陸高平 劉東升

摘要：在江蘇省第三屆鄉(xiāng)村教師培育站優(yōu)秀課評(píng)比活動(dòng)中，14位參賽教師執(zhí)教了蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《圓》（第一課時(shí)）。在聽(tīng)評(píng)這些課的基礎(chǔ)上，通過(guò)“課題確定（提出問(wèn)題）→課堂觀察點(diǎn)統(tǒng)計(jì)（數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)）→課堂觀察思考（分析問(wèn)題）→教學(xué)再設(shè)計(jì)（解決問(wèn)題）”的流程，展現(xiàn)深度研課的一般步驟，同時(shí)提供一些聽(tīng)評(píng)課方面問(wèn)題研究的方法。

關(guān)鍵詞：省級(jí)賽課教學(xué)設(shè)計(jì)圓

最近我們有幸參加了江蘇省第三屆鄉(xiāng)村教師培育站優(yōu)秀課評(píng)比活動(dòng)，并擔(dān)任初中數(shù)學(xué)組評(píng)委工作。本次賽課課題為蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《圓》（第一課時(shí)）。根據(jù)賽課規(guī)則，參賽教師在上課前2小時(shí)才拿到課題，并在無(wú)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下獨(dú)立封閉備課，之后借班（八年級(jí)）上一節(jié)完整的課（40分鐘）。我們分到兩組一共聽(tīng)了14節(jié)課，通過(guò)設(shè)置課堂觀察點(diǎn)，借助數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，進(jìn)行對(duì)比分析，明確評(píng)課指向，對(duì)這節(jié)課的教學(xué)也有了更深的認(rèn)識(shí)。本文試圖通過(guò)“課題確定（提出問(wèn)題）→課堂觀察點(diǎn)統(tǒng)計(jì)（數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)）→課堂觀察思考（分析問(wèn)題）→教學(xué)再設(shè)計(jì)（解決問(wèn)題）”的流程，展現(xiàn)深度研課的一般步驟，也提供一些聽(tīng)評(píng)課方面問(wèn)題研究的方法，希望能引發(fā)大家的思考。

一、賽課選題設(shè)想

由于比賽承辦學(xué)校（揚(yáng)州市江都區(qū)第二中學(xué)）八年級(jí)學(xué)生已學(xué)完本學(xué)期內(nèi)容，所以在九年級(jí)教材中選擇課題。評(píng)委組選定九年級(jí)上冊(cè)的《圓》（第一課時(shí)），主要是基于以下思考：首先，《圓》是獨(dú)立章節(jié)，與前面的知識(shí)聯(lián)系較少，能夠使比賽相對(duì)客觀、公正;其次，圓是初中平面幾何中最后接觸的非直線圖形，很多直線圖形的性質(zhì)都能通過(guò)圓得到統(tǒng)領(lǐng)和“再認(rèn)識(shí)”;再次，《圓》的第一課時(shí)涉及很多零碎的概念，是學(xué)生小學(xué)時(shí)接觸過(guò)的，又滲透了高中的集合思想，需要處理好“重而不復(fù)”，做好銜接教學(xué)。最后，幾何課往往對(duì)教師的畫圖、數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）轉(zhuǎn)換以及教學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、課件制作等能力要求較高，相對(duì)來(lái)說(shuō)可以較為全面地反映選手的數(shù)學(xué)理解水平與教學(xué)基本功。

二、課堂觀察統(tǒng)計(jì)

我們?cè)O(shè)置了以下觀察點(diǎn)，對(duì)14節(jié)課進(jìn)行了觀察統(tǒng)計(jì)。

（一）課堂導(dǎo)入

課堂導(dǎo)入主要有三種方式：第一種，觀察生活中的物體，尋找圓的存在，有7節(jié);第二種，利用《墨經(jīng)》一書中的“圓，一中同長(zhǎng)也”，通過(guò)設(shè)置懸念引入，有4節(jié);第三種，開(kāi)門見(jiàn)山直接出示“圓”的標(biāo)題，回顧三角形、四邊形的內(nèi)容后提及“圓”的學(xué)習(xí)，有3節(jié)。

（二）概念教學(xué)

