焦梓榮

【摘要】“直觀想象”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在幾何教學(xué)中。解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的經(jīng)典內(nèi)容，是學(xué)生“直觀想象”培養(yǎng)的重要內(nèi)容，在教學(xué)中要注意四個(gè)方面的表現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】直觀想象；解析幾何；數(shù)形結(jié)合

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路，現(xiàn)階段高中教材里與之相關(guān)的主要內(nèi)容是立體幾何與解析幾何。

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的經(jīng)典內(nèi)容，是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)的重要內(nèi)容，它包括：畫圖，對(duì)圖形的觀察，利用圖形特征表述問(wèn)題，利用圖形特征理解問(wèn)題，利用圖形特征探究問(wèn)題，建立直觀的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題等；借助圓錐曲線圖像掌握它們的基本性質(zhì)，及其各個(gè)基本量、公式的幾何意義；培養(yǎng)畫圖、用圖思考和探尋簡(jiǎn)化運(yùn)算的好習(xí)慣，是培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”的核心內(nèi)容之一。

以下就四個(gè)方面來(lái)談?wù)劇爸庇^想象”在解析幾何中的體現(xiàn)：

一、利用圖形特征表述問(wèn)題

圓錐曲線的定義是對(duì)其圖形特征的核心表述，常用于解決與長(zhǎng)度有關(guān)的求值和最值問(wèn)題。

已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為（ ）

A.10 B.12

C.16 D.3

解：由題意可得a=4，

由橢圓的定義可得：，

∴由圖可知△ABF1的周長(zhǎng)為：.故選：C.

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，圖像的特征可以表述為，是個(gè)數(shù)形結(jié)合的典型題目。

二、利用圖形特征理解問(wèn)題

圓錐曲線的圖像是其性質(zhì)的集中表現(xiàn)，利用好圖形特征來(lái)理解相關(guān)最值問(wèn)題，往往比較容易找到取得最值得臨界點(diǎn)，從而快速的解決問(wèn)題。

已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（1，3），若點(diǎn)Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最大值為（ ）

A. B.17

C.30 D.

解：如圖，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F'，

則的周長(zhǎng)

由三角形的三邊關(guān)系可得

當(dāng)在PF'的延長(zhǎng)線與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)

∴，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用橢圓的定義求解最值問(wèn)題，涉及到了“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，需要用三角形的三邊關(guān)系找到取得最值的臨界點(diǎn)，從而解決問(wèn)題。

三、利用圖形特征探究問(wèn)題

靈活地利用圖形的特征探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法，得到相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，起到事半功倍的效果。

已知，。動(dòng)圓 M與外切，與內(nèi)切，求動(dòng)圓M的圓心E軌跡方程.

解：由題意得：

兩式相加得：

∴圓心E是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓

∴可得a=3，c=1∴b2=8

∴動(dòng)圓 M的圓心E軌跡方程為.

點(diǎn)評(píng)：本題考查定義法求軌跡方程的方法，利用圓與圓外切和內(nèi)切的幾何性質(zhì)，得到橢圓的定義，從而求出圓心E軌跡方程。

四、構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題

在實(shí)際的數(shù)學(xué)情境中，構(gòu)建相關(guān)的直觀模型，更加容易發(fā)現(xiàn)形與形、形與數(shù)之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AD=AB，E為CC1中點(diǎn)，P在對(duì)角面BB1D1D所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP與AC成30°角，則點(diǎn)P軌跡為 （ ）

A.圓 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

解：如圖，取AA1中點(diǎn)F連接EF，記 EF∩面BB1D1D=0，連接PO，易得PO⊥EF， ∠OEP=30°

∴在Rt△POE中可得

∴點(diǎn) 的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為的圓

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的軌跡問(wèn)題，解題的思路是把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中的幾何問(wèn)題，從圖中求出點(diǎn) 的數(shù)量關(guān)系，利用圓的定義得到的軌跡是圓，考察了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

“數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴于推理?！?在“直觀想象”的培養(yǎng)中，要善于利用圖形的幾何特征，利用“形”與“形”“數(shù)”與“形”的相互關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形的關(guān)鍵特征，利用這些關(guān)鍵特征處理好相關(guān)問(wèn)題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中積累自己的“直觀想象”經(jīng)驗(yàn)，“悟”出門道。

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