賈彬 孫丹丹

【摘?要】“素?cái)?shù)與合數(shù)”是分解素因數(shù)的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生一般能夠依據(jù)定義對(duì)素?cái)?shù)與合數(shù)做出判定，但對(duì)于為什么要研究素?cái)?shù)以及研究素?cái)?shù)有何意義，他們并不清楚。為此，文章從HPM視角進(jìn)行“素?cái)?shù)與合數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在豐富學(xué)生“素?cái)?shù)與合數(shù)”的概念意象，讓學(xué)生知道知識(shí)的來(lái)源和發(fā)展，加深對(duì)素?cái)?shù)意義的理解，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】HPM;素?cái)?shù)與合數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

【作者簡(jiǎn)介】賈彬，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究;孫丹丹，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

一、引言

數(shù)是人類(lèi)從具體的事物中抽象出共同的性質(zhì)后逐漸形成的，正如英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素（B.Russell）所說(shuō)：“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時(shí)，數(shù)學(xué)就誕生了?！盵1]從歷史相似性的角度來(lái)看，學(xué)生形成各種數(shù)的概念需要一定的時(shí)間從生活的各個(gè)方面去體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)數(shù)的內(nèi)涵，包括素?cái)?shù)與合數(shù)。

“素?cái)?shù)與合數(shù)”是滬教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第一章“數(shù)的整除”中第二節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)因數(shù)和倍數(shù)的內(nèi)容，知道如何求正整數(shù)的因數(shù)。教材通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生尋找并比較1—14正整數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)，給出素?cái)?shù)與合數(shù)的定義，并指出1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，進(jìn)而將正整數(shù)分為1、素?cái)?shù)與合數(shù)三類(lèi)，最后引導(dǎo)學(xué)生基于定義判斷各正整數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，并指出查素?cái)?shù)表也是判斷100以內(nèi)的正整數(shù)是否為素?cái)?shù)的方法之一。

“素?cái)?shù)與合數(shù)”是分解素因數(shù)的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生一般能夠依據(jù)定義對(duì)素?cái)?shù)與合數(shù)做出判定，但素?cái)?shù)與合數(shù)留給他們的印象往往只是干巴巴的定義與判定，對(duì)于為什么要研究素?cái)?shù)以及研究素?cái)?shù)有何意義，他們并不清楚。根據(jù)素?cái)?shù)的定義，學(xué)生雖然可以對(duì)1和2是否是素?cái)?shù)進(jìn)行判定，但這與學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)不甚相符，需要教師做適當(dāng)說(shuō)明。教材正文和章尾的閱讀材料均介紹了素?cái)?shù)表，素?cái)?shù)表除了是一堆數(shù)字的集合，其背后有何文化內(nèi)涵，學(xué)生并不了解。此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“因數(shù)和倍數(shù)”，并且能夠從“形”的角度理解這些知識(shí)。那么，學(xué)生除了可以從“數(shù)”的角度理解素?cái)?shù)，是否也可以從“形”的角度理解素?cái)?shù)呢？

基于以上問(wèn)題，本文從HPM視角進(jìn)行“素?cái)?shù)與合數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在豐富學(xué)生“素?cái)?shù)與合數(shù)”的概念意象，讓學(xué)生知道知識(shí)的來(lái)源和發(fā)展，加深對(duì)素?cái)?shù)意義的理解，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。具體教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)。

（1）通過(guò)數(shù)學(xué)史，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度理解素?cái)?shù)、合數(shù)的意義，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

（2）知道正整數(shù)的分類(lèi)，會(huì)判斷除1以外的正整數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù);

