創(chuàng)新題型這樣考

趙愛麗

類型一：設(shè)置“新定義”

“新定義”試題是指給出一個(gè)考生從未接觸過的新規(guī)定、新概念，要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的是考查考生的閱讀理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的品質(zhì).此類型問題可能以文字的形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式出現(xiàn)，要求考生要先準(zhǔn)確理解“新定義”的特點(diǎn)，再加以靈活運(yùn)用。特別提醒：“給什么，用什么”是運(yùn)用“新定義”解題的基本思路。

例1.(2018 屆河南鄭州一模)如果把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“三節(jié)棍體”，那么從長方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則這四個(gè)頂點(diǎn)是“三節(jié)棍體”的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為_____.

解析：從長方體ABCD-A1B1C1D1中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法有(種)，以A為其中一個(gè)頂點(diǎn)的四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有A-A1D1C1，A-A1B1C1，A-BB1C1，A-BCC1，A-DCC1，A-DD1C1，共6 個(gè)。

同理，以B，C，D，A1，B1，C1，D1為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三棱錐也各有6 個(gè)，但所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)2 次，所以四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有。

點(diǎn)評(píng)：本題以立體幾何知識(shí)為背景，考查古典概型概率計(jì)算公式，形式較為新穎。有利于考查考生的閱讀能力、審題能力和綜合應(yīng)用能力，其求解關(guān)鍵是正確理解新定義“三節(jié)棍體”，并根據(jù)長方體的對(duì)稱性，利用列舉法求解長方體中“三節(jié)棍體”的個(gè)數(shù)。

類型二：設(shè)置“新運(yùn)算”

“新運(yùn)算”是指在現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義的一種新的運(yùn)算，是一種特別設(shè)計(jì)的計(jì)算形式，它使用一些特殊的運(yùn)算符號(hào)，如“*”“?”“※”等，這些符號(hào)與四則運(yùn)算中的加減乘除符號(hào)是不一樣的?！靶逻\(yùn)算”類問題的情境一般比較陌生，求解時(shí)考生需要坦然面對(duì)，先準(zhǔn)確理解“新運(yùn)算”法則，再加以靈活運(yùn)用即可解決問題。特別注意：新定義的算式在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合運(yùn)用現(xiàn)有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算的。

例2.定義一種運(yùn)算“※”，對(duì)于任意n∈N*均滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)2※2017=1；(2)(2n+2) ※2017=(2n)※2017+3.則2018※2017=_______.

解析：設(shè)an=(2n)※2017，則由運(yùn)算性質(zhì)(1)知a1=1，由運(yùn)算性質(zhì)(2)知an+1=an+3，即an+1-an=3.

于是，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為3.

故2018※2017=(2×1009)※2017=a1009=1+1008×3＝3025.

點(diǎn)評(píng)：注意到(2n) ※2017 與

[2(n+1)]※2017((2n+2) ※ 2017)結(jié)構(gòu)相同，具體區(qū)別為前邊是“n”，后邊是“n+1”，于是，可將它們看作某一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，從而通過“換元”將不熟悉的“新運(yùn)算”問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列問題，這是求解本題的關(guān)鍵。

類型三：設(shè)置“新考查方向”

“新考查方向”試題是指試題考查的方式、方法與常規(guī)試題不同，此類試題設(shè)計(jì)新穎，注重對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的有效整合，側(cè)重考查考生的綜合運(yùn)用能力。此類型問題的設(shè)置充分體現(xiàn)了考綱要求——對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度；對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中的能力，從而檢測(cè)出考生的理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。

例3.已知三棱錐O-ABC，OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=OB=，OC＝1，P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)OP與平面ABC所成的角為x，OP=Y，則Y關(guān)于x的函數(shù)的圖像為( )

解析：設(shè)點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影為O′，連接OO′，OP，O′P，根據(jù)等體積思想得.

因?yàn)椤螼O′P=，所以O(shè)P=，即y=.易知當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A或點(diǎn)B位置時(shí)，x取得最小值，排除選項(xiàng)C，D.又在上，函數(shù)y=單調(diào)遞減且其圖像為光滑曲線，所以排除選項(xiàng)A，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題是立體幾何中線面角與函數(shù)圖像的綜合試題，形式新穎，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)等體積思想得到函數(shù)關(guān)系式，再靈活利用函數(shù)性質(zhì)排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。

創(chuàng)新型數(shù)學(xué)問題從形式上看很“新”，其提供的觀察材料和需要思考的問題異于常規(guī)試題，需要考生具有靈活、創(chuàng)新的思維能力，善于進(jìn)行發(fā)散性、求異性思考，尋找對(duì)材料內(nèi)涵的解釋和解決問題的辦法。此類問題考查的內(nèi)容都在考綱要求的范圍之內(nèi)，即使再新，也是在考生“力所能及”的范圍內(nèi)。只要擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以良好的心態(tài)坦然面對(duì)新情境，便可輕松破解。