概念教學(xué)主要有三種方式：第一種，讓學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，通過(guò)小組合作感悟圓的描述性定義與集合定義，有6節(jié);第二種，通過(guò)設(shè)置套圈游戲的情境，凸顯圓是由有一定規(guī)則的點(diǎn)組成的，有4節(jié);第三種，教師全程講解，師生互動(dòng)較少，學(xué)生思考較少，有4節(jié)。

（三）問(wèn)題設(shè)計(jì)

問(wèn)題設(shè)計(jì)可以從以下角度分類：第一，主干核心問(wèn)題在10個(gè)以下的有5節(jié)，其他大部分是“滿堂問(wèn)”;第二，問(wèn)題指向較為明確、追問(wèn)適時(shí)的有3節(jié);第三，問(wèn)題讓學(xué)生小組合作交流的有2節(jié);第四，及時(shí)反饋學(xué)生應(yīng)答表現(xiàn)的有3節(jié)，以全班鼓掌激勵(lì)為主。

（四）課堂總結(jié)

課堂總結(jié)主要有四種方式：第一種，以“你有哪些收獲？”引發(fā)學(xué)生回顧總結(jié)結(jié)尾，有6節(jié);第二種，以教師總結(jié)知識(shí)點(diǎn)、提煉方法結(jié)尾，有3節(jié);第三種，以展望“圓”的未來(lái)學(xué)習(xí)結(jié)尾，有3節(jié);第四種，未進(jìn)行課堂總結(jié)，有2節(jié)。

（五）板書設(shè)計(jì)

板書設(shè)計(jì)主要有以下幾種情況：第一種，隨意書寫，僅呈現(xiàn)知識(shí)，有3節(jié);第二種，無(wú)主次之分，有7節(jié);第三種，漸次生成的結(jié)構(gòu)化板書，有4節(jié)。

例如，圖1所示的板書設(shè)計(jì)向?qū)W生傳遞和滲透了幾何研究的“基本套路”——遇到一個(gè)陌生的幾何對(duì)象時(shí)，按怎樣的路徑、從哪些角度進(jìn)行研究;而圖2的板書設(shè)計(jì)則沒(méi)有邏輯性，缺少關(guān)聯(lián)性，只是將幾個(gè)詞拼湊在一起，并不恰當(dāng)。

圖1

圖2

除了上述觀察點(diǎn)之外，我們也觀察了參賽教師的教學(xué)立意、教學(xué)語(yǔ)言、應(yīng)答機(jī)智、課件制作等方面，相關(guān)內(nèi)容省略。

三、課堂觀察思考

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)理解，凸顯“本質(zhì)揭示”

上好數(shù)學(xué)課的關(guān)鍵是理解數(shù)學(xué)。這節(jié)課，教師首先要準(zhǔn)確把握?qǐng)A的本質(zhì)是什么。我們認(rèn)為，圓是由有一定規(guī)則的一個(gè)個(gè)點(diǎn)組成的封閉曲線圖形。例如，在課堂導(dǎo)入中，一些教師提問(wèn)生活中的圓，學(xué)生往往回答車輪、硬幣等。這些生活中的圖形更多的是圓柱或者圓面。這時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，強(qiáng)調(diào)圓弧與圓周。但是很遺憾，許多教師沒(méi)有這么做。這或許是因?yàn)榻處熥约簩?duì)從生活到數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程理解不到位。又如，揭示概念時(shí)，一些教師對(duì)圓的集合定義，只從正向的“滿足條件的點(diǎn)在圓上”進(jìn)行說(shuō)明，未從反向的“不滿足條件的點(diǎn)不在圓上”加以強(qiáng)調(diào)，從而對(duì)集合的純粹性和完備性滲透不夠。對(duì)此，可以通過(guò)回顧角平分線、線段垂直平分線的定理與逆定理來(lái)類比滲透，從而幫助學(xué)生更好地理解圓的集合定義。

（二）關(guān)注教學(xué)立意，凸顯“素養(yǎng)提升”