（3）會(huì)用埃拉托色尼篩法尋找100以內(nèi)正整數(shù)中的素?cái)?shù)。

二、歷史素材及解讀

在古希臘，基于菲洛勞斯（Philolaus）的著作，斯珀西波斯（Speusippus）在摘錄中區(qū)分了素?cái)?shù)和合數(shù)。其中，素?cái)?shù)被稱為不能合成的數(shù)，合數(shù)則被稱為能合成的數(shù)[2]72-74。尼可馬科斯（Nicomachus）、塞翁（Theon）也提到素?cái)?shù)為不能合成的數(shù)。歐幾里得（Euclid）將素?cái)?shù)定義為“僅能被一個(gè)單位量盡的數(shù)”，將合數(shù)定義為“可以被某數(shù)量盡的數(shù)”[2]72-74。塞翁對(duì)素?cái)?shù)的定義與歐幾里得相似，認(rèn)為素?cái)?shù)是一個(gè)“不能被其他數(shù)，只能被單位量盡的數(shù)”[3]284-285。尼可馬科斯稱素?cái)?shù)為“基本的”，楊布里科斯（Iamblichus）進(jìn)一步對(duì)此進(jìn)行詮釋，素?cái)?shù)作為基礎(chǔ)，其他數(shù)可以是它的倍數(shù)，它卻只能是單位的集合[3]284-285。西馬里達(dá)斯（Thymaridas）稱素?cái)?shù)為“直線的”，原因是它只能陳列成一個(gè)維度[2]72-74，塞翁也以“線性的”作為素?cái)?shù)替代性術(shù)語(yǔ)。

中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭與英國(guó)漢學(xué)家偉烈亞力（A.Wylie）合譯了《幾何原本》后9卷（7—15卷），在第7卷中將“11”定義為“數(shù)根者唯一能度而他數(shù)不能度也”，數(shù)根就是素?cái)?shù)的原始譯名[4]。1872年李善蘭撰《考數(shù)根法》，考數(shù)根法的目的是辨別一個(gè)自然數(shù)是不是素?cái)?shù)。中國(guó)數(shù)學(xué)家鄒伯奇著《乘除捷法》，將素?cái)?shù)稱為純數(shù)，合數(shù)稱為雜數(shù)[5]136。

歷史上的中外數(shù)學(xué)家分別賦予了素?cái)?shù)不同的名稱和描述，但對(duì)素?cái)?shù)的普遍描述都是“素?cái)?shù)是只能被單位量盡，而不能被其他數(shù)量盡的數(shù)”。也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為素?cái)?shù)是不能合成的數(shù)，即素?cái)?shù)不能被除單位外的其他數(shù)合成，這里的單位是指1，單位1在那時(shí)常不被視為是一個(gè)數(shù)，純數(shù)的得名也可從這個(gè)角度進(jìn)行理解?！傲勘M”“合成”其實(shí)是除法的樸素表達(dá)，因而那些描述與現(xiàn)在素?cái)?shù)定義中的因子是契合的，只是當(dāng)時(shí)沒(méi)有考慮用數(shù)字本身量盡自己，但這似乎沒(méi)有多大的意義。尼可馬科斯和楊布里科斯認(rèn)為，“素?cái)?shù)只能被單位1量盡，不能被其他數(shù)量盡，有了素?cái)?shù)以后，其他數(shù)就可以被素?cái)?shù)量盡”。這一說(shuō)法討論了素?cái)?shù)及可被素?cái)?shù)量盡的數(shù)的關(guān)系，暗含素?cái)?shù)是整數(shù)的乘法構(gòu)造單位，因此素?cái)?shù)被稱為是基本的數(shù)，數(shù)根的得名可以從這個(gè)角度進(jìn)行理解。除了從“數(shù)”的角度看素?cái)?shù)，稱素?cái)?shù)為“線性的”則是從形的角度看素?cái)?shù)，這是畢達(dá)哥拉斯形數(shù)理論的延續(xù)，當(dāng)用石塊或籌碼來(lái)表示數(shù)字、度量數(shù)字時(shí)，素?cái)?shù)是“線性的”便顯而易見(jiàn)。

