謝姚平

[摘? 要] 文章是對《數(shù)學(xué)歸納法》一課觀摩過程和反思進(jìn)行的整理，簡述了課堂實(shí)錄，并結(jié)合課堂教學(xué)反推授課教師的基本設(shè)計(jì)意圖，最后還分享了作者的觀摩隨感.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)歸納法;教學(xué)實(shí)錄;觀摩隨感

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，如何將這一目標(biāo)體現(xiàn)在課堂教學(xué)中呢？這是一個值得數(shù)學(xué)教師值得廣泛關(guān)注的問題，近期筆者觀摩了一節(jié)題為《數(shù)學(xué)歸納法》的公開課，授課教師精心設(shè)計(jì)，充分匹配學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知和發(fā)展能力的同時，將課標(biāo)中有關(guān)素養(yǎng)的發(fā)展要求落在了實(shí)處，以下是筆者對課堂實(shí)錄的整理和相關(guān)思考.

[?]課堂實(shí)錄呈現(xiàn)

1. 課堂導(dǎo)入，引入課題

教師創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生建立不完全歸納法和完全歸納法的概念.

問題情境1：大林的爸爸一共有三個兒子，老大的名字叫“一毛”，老二的名字叫“二毛”，老三的名字叫什么？

有的學(xué)生脫口而出：老三的名字叫“三毛”. 很快就有學(xué)生反駁道：錯了，問題的開頭就說了是“大林的爸爸一共有三個兒子”，因此第三個孩子就叫“大林”. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生展開總結(jié)：如果只是針對部分對象進(jìn)行研究，并得出一般化的結(jié)論，這種方法就叫作“不完全歸納法”. 從上述的例子可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)前兩個兒子的名字即推測第三個兒子的名字，這顯然是不正確的答案.

問題情境2：現(xiàn)在有一積木袋子，里面一共有五塊積木，抽出第一塊是藍(lán)色的，抽出第二塊也是藍(lán)色的，請問：如何才可以驗(yàn)證積木袋子中積木都是藍(lán)色的呢？

有了剛才的“問題情境1”做鋪墊，這時學(xué)生都變得慎重了，他們給出答案：只要將袋子徹底打開，將每一塊積木都查驗(yàn)過去，就可以確認(rèn)是什么顏色了. 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：你們剛才的推理結(jié)論是建立在將所有的元素都考查過去，這種歸納方法是“完全歸納法”.

教師引導(dǎo)他們對上述兩個問題情境進(jìn)行總結(jié)，并得到結(jié)論：不完全歸納法所得到的結(jié)論不可靠，而完全歸納法的結(jié)論則是可靠的.

教師繼續(xù)提問：上述兩個問題都是與正整數(shù)相關(guān)的問題，結(jié)合兩個例子進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，如果要處理一個與此類似的問題，為了讓結(jié)果更加可靠一點(diǎn)，我們應(yīng)該采用哪個方法來進(jìn)行歸納呢？

學(xué)生紛紛答道：采用完全歸納法.

問題情境3：現(xiàn)有數(shù)列{an}，已知a1=1，an+1=（n=1，2，…），求（1）a2，a3，a4;（2）請猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式;（3）請驗(yàn)證你的猜想.

學(xué)生圍繞問題（1），很快得出結(jié)論：a2，a3，a4三項(xiàng)分別是，和;并且猜想本數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=. 猜想是否正確呢？學(xué)生陷入困境，因?yàn)閺膭偛诺膯栴}情境中，學(xué)生已經(jīng)明確不完全歸納法和完全歸納法結(jié)果的差別，而明顯現(xiàn)在的問題牽扯到無窮多項(xiàng)，不可能像剛才那么簡單地操作. 學(xué)生的思維陷入困境，一種對新知識、新方法的渴求情緒醞釀了起來.

設(shè)計(jì)意圖：上述導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師從一個腦筋急轉(zhuǎn)彎的故事入手，引入不完全歸納法和完全歸納法的討論，這樣的處理能夠有效地激活學(xué)生思維，活化對概念的認(rèn)識. 在相關(guān)概念已經(jīng)明確的前提下，教師再通過問題引入情境3，將學(xué)生已經(jīng)具備的數(shù)列知識和即將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法銜接起來，這是充分站立于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，引領(lǐng)學(xué)生向著新的研究領(lǐng)域出發(fā)展開探索.

2. 引導(dǎo)探究，突破難點(diǎn)

圍繞剛才的思維困境，教師繼續(xù)引導(dǎo)，幫助學(xué)生構(gòu)建新的思路，并實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)突破.

教師引導(dǎo)：剛才的數(shù)列顯然不能一項(xiàng)項(xiàng)都羅列出來進(jìn)行討論，那我們怎樣才能尋找到一項(xiàng)可靠的總結(jié)方式呢？

教師說罷，稍微停頓了片刻，讓學(xué)生思考了一會兒，這是一個緩沖過程，讓學(xué)生為即將展開的思考積蓄力量、醞釀情緒.

問題情境4：教師播放多米諾骨牌的視頻，并提問，怎樣才可以讓多米諾骨牌全部都倒下？

學(xué)生討論并總結(jié)：必須滿足兩個條件，條件一：第一張骨牌倒下;條件二：任意相鄰兩張牌，前一張牌的倒下都會帶著后一張牌倒下.