首先，教材無(wú)非是個(gè)“例子”，我們要“用教材教”，而不是“教教材”。對(duì)此，有2位教師全部照搬教材內(nèi)容，不考慮學(xué)生學(xué)情;另外有3位教師未突出本節(jié)課的核心知識(shí)，即圓的描述性定義與集合定義。其次，教學(xué)可以通過(guò)板塊化設(shè)計(jì)來(lái)更有整體感與層次感。對(duì)此，有教師設(shè)置了感受圓、認(rèn)識(shí)圓、理解圓、應(yīng)用圓、回顧圓等板塊，是較好的嘗試。再次，教學(xué)要以學(xué)生為主體。從上面的課堂觀察統(tǒng)計(jì)看出，仍有不少教師自己講得過(guò)多，讓學(xué)生講得太少，同時(shí)學(xué)生之間的互動(dòng)交流也較少。最后，盡管教學(xué)的是《圓》的第一課時(shí)，但是初三學(xué)生已經(jīng)具備一定的幾何說(shuō)理和邏輯思維能力，因此必要的說(shuō)理與證明是必需的，可以在講完圓的集合定義后，利用教材中習(xí)題部分的“矩形四個(gè)頂點(diǎn)是否在一個(gè)圓上”，讓學(xué)生進(jìn)行說(shuō)理與證明，從而既鞏固知識(shí)，又訓(xùn)練能力。但是，很多教師的教學(xué)都缺少必要的幾何說(shuō)理與邏輯思維訓(xùn)練。

（三）關(guān)注問(wèn)題主線，凸顯“問(wèn)題意識(shí)”

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟、思維的起點(diǎn)。在數(shù)學(xué)課堂上，以問(wèn)題為主線，驅(qū)動(dòng)學(xué)程，往往可以收到比較好的效果。首先，要關(guān)注問(wèn)題的指向性，避免指向性不明，造成學(xué)生茫然。對(duì)此，在概念教學(xué)中，許多教師設(shè)置的問(wèn)題過(guò)大，讓學(xué)生難以回答。其次，要關(guān)注問(wèn)題的層次性。有3節(jié)課上的所有問(wèn)題都在低層次思維上徘徊，缺少必要的梯度，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情有所削弱。再次，要關(guān)注問(wèn)題追問(wèn)的及時(shí)性與問(wèn)題評(píng)價(jià)的多樣性。好的問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)該是在幾個(gè)主問(wèn)題下進(jìn)行適時(shí)追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考;同時(shí)，對(duì)于回答得較好的學(xué)生，不能僅僅是同學(xué)掌聲鼓勵(lì)，還可以是教師口頭語(yǔ)言激勵(lì)、肢體語(yǔ)言暗示等。最后，要適時(shí)讓學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。對(duì)此，有教師讓學(xué)生展望后續(xù)將研究圓的哪些方面的知識(shí)，就是對(duì)“讓學(xué)生提出問(wèn)題”的嘗試。

（四）關(guān)注板書設(shè)計(jì)，凸顯“生成示范”

當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)化、無(wú)紙化教學(xué)是潮流、趨勢(shì)，但是也不能舍棄板書這一好傳統(tǒng)。板書的功能至少有以下幾點(diǎn)：第一，示范性。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?guī)范的解答和步驟必不可少。第二，生成性。示范性或許還可以通過(guò)PPT演示體現(xiàn)，但是對(duì)于生成性資源的獲取，板書的作用無(wú)可替代。第三，層次性。好的板書設(shè)計(jì)總是隨著教學(xué)開(kāi)展而漸次出現(xiàn)，同時(shí)利用不同顏色的筆跡形成區(qū)分，最后再以一定的線條與關(guān)鍵字組成結(jié)構(gòu)化體系，便于學(xué)生對(duì)知識(shí)形成整體印象，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。上文圖1所示的板書就是較好的示范。

四、教學(xué)再設(shè)計(jì)

（一）畫圓與定義

出示任務(wù)：已知線段PQ=2 cm，根據(jù)要求用圓規(guī)畫圓：

（1）以端點(diǎn)P為圓心，1 cm長(zhǎng)為半徑畫一個(gè)圓;