有關(guān)第一個(gè)素?cái)?shù)，歷史上也有很多討論。剛開(kāi)始人們沒(méi)有將2看為素?cái)?shù)，甚至不將其看為數(shù)，但是亞里士多德（Aristotle）將2看是唯一的偶素?cái)?shù)。像亞里士多德一樣，歐幾里得也將2看為素?cái)?shù)[2]72-74。亞里士多德不把1看為素?cái)?shù)，因?yàn)樗J(rèn)為1是單位，單位不是數(shù)，只是數(shù)的開(kāi)始[3]284-285。因?yàn)?不被認(rèn)為是數(shù)，所以亞里士多德也說(shuō)，素?cái)?shù)不能被任何數(shù)量盡。尼可馬科斯認(rèn)為，3是第一個(gè)素?cái)?shù)，因?yàn)樗財(cái)?shù)是一類(lèi)特殊的奇數(shù)，所以2被排除在素?cái)?shù)之外[3]284-285。歷史上的種種說(shuō)法，啟示我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注意區(qū)分奇、偶、素、合。

如上所言，因?yàn)闅v史上很長(zhǎng)一段時(shí)間里，1不被視為數(shù)，而是數(shù)的起源，所以1不可能是素?cái)?shù)，而且素?cái)?shù)與合數(shù)的分類(lèi)最早源于是否只被單位1量盡，所討論的素?cái)?shù)與合數(shù)自然不會(huì)包括單位1，這是1不是素?cái)?shù)的原因之一[6]。整數(shù)的很多特性可以追溯到其素因子的特性，所以我們可以將問(wèn)題分而解之。從這個(gè)方面說(shuō)，1是不起作用的，就如a=a·1=a·1·1=……不能為有關(guān)問(wèn)題a的解決提供更多幫助。而任何一個(gè)大于1的整數(shù)都能唯一地分解成素?cái)?shù)的乘積，即算術(shù)基本定理，這表明素?cái)?shù)對(duì)于整數(shù)研究的重要意義。早在2500多年前，歐幾里得的《幾何原本》中關(guān)于整數(shù)的素因數(shù)分解思想就有所體現(xiàn)，但它存在性和惟一性的證明是由19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）完成的。

歷史上的數(shù)學(xué)家為什么會(huì)研究素?cái)?shù)？古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張萬(wàn)物皆數(shù)，因而正整數(shù)成為該學(xué)派的重要研究對(duì)象之一，數(shù)的分類(lèi)首先被探討。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)古希臘數(shù)學(xué)家對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行了深入研究。中算家認(rèn)識(shí)素?cái)?shù)起源于運(yùn)算，一些乘除捷法需要先進(jìn)行分解因數(shù)，這是導(dǎo)致中算家認(rèn)識(shí)素?cái)?shù)的一條途徑，另一條途徑是化整數(shù)為兩兩互素的算法[5]136。

素?cái)?shù)的雙重性——重要而無(wú)規(guī)律，自古至今吸引了大量數(shù)學(xué)愛(ài)好者不斷關(guān)注和挑戰(zhàn)，從諸如梅森素?cái)?shù)、費(fèi)馬素?cái)?shù)等各種有趣的素?cái)?shù)到古老的素?cái)?shù)測(cè)定方法——埃拉托色尼篩法，從尋找可以計(jì)算出所有素?cái)?shù)的公式到今天尚未解決的有關(guān)素?cái)?shù)的著名猜想——哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想，素?cái)?shù)的秘密讓全世界數(shù)學(xué)家樂(lè)此不疲，躍躍欲試。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

學(xué)生在課前已通過(guò)閱讀教材和觀看微視頻的方式對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了預(yù)習(xí)，知道了素?cái)?shù)和合數(shù)的概念，并嘗試用“點(diǎn)形”表示素?cái)?shù)。在此基礎(chǔ)上，研究者的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程如下。

（一）從“數(shù)”的角度領(lǐng)悟素?cái)?shù)與合數(shù)

1概念初探

師：根據(jù)預(yù)習(xí)內(nèi)容，請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)什么是素?cái)?shù)，什么是合數(shù)。

