洪建龍

[摘? ?要]以“三角形的內(nèi)角和”的教學為例，先引導(dǎo)學生回顧泰勒斯的基本拼圖方法、挑戰(zhàn)泰勒斯拼圖方法，在此基礎(chǔ)上提高難度，引導(dǎo)學生繼續(xù)挑戰(zhàn)，從而讓學生自主探索與發(fā)現(xiàn)，多角度和多樣化地解決問題，實現(xiàn)知識的自我建構(gòu)，掌握科學研究的方法，形成實事求是的科學探究精神，同時感受數(shù)學文化的魅力.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學文化;教學目標;三角形的內(nèi)角和

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）20-0022-02

“三角形的內(nèi)角和”是人教版教材八年級上冊第十一單元的內(nèi)容，屬于“空間與圖形”的范疇，是在學生已經(jīng)掌握了三角形的穩(wěn)定性和三角形的三邊關(guān)系相關(guān)知識后對三角形的進一步研究，主要驗證“三角形的內(nèi)角和等于180°.教材中安排學生對不同形狀、大小的三角形進行度量，再讓學生運用拼、折、剪等方法及通過觀察、猜想、實驗、驗證等數(shù)學活動，探索發(fā)現(xiàn)三角形的又一特性——三角形的內(nèi)角和等于 180°.學生在探索過程中體驗了發(fā)現(xiàn)的樂趣，發(fā)展了推理能力，感受到了數(shù)學文化的魅力，增強了學好數(shù)學的信心;學生在動手獲取知識的過程中，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識、探索精神和實踐能力.采用探究式教學，可讓學生在開放的學習過程中，自主進行探索與發(fā)現(xiàn)，多角度和多樣化地解決問題，從而實現(xiàn)知識的自我建構(gòu)，掌握科學研究的方法，形成實事求是的科學探究精神.

一、 回顧泰勒斯的基本拼圖方法，了解定理起源

回顧泰勒斯最基本的拼圖方法，了解發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的起源.

方法1：準備六個全等的三角形，利用它們動手拼圖，討論交流，得出拼圖結(jié)果.如圖1所示，三角形的內(nèi)角的頂點重合，并且頂角不重疊地拼在一塊，拼成一個周角（360°），三角形的每個頂角各出現(xiàn)兩次.則：

教師：大家很厲害！重新發(fā)現(xiàn)了古希臘數(shù)學家泰勒斯曾用過的方法.當年，泰勒斯就如大家一樣，用六個全等的三角形拼圖，拼成了一個周角，從而發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和為180°.大家還原泰勒斯的三角形拼圖方法.真是英雄所見略同.真的了不起！

二、 挑戰(zhàn)泰勒斯拼圖方法，掌握定理

針對泰勒斯用六個全等的三角形拼圖發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，教師向?qū)W生提出任務(wù)：挑戰(zhàn)泰勒斯拼圖方法.

教師：為了解釋三角形的內(nèi)角和為180°，泰勒斯用上六個全等的三角形，實在是太多了，如果用三個同樣的三角形拼圖，大家能完成嗎？

全體學生積極響應(yīng)，大家使出渾身解數(shù)，苦苦思索，嘗試拼圖.忽然，有學生發(fā)現(xiàn)，圖1（a）去掉上面一半，剩下部分表明三個同樣的三角形照樣能拼得三個內(nèi)角的和為180° .于是學生嘗試應(yīng)用三個全等的三角形進行拼圖，如圖2、3、4、5，得出精彩的結(jié)果.教師一一展示學生的拼圖作品.

如圖2、3、4、5，三角形的內(nèi)角頂點重合，并且頂角不重疊地拼在一塊，拼成的圖形中，三角形的每個頂角各出現(xiàn)一次，剛好擺成一平角（180°），所以 ∠A+∠B+∠C=180°.

教師：數(shù)學家泰勒斯曾用六個全等的三角形去拼圖，而你們只用三個全等的三角形拼圖就能說明三角形內(nèi)角和定理，真是青出于藍而勝于藍！

教師要求學生繼續(xù)觀察圖2、3、4、5，思考圖3、4、5中有什么相等.

學生通過討論得出：圖形中有角相等，并且還是內(nèi)錯角，由此得到平行線.圖3、4、5提示：過點A作輔助線DE平行BC，利用內(nèi)錯角相等，從而把角B、C移到上面而構(gòu)成一個平角，不難得到三角形的內(nèi)角和定理.

教師：利用三個全等的三角形把三個內(nèi)角拼成一平角，實現(xiàn)拼圖解讀三角形內(nèi)角和為180°.我們找到的這種拼圖法，也非常簡潔，它最早由古希臘數(shù)學家泰勒斯發(fā)現(xiàn).

點評：利用三個全等的三角形去拼圖已經(jīng)給學生機會去進行數(shù)學創(chuàng)新，體驗創(chuàng)新;并且還進一步讓學生去發(fā)現(xiàn)證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線方法，同時，也給學生作輔助線提供了一個基石，開闊了學生的眼界，豐富了三角形內(nèi)角和的內(nèi)涵.

三、提高難度，繼續(xù)挑戰(zhàn)

泰勒斯用三個全等的三角形進行拼圖去解釋三角形內(nèi)角和定理，其實數(shù)學家帕斯卡少年時只用一個三角形就說明了三角形內(nèi)角和定理.教師利用這個案例激發(fā)學生思考的熱情，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，加深學生對三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握.