教師引導(dǎo)學(xué)生在多米諾骨牌的問題探究基礎(chǔ)上，展開探索：如何證明之前的數(shù)列問題呢？

學(xué)生開始討論，并形成認(rèn)識：①當(dāng)n=1時，由題意可得a1=1，猜想式成立;②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想式也成立，則ak=，那么當(dāng)n=k+1時，根據(jù)條件ak+1=及假設(shè)ak=，有ak+1===，因此猜想式在n=k+1時也成立. 由①②可以確定，對于一切正整數(shù)n，猜想都是成立的，即上述數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=.

教師引導(dǎo)學(xué)生展開總結(jié)：上述方法就是我們今天要研究的數(shù)學(xué)歸納法，請嘗試概括采用數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟.

學(xué)生嘗試總結(jié)：兩個基本步驟，第一步，證明當(dāng)n取第一個值n0（n0∈N*）時命題成立;第二步，假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時，命題也成立. 只要上述兩個步驟完成，即可判定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.

設(shè)計(jì)意圖：教師以多米諾骨牌的視頻為切入口，以此來對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和點(diǎn)撥，這樣的教學(xué)可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法形成更加形象的認(rèn)識. 須知，對學(xué)生來講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最大的難點(diǎn)就是問題的抽象性，我們指導(dǎo)學(xué)生化抽象為形象，能夠最大限度地降低知識和方法的理解難度，這有助于學(xué)生建立有關(guān)概念，也有助于他們更加高效地掌握相關(guān)方法.

3. 隨堂練習(xí)，鞏固認(rèn)識

教師列舉問題，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)歸納法的角度著手，積極開展應(yīng)用.

例題1：求證1+3+5+…+（2n-1）=n2.

基本思路：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=12=1，等式成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*）時，1+3+5+…+（2k-1）=k2，

那么1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）==（k+1）2，則當(dāng)n=k+1時也成立.

根據(jù)①和②，可知等式對任何n∈N*都成立.

當(dāng)學(xué)生完成例1的分析和處理后，教師要提醒學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析問題時務(wù)必注意，n=k+1的有關(guān)證明必須利用n=k的歸納假設(shè).

例題2：求證n3+5n（n∈N*）能被6 整除.

基本思路：①當(dāng)n=1時，13+5×1=6，能被6整除，命題正確;

②假設(shè)n=k時命題正確，即k3+5k能被6整除，所以當(dāng)n=k+1時，（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+5）=（k3+5k）+3k（k+1）+6.

因?yàn)閮蓚€連續(xù)的整數(shù)的乘積k（k+1）是偶數(shù)，所以3k（k+1）能被6整除.

所以（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即當(dāng)n=k+1時命題也正確.

根據(jù)①和②，可知命題對n∈N*都正確.

設(shè)計(jì)意圖：上述兩個例題都是數(shù)學(xué)歸納法最典型的問題，教師要給予學(xué)生充足的時間進(jìn)行思考，并讓學(xué)生到黑板上板演具體步驟，這樣的處理方便對學(xué)生進(jìn)行最精準(zhǔn)的糾正和指導(dǎo)，有助于學(xué)生對方法的理解和掌握.

[?]觀摩隨感和反思

關(guān)注學(xué)生的素養(yǎng)提升，那就要求所有的設(shè)計(jì)都應(yīng)該以學(xué)生為中心，本課的教學(xué)就充分體現(xiàn)到這一點(diǎn).

首先這一課重視了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)困難，在以往的教學(xué)中，很多教師忽視學(xué)生對方法提出緣由的教育，這無形之中就構(gòu)成了學(xué)生理解上的斷層，而在本課教學(xué)中教師由多米諾骨牌為情境，為學(xué)生搭建了一個相對形象的認(rèn)知平臺，通過類比的想法讓學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)歸納法的提出和相關(guān)操作步驟[1].

其次是有效關(guān)注學(xué)生的課堂參與度，在教學(xué)過程中，無論是基本概念的得出，還是數(shù)學(xué)歸納法操作步驟的總結(jié)，授課教師都安排學(xué)生來進(jìn)行探究，教師很好地充當(dāng)了啟發(fā)者和指導(dǎo)者的角色. 甚至是最后的練習(xí)題，教師也是讓學(xué)生思考處理后，由學(xué)生代表到前臺來展示和交流. 在這樣的課堂上，學(xué)生的參與度很高，也得到了成長機(jī)會.

最后是關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)中很關(guān)注三個方面的理解，即理解教材、理解學(xué)生、理解教學(xué)，要實(shí)現(xiàn)上述要求，就需要教師極力關(guān)注學(xué)生的思維特征[2]. 在本課教學(xué)中，教師經(jīng)常性地給予學(xué)生討論和表達(dá)，誘導(dǎo)學(xué)生將思維過程展示出來，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生暴露出思維上的缺陷和不足，也方便教師進(jìn)行針對性的幫扶和點(diǎn)撥，學(xué)生在這樣的課堂上能夠獲得更好的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 馬茂年，俞昕. 課堂教學(xué)回歸“數(shù)學(xué)化”的討論和分析——以高中“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（03）.

[2]? 何曉敏，寧連華. 基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化——以數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（22）.