生1：一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這個(gè)正整數(shù)就是素?cái)?shù);如果它還有除了1和它本身之外的因數(shù)，這個(gè)正整數(shù)就是合數(shù)。

師：除了從正整數(shù)的因數(shù)角度理解素?cái)?shù)與合數(shù)，你們還能從其他角度來(lái)理解嗎？

生2：如果一個(gè)正整數(shù)只有兩個(gè)因數(shù)，那么它就是素?cái)?shù);如果有兩個(gè)以上的因數(shù)，那么它就是合數(shù)。

師：原來(lái)我們也可以通過(guò)數(shù)因數(shù)個(gè)數(shù)的方法來(lái)判斷一個(gè)正整數(shù)是否是素?cái)?shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】一個(gè)正整數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，除了可以從它的因數(shù)角度判斷，也可以從它的因數(shù)個(gè)數(shù)判斷。

2以名解意

師：你們還知道素?cái)?shù)的其他名稱嗎？

生1：素?cái)?shù)還可以叫做質(zhì)數(shù)。

師：確實(shí)，素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)。除此之外，素?cái)?shù)還有其他名稱嗎？

（學(xué)生互相看看，都搖起了頭。教師呈現(xiàn)兩段文字。）

李善蘭與偉烈亞力共同翻譯了《幾何原本》的后9卷（7—15卷），第7卷定義“11”時(shí)說(shuō)：“數(shù)根者唯一能度而他數(shù)不能度也。”數(shù)根就是素?cái)?shù)的原始譯名。（嚴(yán)敦杰：《中算家的素?cái)?shù)論》）

數(shù)學(xué)家鄒伯奇著的《乘除捷法》中提到的純數(shù)即素?cái)?shù)，雜數(shù)即合數(shù)。（劉鈍：《大哉言數(shù)》）

師：從以上兩段文字中，你們知道素?cái)?shù)還有哪些名稱？

生2：素?cái)?shù)還曾被稱為數(shù)根和純數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】素?cái)?shù)不同的名稱折射出素?cái)?shù)的性質(zhì)，樸素而深刻。教師通過(guò)對(duì)素?cái)?shù)不同名稱的簡(jiǎn)單介紹，加深了學(xué)生對(duì)素?cái)?shù)內(nèi)涵的理解，同時(shí)也體會(huì)了數(shù)學(xué)概念名稱背后的創(chuàng)造性。

3規(guī)律探尋

師：根據(jù)目前我們所學(xué)的知識(shí)，你能寫(xiě)出正整數(shù)的幾種分類(lèi)方法？請(qǐng)分別列出。

（展示學(xué)生回答：正整數(shù)可以分為合數(shù)、素?cái)?shù)與1，也可以分為奇數(shù)與偶數(shù)。教師讓學(xué)生判斷1—20之間正整數(shù)的奇性、偶性、素性、合性，以表格形式呈現(xiàn)學(xué)生判斷結(jié)果，如表1所示。）

師：觀察表1，你們有何發(fā)現(xiàn)？

生1：20以內(nèi)的奇數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)一樣。

生2：1是奇數(shù)，但既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。

生3：偶數(shù)中，除2以外，都是合數(shù)。

生4：素?cái)?shù)中，除2以外，都是奇數(shù)。

生5：合數(shù)除了1和它自身以外，還有其他的因數(shù)。

生6：一個(gè)正整數(shù)，除1以外，不是素?cái)?shù)就是合數(shù);一個(gè)正整數(shù)，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)上建立與舊知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生感悟可以從不同角度理解正整數(shù)的構(gòu)成。教師通過(guò)一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，首先讓學(xué)生根據(jù)素?cái)?shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)的概念獨(dú)立判斷1—20之間正整數(shù)的奇性、偶性、素性、合性，然后在此基礎(chǔ)上觀察表格，讓學(xué)生在小組討論的過(guò)程中自己探索、發(fā)現(xiàn)正整數(shù)的奇偶性與素合性之間的區(qū)別與聯(lián)系。