教師：泰勒斯用六個或三個全等的三角形拼圖，你們能只用一個三角形說明三角形的內(nèi)角和為180°嗎？

教師的提議立即得到學生的響應(yīng)，學生紛紛思考、討論起來，有的學生說沒辦法拼圖，有的學生看到別的同學將三角形紙片折來折去，于是得到啟發(fā)：既然無法拼圖，那就進行折紙.于是，就有了如下創(chuàng)新：

方法1：如圖6的三角形，把上面的角沿虛線橫折，使它的點落到底邊上，再將剩下的兩個角橫折過來，使三個角正好拼在一起，這樣三個角就組成了一個平角，所以可得出結(jié)論：三角形的內(nèi)角和是 180°.

方法2：如圖7，作三角形三個內(nèi)角的角平分線，交于一點O，將三角形的三個頂點對準交點O折疊，折過來得到三個角A、B、C，還有三個空白部分，正是三個角∠A、∠B、∠C的對頂角，大小正好等于∠A、∠B、∠C，則有2∠A、2∠B、2∠C剛好圍成一個周角，即2∠A+2∠B+2∠C=360°，于是? ∠A+∠B+∠C=180°.

教師：大家的方法非常新穎.不過，這兩種方法，帕斯卡在12歲時早已發(fā)現(xiàn).他的父親得知他利用對稱巧妙進行拼圖，獨立地獲得三角形內(nèi)角和定理時，激動不已，當即解除對他數(shù)學學習的禁令，讓他可以閱讀任何數(shù)學書籍.自然，后來帕斯卡成為法國著名的數(shù)學家、物理學家、哲學家.盡管你們是重新發(fā)現(xiàn)帕斯卡的方法，但你們也算創(chuàng)造性地運用了這一方法，獨立地發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和定理，非常了不起！

教師：還有別的辦法嗎？

學生又給出了方法3.

方法3：取△ABC兩邊AB、AC的中點D、E，如圖8，過中點D、E作第三邊的垂線，并沿垂線剪下，得兩個三角形，把這兩個三角形依圖形補上，得一正方形（如圖9）.三角形的三個內(nèi)角剛好拼成一平角.于是? ∠A+∠B+∠C=180°，說明三角形的內(nèi)角和等于180°.

點評：剪三角形將三個內(nèi)角拼成一平角，方法仍然巧妙，開闊了學生的視野.由三個全等的三角形拼圖到只用一個三角形，同樣能說明三角形內(nèi)角和定理，是一個大挑戰(zhàn)，但學生仍然創(chuàng)造性地解決了問題，這對于培養(yǎng)學生“直觀想象”核心素養(yǎng)、發(fā)展學生創(chuàng)新思維具有極高的價值.

四、 挑戰(zhàn)帕斯卡，不拼也不折

由六個全等的三角形、三個全等的三角形拼圖，再到只有一個三角形在拼、折中發(fā)現(xiàn)、解釋三角形內(nèi)角和定理，難度越來越大，但問題解決得越來越精彩.教師提出問題：若不折、不拼還能發(fā)現(xiàn)、解釋三角形內(nèi)角和定理嗎？比如，旋轉(zhuǎn)一支筆，能發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理嗎？ 許多學生感到很疑惑，用一支筆如何能說明三角形內(nèi)角和為180°？他們用筆比畫著，絞盡腦汁，師生共同關(guān)注，一起交流，最終比畫出三角形內(nèi)角和定理.

方法：如圖10，學生將BC上的筆的筆尖指向點C，繞B點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度B，與BA方向一致，筆平移到筆端與點A重合，繞BA上的筆尖點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度A，與AC重合，筆平移到筆端與點C重合，繞此點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度C，筆尖指向點B，與CB重合，與剛開始的筆尖指向點C比較，筆已轉(zhuǎn)過180°，恰好是三角形三內(nèi)角的和，這樣說明了三角形內(nèi)角和定理.

教師：同學們做出了德國數(shù)學家提波特的精彩作法.1809年，德國數(shù)學家提波特利用旋轉(zhuǎn)的方法證明了三角形內(nèi)角和定理.如圖10，將AB所在的直線[xy]繞A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度A，到AC所在直線[x′y′]，將[x′y′]繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度C，到BC所在直線[x″y″]，最后[x″y″]繞B沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度B，到AB所在直線[x?y?]，從[xy]到[x?y?]，總共轉(zhuǎn)過180°.

點評：三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)、解釋，方法巧妙，精彩紛呈，只要指點得當，學生就能得出同數(shù)學家一樣的創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn).回憶數(shù)學家精彩的發(fā)現(xiàn)、巧妙的思想、經(jīng)典的定理，讓師生體驗數(shù)學的巧妙，深刻地理解知識，感受數(shù)學文化的魅力.

新課標注重學生三維目標的培養(yǎng)，在這里，要求學生用自己的方法進行驗證，把知識的學習和情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)融為一體，無疑有效地培養(yǎng)了學生的科學態(tài)度.拼圖探究是課程改革所倡導(dǎo)的一種學習方式，利于學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)，把學習的時空還給學生，讓學生通過量、折、拼、剪、擺等操作活動理解和掌握三角形內(nèi)角和定理，同時有效培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

（特約編輯? ? 安? ?平）