肖海根

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，更要將其上升為建模思想. 數(shù)學(xué)教師要研究數(shù)學(xué)建模思想的形成途徑，并在建模過(guò)程中通過(guò)模型的運(yùn)用及用后反思，來(lái)幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)，進(jìn)而生成建模思想.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;建模思想

核心素養(yǎng)背景下，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)明確提出了數(shù)學(xué)建模這一因素，盡管這不是向初中學(xué)段提出的，但考慮到不同學(xué)段之間的教育思路具有連續(xù)性，且數(shù)學(xué)建模也一直是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，仍然是非常必要的. 早在國(guó)家推行素質(zhì)教育的時(shí)候，就有人做出了這樣的判斷：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)滲透建模思想，開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)能發(fā)揮重要作用，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革推進(jìn)素質(zhì)教育的一個(gè)突破口[1]. 而到了核心素養(yǎng)時(shí)代，數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)的重要性應(yīng)當(dāng)?shù)玫礁叱潭鹊拇_認(rèn).

數(shù)學(xué)建模思想形成的途徑及探究

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)建模是六要素之一，其重要性不言而喻. 但對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，將對(duì)數(shù)學(xué)建模的研究視角切換到學(xué)生身上時(shí)，實(shí)際上要關(guān)注的內(nèi)容較多，包括從學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)，到數(shù)學(xué)建模能力的提升，再到數(shù)學(xué)建模思想的形成等. 其中，意識(shí)培養(yǎng)是前提，能力培養(yǎng)是途徑，而思想培養(yǎng)是旨?xì)w，數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，統(tǒng)領(lǐng)著數(shù)學(xué)建模意識(shí)與能力的培養(yǎng). 對(duì)于教師而言，則要理清從數(shù)學(xué)建模到模型思想的嬗變，要從培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)并促進(jìn)其應(yīng)用的角度讓學(xué)生在實(shí)踐中逐步形成模型思想[2].

筆者在研究中，重點(diǎn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)建模思想的形成途徑進(jìn)行了探究，應(yīng)當(dāng)說(shuō)還是非常有收獲的. 總體而言，數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)過(guò)程，與數(shù)學(xué)建模過(guò)程是同步的，但這個(gè)過(guò)程中，教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)與評(píng)價(jià)非常重要. 在學(xué)生的建模過(guò)程中，教師通過(guò)對(duì)學(xué)生建模過(guò)程的提純、強(qiáng)化，必要時(shí)進(jìn)行顯性評(píng)價(jià)，是數(shù)學(xué)建模思想逐步形成的必要條件. 具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程大致是這樣的.

首先，面對(duì)問(wèn)題時(shí)形成數(shù)學(xué)建模的意識(shí). 這是數(shù)學(xué)建模的第一步，也是數(shù)學(xué)建模思想的萌芽. 通常情況下，我們強(qiáng)調(diào)某一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成，往往就是從意識(shí)培養(yǎng)開(kāi)始的. 很多實(shí)際問(wèn)題都是在數(shù)學(xué)抽象之后，與某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)形成聯(lián)系才能得到解決，而所謂形成聯(lián)系的過(guò)程，其實(shí)就是建模的第一步，只有知道要建立與哪個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的模型，才能知道用什么數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求解.

其次，在解決問(wèn)題時(shí)建立數(shù)學(xué)模型. 通常情況下，模型成熟的時(shí)候，就是問(wèn)題解決的時(shí)候，因此問(wèn)題解決的過(guò)程與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程客觀上是同步的. 當(dāng)然由于學(xué)生要梳理、書(shū)寫(xiě)問(wèn)題解決的過(guò)程，因此看起來(lái)問(wèn)題解決要滯后于數(shù)學(xué)建模，但從學(xué)習(xí)心理的角度，兩者同步是必然的. 當(dāng)然從具體的機(jī)制角度講，數(shù)學(xué)建模之初，學(xué)生需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象，以尋找恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?其次需要將問(wèn)題中的要素（已知與未知）滲透到模型中，使模型有解決問(wèn)題的功能.