4“小題大做”

師：1為何既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)？

生1：因?yàn)?的因數(shù)只有1個(gè)，即它本身，而素?cái)?shù)要有兩個(gè)因數(shù)且只能有兩個(gè)因數(shù)，所以1不是素?cái)?shù)。同樣的道理，1也不是合數(shù)。

師：根據(jù)素?cái)?shù)與合數(shù)的概念判斷，確實(shí)如此。但是在數(shù)學(xué)發(fā)展早期，素?cái)?shù)和合數(shù)的概念并非如今天這樣清晰，對(duì)于1到底是不是素?cái)?shù)，最小的素?cái)?shù)到底是誰(shuí)，歷史上曾經(jīng)有過(guò)不同的聲音。古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為1不是素?cái)?shù)，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為1不是數(shù)，是單位，單位組成了數(shù)。對(duì)于2，亞里士多德將2看作是唯一的偶素?cái)?shù)，歐幾里得也將2看作素?cái)?shù)，但也有數(shù)學(xué)家不將2看作素?cái)?shù)，如古希臘數(shù)學(xué)家尼可馬科斯就認(rèn)為3是第一個(gè)素?cái)?shù)。

師：每一個(gè)概念和規(guī)定在發(fā)展中都經(jīng)歷了波折，最終的定義和規(guī)定是歷史發(fā)展的結(jié)果，都有其合理性。其實(shí)同學(xué)們學(xué)習(xí)的每一個(gè)知識(shí)都是有故事的，這些故事蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中多積累一些這樣的文化。

【設(shè)計(jì)意圖】這段介紹讓學(xué)生從歷史的角度理解“1為何不是素?cái)?shù)”“誰(shuí)是最小素?cái)?shù)”，激起學(xué)生對(duì)知識(shí)背后故事的好奇心。

（二）從“形”的角度理解素?cái)?shù)與合數(shù)

1遠(yuǎn)古萌芽

有人推測(cè)人類(lèi)很早以前就知道素?cái)?shù)了?，F(xiàn)藏于比利時(shí)皇家自然歷史博物館的兩塊骨頭，引起了考古學(xué)家的極大興趣。它們是從非洲剛果（金）愛(ài)德華湖畔一個(gè)叫伊珊郭的漁村發(fā)掘出來(lái)的，經(jīng)現(xiàn)代科學(xué)方法鑒定，這兩塊骨頭是公元前9000年到公元前6500年之間非洲人使用的骨具（見(jiàn)圖1）?？脊艑W(xué)家推測(cè)這是古代居民用來(lái)雕刻或書(shū)寫(xiě)的工具[7]。兩塊骨頭中出現(xiàn)了5，7，11，13，17，19一組順序的刻痕。最初，古人就是這樣用“形”來(lái)表示這些“素?cái)?shù)”的。

【設(shè)計(jì)意圖】這段素材一方面可以讓學(xué)生知道素?cái)?shù)的萌芽可能非常早，甚至早于數(shù)字的出現(xiàn)，另一方面也可以讓學(xué)生了解最初古人在表示數(shù)時(shí)是以“形”的方式呈現(xiàn)的。

2數(shù)形結(jié)合

師：素?cái)?shù)如果用畢達(dá)哥拉斯的“形數(shù)”來(lái)理解有何特征？合數(shù)呢？

生1：素?cái)?shù)用“形數(shù)”表達(dá)就是一條線，只能分成一行;合數(shù)可以分成幾行幾列（見(jiàn)圖2）。

生2：用畢達(dá)哥拉斯的“形數(shù)”來(lái)理解，素?cái)?shù)是此素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的點(diǎn)排成的一條線。