（2）以端點(diǎn)Q為圓心，1.5 cm長(zhǎng)為半徑畫一個(gè)圓。

教學(xué)組織：學(xué)生畫出第一個(gè)圓之后，教師引出圓的描述性定義（在同一平面內(nèi)，線段PA繞其固定的一個(gè)端點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A所形成的圖形稱為圓），并且講授圓的表示方法、要素（圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大?。W(xué)生畫出第二個(gè)圓（如圖3）之后，教師引導(dǎo)學(xué)生鞏固圓的定義，指出圓心和半徑。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)畫圖活動(dòng)改編自教材“嘗試與交流”題。將其提前到開(kāi)課階段，一方面是引出圓的定義，另一方面在后續(xù)題目講評(píng)時(shí)，可以回到這一情境，體現(xiàn)不同教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)聯(lián)與呼應(yīng)。有人會(huì)有疑惑：圓心是基于定點(diǎn)才有的，畫圖時(shí)已提前出現(xiàn)圓心，如何解釋？這點(diǎn)不必?fù)?dān)憂，因?yàn)閷W(xué)生在小學(xué)畫圓時(shí)就知道圓心、半徑是什么，而且七、八年級(jí)的一些基本作圖中已涉及圓心、半徑的概念。

（二）研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

教學(xué)組織：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3，先“擦”去一個(gè)圓（如圖4），重標(biāo)注字母，便于簡(jiǎn)化圖形與表示。

圖4

出示問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們指出點(diǎn)A、Q與圓O的位置關(guān)系，進(jìn)一步分析這些點(diǎn)與圓心的距離d，并與半徑r進(jìn)行比較。

教學(xué)組織：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，再指出圓內(nèi)部的點(diǎn)有什么特點(diǎn)，然后小結(jié)梳理出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)Q到圓心O的距離OQ=d，則有點(diǎn)Q在圓外d>r;點(diǎn)Q在圓上d=r;點(diǎn)Q在圓內(nèi)d

出示命題：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。

教學(xué)組織：讓學(xué)生判斷這個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出圓的位置與大小，體現(xiàn)“回到定義去解題”）。

同類再練：直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上嗎？

（三）從集合的角度定義圓

復(fù)習(xí)回顧：引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度看線段垂直平分線，發(fā)現(xiàn)線段垂直平分線上的點(diǎn)是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。

出示問(wèn)題：類似地，圓也可看成具有怎樣性質(zhì)的點(diǎn)的集合呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，歸納出圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。教師板書圓的集合定義。

適時(shí)追問(wèn)：圓內(nèi)部的點(diǎn)可以看成是怎樣的點(diǎn)的集合？圓外部的點(diǎn)可以看成是怎樣的點(diǎn)的集合？

鞏固訓(xùn)練：回到課始畫圓的情境（如圖3）。

（1）所畫圖中，到點(diǎn)P的距離等于1 cm且到點(diǎn)Q的距離等于1.5 cm的點(diǎn)有幾個(gè)？

（2）所畫圖中，到點(diǎn)P的距離小于或等于1 cm且到點(diǎn)Q的距離大于或等于1.5 cm的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形？在圖中將它表示出來(lái)。

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)既鞏固了圓的集合定義，又呼應(yīng)了課始的情境，強(qiáng)化了不同教學(xué)環(huán)節(jié)之間的互動(dòng)。

（四）小結(jié)與展望

提出問(wèn)題：這節(jié)課我們是怎樣研究圓的？

教學(xué)預(yù)設(shè)：定義、要素、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等。

提出問(wèn)題：你覺(jué)得教材編寫者在安排圓的后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)，還會(huì)給出哪些內(nèi)容？

教學(xué)預(yù)設(shè)：圓的更多相關(guān)要素（直徑、弦、弧、與圓有關(guān)的角等概念）、直線與圓的位置關(guān)系、與圓有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題等。教師在此基礎(chǔ)上完善“結(jié)構(gòu)化板書”（見(jiàn)上文圖1）。

*本次觀課活動(dòng)和課例研究得到江蘇省教師培訓(xùn)中心副主任徐伯均博士的關(guān)心和指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝忱！

參考文獻(xiàn)：

[1] 何明.追求邏輯連貫、生長(zhǎng)自然的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（3）.

[2] 劉東升.讓等腰三角形教學(xué)更有幾何味[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（1）.

[3] 劉東升.內(nèi)容簡(jiǎn)單的課如何“教活”“教深”——以《字母表示數(shù)》一課為例[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（10）.

[4] 劉東升.從幾何研究的基本方法出發(fā)——用“作圖”驅(qū)動(dòng)“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（6）.