成的復合體，包括心智圖像、對其性質的認識與有關過程的記憶等。也就是說，“數(shù)學表征”是指用某種形式將數(shù)學概念或關系表達出來的一個過程。就學生關于抽象數(shù)學概念的表征而言，具有兩大特點：一是分散性和不一致性，在學生關于數(shù)學概念的表征中，各種成分往往沒有構成一個有機的整體，以至于很大程度上被看成同一概念的不同心理表征，在它們之間更是經(jīng)常存在一定的矛盾和沖突。二是具有僵滯性。學生往往不善于在心理表征的不同側面（或者說，不同的心理表征）之間做出轉換。

因此他認為，基于學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學概念教學，應當努力幫助學生建立抽象數(shù)學概念的適當表征，由“單一表征”過渡到“多元表征”。理解概念的關鍵在于將數(shù)學概念的抽象定義的含義轉換成易于學生理解和運用的適當?shù)男睦肀硐?。學生通過內(nèi)化概念的多種表征并與已有的內(nèi)在表征的相互轉換，以此促進或影響學生的數(shù)學理解，進而促進兒童數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

鑒于表征在學習過程中的重要意義，從兒童有效概念表征形成的視角分析“分數(shù)的初步認識”這一內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)眾多的教學設計與實施都存在忽視表征的多元、發(fā)展層次，忽略表征間的轉換與轉譯、表征的全面等傾向，這些傾向將為學生進一步理解分數(shù)的意義埋下潛在障礙。兒童不能多角度地理解概念的本質內(nèi)涵，就談不上數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文擬從概念表征的視角談談筆者基于兒童數(shù)學核心素養(yǎng)的“分數(shù)的初步認識”教學的一些嘗試。

一、在多元表征的多向表達中，初步感受分數(shù)特征

眾多“分數(shù)的初步認識”的教學設計是建立在學生沒有接觸過分數(shù)的基礎上設計的。但是，盡管分數(shù)是個復雜的概念，學生還是具備豐富的前概念的。其實，有些學生在學習分數(shù)之前已經(jīng)接觸過分數(shù)了，有的是看課本上的，有的是聽爸爸媽媽說的，還有的是課外書籍上接觸到的……我思考，與其一部分學生粗略模糊地知道，不如讓所有學生都課前先學，讓學生課前先感知分數(shù)，帶著自己對分數(shù)的初步理解在課上交流、碰撞、提升……那么，怎樣把學生對分數(shù)的初步理解用外在的方式表征出來，以了解學生的理解程度呢？針對三年級學生的年齡特點、學習特征，我設置了這樣的課前學習單：

不同的表征可以提供不同的信息，支持不同的認知建構過程，如果學生表征形式過于單一，則會影響他們對數(shù)學的深度加工，進而影響后續(xù)學習。學生個體的表征是有差異性的，這就需要我們在數(shù)學學習中，重視對學生表征形式的展示和交流，讓學生在形成自我表征特點的基礎上，能夠積極吸納他人的表征形式，并在今后的學習中嘗試運用，提升表征的豐富性。

二、在多元表征的逐步抽象中，初步建立分數(shù)模型

外在個體單一的表征在交流討論、互相學習的過程中逐步豐富起來。多元化的表征豐富了學生的視野，在此基礎上，還需要引導學生深入思考，對多元化的表征進行分析比較、抽象概括，找出蘊含在豐富表征后面的數(shù)學本質，促使學生進行深度思考，提升表征的層次。

三、在多元表征的自覺轉換中，逐漸內(nèi)化分數(shù)認識

基于數(shù)學表征在數(shù)學學習中的交流和認知的作用，萊旭將布魯納的分類發(fā)展為五種，即書面（文字）符號、口頭語言（口語符號）、操作性模型（模式）、圖形（圖像）、實物（實際生活情境），并強調，它們之間不一定存在先后的發(fā)展順序，主要應重視它們之間的轉換與相互影響，因為這種轉換與影響對學生的概念形成和理解有重要意義，體現(xiàn)了邏輯思維與非邏輯思維的互補。

……

學生在進行分數(shù)比較的過程中，已經(jīng)自覺地將符號化表征轉換為圖形表征，并通過圖形表征的形象性幫助思考分數(shù)大小，在此基礎上又自覺地轉換為符號表征確定大小。在這一過程中，學生已經(jīng)能在符號化表征和圖形表征之間自覺自如地轉換，并通過自覺轉換靈活地解決了問題，兩種轉換已經(jīng)水乳交融。轉換與轉譯的過程，既有助于學生在兩種表征內(nèi)在的、必然的聯(lián)系中靈活地解決問題，對幾分之一之間的關系理解得更為深刻，又促進了他們形象思維、直覺思維、邏輯思維的發(fā)展。

四、在多元表征的整體聯(lián)系中，完善認知結構

學生在學習分數(shù)之前，學習的是整數(shù)，在整數(shù)的世界里，學生對數(shù)的整體表征是這樣的：0，1，2，3，4……也就是說1后面是2，2后面是3……有了分數(shù)以后，數(shù)的結構發(fā)生了變化，這時應及時地擴充學生已有的數(shù)的表征，在分數(shù)與整數(shù)表征的整體聯(lián)系中，進一步完善學生大腦中關于數(shù)的認知結構，使得學生對數(shù)的表征更全面。

師：原來我們數(shù)數(shù)，0后面是1，1后面是2，現(xiàn)在0后面是1嗎？

生：不是?，F(xiàn)在0和1之間有了許多分數(shù)。

生：那么1和2、2和3之間是不是也有許多分數(shù)？

師：是的，后面我們會認識許許多多新的分數(shù)。

生：我知道了，今天我們學的分數(shù)都比0大、比1小，后面我們還會學習大于1的分數(shù)。

在這一環(huán)節(jié)中，分數(shù)的表征和整數(shù)的表征有機結合，給學生很好的整體性表征和結構化思維，學生原有的認知結構得到及時擴充，更加完整，更加系統(tǒng)，更加精細。在整體表征分數(shù)和整數(shù)時，再進一步將整體的符號表征轉換為圖形表征，這時的圖形表征由原先“率”的表征轉換為“量”的表征，角度自然地轉換，又提高了一個層次，變?yōu)榉謹?shù)、整數(shù)有機結合的整體的圖形表征，學生在生動形象的圖形表征中感受到數(shù)逐漸變小，與整體符號表征融為一體，促進了學生對整體表征的進一步感受和理解。在此基礎上，學生進一步思考“0和1之間有許多分數(shù)，1和2、2和3之間也有許多分數(shù)嗎”，激發(fā)繼續(xù)學習分數(shù)的興趣。

總之，在學習“認識分數(shù)”的過程中，順應學生的學習心理，學生經(jīng)歷了概念表征的逐步豐富、抽象、內(nèi)化、完善，對分數(shù)的理解逐步深入，認知結構進一步擴充，學生的數(shù)學學習真正發(fā)生了，這時的數(shù)學學習充滿了生長的力量，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)在其中得到培養(yǎng)。

【參考文獻】

鄭毓信.新數(shù)學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2001.