師：古希臘數(shù)學(xué)家西馬里達(dá)斯稱素?cái)?shù)為“直線的”，現(xiàn)在同學(xué)們知道原因了吧。

【設(shè)計(jì)意圖】從用“刻痕”表示素?cái)?shù)到用“點(diǎn)形”表示素?cái)?shù)，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，“形”可以配合“數(shù)”的理解。當(dāng)學(xué)生從“形數(shù)”的角度得到素?cái)?shù)是線性的，便與古代數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)到自己的學(xué)習(xí)與思考是在和古代數(shù)學(xué)家進(jìn)行跨時(shí)空的交流。

3尋找素?cái)?shù)

師：請(qǐng)小組合作，試找出不超過(guò)100的所有素?cái)?shù)，并說(shuō)說(shuō)你們是用什么方法找到的。

組1：先劃去除2以外的所有偶數(shù);第五列和最后一列除5以外，其他的數(shù)都是合數(shù)，將它們劃去;再斜著劃去除11以外的11的倍數(shù)（33，77，99）;再在剩下的數(shù)中劃去除3以外的3的倍數(shù)（9，21，27，39，51，57，63，69，81，87，93）;又在剩下的數(shù)中劃去除7以外的7的倍數(shù)（49，91）;最后再劃去1，剩下的數(shù)就都是素?cái)?shù)了（見(jiàn)圖3）。

組2：我們的方法和組1的基本一樣，就是順序有點(diǎn)不一樣。我們先劃去1，然后再劃去除2以外的偶數(shù)，再劃去除5以外的5的倍數(shù)，再劃去除3以外的3的倍數(shù)，再劃去除7以外的7的倍數(shù)，再劃去除11以外的11的倍數(shù)，剩下的就都是素?cái)?shù)了。

師：兩組尋找素?cái)?shù)的方法與2000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家、亞歷山大城圖書(shū)館館長(zhǎng)埃拉托色尼的方法一樣。為了找到從1到任意一個(gè)自然數(shù)之間的全部素?cái)?shù)，他把從4開(kāi)始的所有偶數(shù)下面畫(huà)一短橫，表示把這些數(shù)去掉;再把能被3整除的、下面沒(méi)畫(huà)短橫的數(shù)畫(huà)上短橫，這些數(shù)有9，15……接著在能被5整除的、下面沒(méi)畫(huà)短橫的數(shù)畫(huà)短橫，這樣的數(shù)有25，35……一直這樣做下去，最后得到一列下面沒(méi)畫(huà)短橫的數(shù)，這些數(shù)除1以外全都是素?cái)?shù)。后來(lái)人們把這樣尋找素?cái)?shù)的方法叫做埃拉托色尼篩法。這個(gè)方法像從沙子里篩石頭那樣，把素?cái)?shù)從自然數(shù)中篩出來(lái)，素?cái)?shù)表就是根據(jù)這個(gè)篩法原則編制出來(lái)的。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)尋找不超過(guò)100的正整數(shù)中的素?cái)?shù)，學(xué)生進(jìn)一步熟悉素?cái)?shù)與合數(shù)的判定，體會(huì)素?cái)?shù)與合數(shù)的內(nèi)涵。學(xué)生通過(guò)小組討論得到與古代數(shù)學(xué)家基本一致的素?cái)?shù)表制作方法，再次讓學(xué)生感受到只要勇于思考、認(rèn)真探索，他們也可以像數(shù)學(xué)家一樣做數(shù)學(xué)。

4課堂小結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們收獲了哪些知識(shí)？

生1：我知道了素?cái)?shù)的名稱還有質(zhì)數(shù)、數(shù)根、純數(shù)。

生2：我會(huì)尋找不超過(guò)100的正整數(shù)的素?cái)?shù)了，先劃去1，再依次劃去2，3，5，7，11的2倍及2倍以上的倍數(shù)，剩下的數(shù)就是素?cái)?shù)了。

生3：素?cái)?shù)和前面學(xué)習(xí)的數(shù)一樣，也能通過(guò)圖形來(lái)表示，當(dāng)用“點(diǎn)形”表示素?cái)?shù)時(shí)是一條直線。

四、學(xué)生反饋

課后，針對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，研究者對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查。

對(duì)于“根據(jù)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，正整數(shù)可以如何分類(lèi)？”的問(wèn)題，學(xué)生回答的正確率達(dá)到95?。

對(duì)于本節(jié)課印象最深的環(huán)節(jié)，學(xué)生提到的有“畢達(dá)哥拉斯的‘形數(shù)’”“尋找素?cái)?shù)的方法”“素?cái)?shù)的名稱”“1”“兩塊骨頭”等，其中提到最多的是“尋找素?cái)?shù)的方法——埃拉托色尼篩法”。印象最深的原因很多，一部分學(xué)生認(rèn)為在尋找素?cái)?shù)時(shí)，與全班同學(xué)一起討論、研究、分析，最后得出正確答案很有成就感;一部分學(xué)生覺(jué)得自己總結(jié)出了與古人相似的方法很開(kāi)心。對(duì)于“畢達(dá)哥拉斯的‘形數(shù)’”，學(xué)生印象最深的原因是素?cái)?shù)可以通過(guò)畫(huà)畫(huà)來(lái)表示，也可以用形狀分出素?cái)?shù)與合數(shù)。

對(duì)于“學(xué)完這節(jié)課，你是否有疑問(wèn)沒(méi)解決或產(chǎn)生了新疑問(wèn)？如果有，疑問(wèn)是什么？”的問(wèn)題，40?的學(xué)生表示“聽(tīng)明白了，沒(méi)有什么疑問(wèn)了”，30?的學(xué)生在數(shù)學(xué)史的基礎(chǔ)上提出了新的疑問(wèn)，如“為什么古時(shí)候就有人發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)，他們是通過(guò)什么想到的？為什么素?cái)?shù)也被稱為純數(shù)，它‘純’在哪里？為什么合數(shù)也叫雜數(shù)，它‘雜’在哪里？在以前，為什么1被認(rèn)為是單位而不是數(shù)？”另外30?的學(xué)生出于對(duì)素?cái)?shù)與合數(shù)的好奇對(duì)其進(jìn)一步思考，提出了一些問(wèn)題，如“怎樣借助‘形數(shù)’得到答案？到底有多少個(gè)素?cái)?shù)？素?cái)?shù)有什么規(guī)律嗎？為什么不把0和負(fù)數(shù)納入素?cái)?shù)與合數(shù)？”等等。

從學(xué)生的問(wèn)卷反饋可知，課堂上介紹的每一段數(shù)學(xué)史、所融入的人文元素，都給學(xué)生留下了深刻的印象，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動(dòng)深入思考，達(dá)成相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。

五、結(jié)語(yǔ)

（一）探究之樂(lè)與能力之助

學(xué)生自己用“點(diǎn)形”把正整數(shù)表示出來(lái)，探尋素?cái)?shù)與合數(shù)“點(diǎn)形”的不同特色，可以增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的能力。學(xué)生根據(jù)素?cái)?shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)的概念獨(dú)立判斷1—20之間的正整數(shù)的素性、合性、奇性及偶性，并在此基礎(chǔ)上探索、發(fā)現(xiàn)正整數(shù)的奇偶性與素合性之間的區(qū)別與聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力。尋找1—100正整數(shù)內(nèi)的素?cái)?shù)時(shí)，各小組展示的尋找素?cái)?shù)的方法充分體現(xiàn)了他們的探究過(guò)程。當(dāng)學(xué)生成功尋找出1—100內(nèi)的素?cái)?shù)時(shí)，他們的內(nèi)心充滿了快樂(lè)，進(jìn)而增強(qiáng)了學(xué)生分類(lèi)處理數(shù)據(jù)的能力。

（二）方法之美

學(xué)生除了可以從“數(shù)”的角度理解素?cái)?shù)，還可以從“形”的角度解讀素?cái)?shù)，當(dāng)用畢達(dá)哥拉斯的“形數(shù)”來(lái)表示素?cái)?shù)時(shí)，素?cái)?shù)只能是“直線的”。從古人用石子計(jì)數(shù)，到用石子研究數(shù)，將“數(shù)”用“形”的形式表現(xiàn)出來(lái)，是人類(lèi)最淳樸的數(shù)形結(jié)合的思想。就素?cái)?shù)而言，“形數(shù)”的表達(dá)可以使素?cái)?shù)更為直觀，同時(shí)也可以輔助學(xué)生對(duì)素?cái)?shù)內(nèi)涵的理解。

（三）文化之魅

古希臘的素?cái)?shù)、不能合成的數(shù)、“線型的數(shù)”，中國(guó)的“數(shù)根”和“純數(shù)”，非洲出土的帶有刻痕的骨頭，這些都表明素?cái)?shù)在不同的文明中醞釀和發(fā)展，在不同的文明間傳播，既有共同點(diǎn)又各有自己的特色。不同時(shí)空、不同地區(qū)的素?cái)?shù)觀有利于學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)豐滿而鮮活的素?cái)?shù)概念意向，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的多樣性。

（四）德育之效

即使像素?cái)?shù)、合數(shù)這樣看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念也有它的前世今生，數(shù)學(xué)史的融入可以讓學(xué)生看到概念背后的創(chuàng)造過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。當(dāng)學(xué)生知道自己尋找1—100內(nèi)素?cái)?shù)的方法竟然與2000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家、亞歷山大城圖書(shū)館館長(zhǎng)埃拉托色尼的方法基本一樣時(shí)，探究的滿足感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信就會(huì)油然而生。關(guān)于第一個(gè)素?cái)?shù)，學(xué)生對(duì)如今教材的解釋可能還存在困惑，歷史上也曾經(jīng)有過(guò)不同聲音，與學(xué)生直觀感受相契合。這一方面可以降低學(xué)生的挫敗感，另一方面不同觀點(diǎn)的碰撞也啟示學(xué)生要敢于思考、善于思考，學(xué)會(huì)質(zhì)疑，學(xué)會(huì)激發(fā)自己的疑問(wèn)，讓疑問(wèn)帶動(dòng)興趣、引導(dǎo)探究。

HPM視角下的“素?cái)?shù)與合數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生掌握素?cái)?shù)與合數(shù)概念的同時(shí)，感受到素?cái)?shù)和合數(shù)不只是兩個(gè)干巴巴的概念，而是有溫度的、有文化的。判別素?cái)?shù)與合數(shù)的基本技能訓(xùn)練當(dāng)然重要，若沒(méi)有過(guò)硬的技能，任何境界都無(wú)從談起。但是只有技能訓(xùn)練是不夠的，“學(xué)如弓弩，才如箭簇，識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠”，除了“學(xué)”的基本技能做底蘊(yùn)，還要有數(shù)學(xué)能力和才華做鋒芒，有見(jiàn)識(shí)來(lái)引領(lǐng)前行。研究者希望通過(guò)貫穿課堂的一段段素?cái)?shù)與合數(shù)的歷史，能夠激起學(xué)生思考，最終成就有靈魂的教育。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡天新.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史[M].北京：中信出版集團(tuán)，2017.

[2]HEATH T L. Ahistory of greek mathematics[M].Oxford：The Clarendon Press，1921.

[3]HEATH T L.The thirteen books of euclids elements （Vol. 2） [M]. Cambridge：TheUniversity Press，1908.

[4]嚴(yán)敦杰.中算家的素?cái)?shù)論（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1954（5）：6-10.

[5]劉鈍.大哉言數(shù)[M].沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，1997.

[6]LAROCHE P. et al. Why is the number one not prime？[EB/OL]（2018-12-7）.http：//primes.utm.edu/notes/faq/one.html.

[7]談祥伯.樂(lè)在其中的數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.