再次，在問(wèn)題解決后的反思中強(qiáng)化模型認(rèn)識(shí). 問(wèn)題為什么能夠得到解決？需要學(xué)生學(xué)會(huì)反思解題過(guò)程，生成解題思路，充分認(rèn)識(shí)解題過(guò)程中模型所起到的關(guān)鍵作用. 此時(shí)教師有兩個(gè)選擇：一是幫學(xué)生梳理模型建立的思路及作用，但不提及數(shù)學(xué)建模概念;二是以數(shù)學(xué)建模這一概念統(tǒng)領(lǐng)解題思路，讓學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模在問(wèn)題解決的過(guò)程中所起到的作用. 具體采用哪一種，取決于學(xué)生的實(shí)際情況.

基于數(shù)學(xué)建模過(guò)程培養(yǎng)建模思想

建模思想無(wú)疑是在建模過(guò)程中形成的，如果說(shuō)建模思想是靈魂，那建模過(guò)程就是軀體，前者依附于后者之上，后者因?yàn)橛辛饲罢叨哂猩? 我們都知道，數(shù)學(xué)建模的一般步驟是：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)[3]. 那么在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模的思想是如何形成的呢？筆者通過(guò)實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明.

我們知道，函數(shù)本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，常常用來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，而基于生活素材改編的一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題是：某公司生產(chǎn)出一種產(chǎn)品出售，如果在成本價(jià)10元/件的基礎(chǔ)上，按利潤(rùn)率80%出售，那每天可以賣(mài)出60件;而通過(guò)更為精細(xì)的市場(chǎng)調(diào)查之后發(fā)現(xiàn)，如果每件產(chǎn)品的售價(jià)每提高1元，那每天的銷(xiāo)量就會(huì)減少5件，而如果每件產(chǎn)品的售價(jià)每降低1元，那銷(xiāo)量就會(huì)增加5件. 基于這樣的調(diào)查結(jié)果，你認(rèn)為該公司應(yīng)當(dāng)做出什么樣的選擇？

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，面對(duì)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生通常會(huì)知道應(yīng)當(dāng)追求利潤(rùn)的最大化，說(shuō)得通俗一點(diǎn)，就是要盡可能地賺更多的錢(qián). 那這個(gè)利潤(rùn)在問(wèn)題情境中應(yīng)如何表示呢？帶著對(duì)這個(gè)問(wèn)題的思考，建模的過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)開(kāi)始了.

首先，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到這是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的問(wèn)題，其與方程必然相關(guān)，而當(dāng)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具選擇為函數(shù)時(shí)，模型準(zhǔn)備就開(kāi)始了.

其后，學(xué)生必然要設(shè)未知數(shù)，這實(shí)際上就進(jìn)入了模型假設(shè)階段. 不同學(xué)生會(huì)基于不同的思路，設(shè)不同的未知數(shù). 此過(guò)程中需要通過(guò)交流討論的方式，最終決定設(shè)商品的售價(jià)為x元/件，而每天的利潤(rùn)則可以設(shè)為y.

到了模型構(gòu)成階段，實(shí)際上就是準(zhǔn)確確認(rèn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，即y={60-5×[x-（10+10×80%）]}（x-10）.

對(duì)于這個(gè)模型的求解，聰明的學(xué)生往往會(huì)想到其與二次函數(shù)的最值有關(guān)，而有了這個(gè)想法，問(wèn)題實(shí)際上就被解決了.

至于模型分析與模型檢驗(yàn)，實(shí)際上可以借助二次函數(shù)的知識(shí)（包括性質(zhì)、圖像等）來(lái)進(jìn)行，也可以通過(guò)特殊值的計(jì)算來(lái)進(jìn)行，反正結(jié)果肯定是當(dāng)售價(jià)是20元/件時(shí)，利潤(rùn)最大. 有了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題也就得到了解決.

其后就是重要的“問(wèn)題解決過(guò)程反思階段”，即思考“我們是通過(guò)什么方法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決的”. 這是一個(gè)具有通用性的問(wèn)題，在問(wèn)題得到解決之后，再讓學(xué)生進(jìn)行這樣的一個(gè)反思，這在傳統(tǒng)教學(xué)中比較少見(jiàn)，但又非常重要. 因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程可以幫助學(xué)生梳理解決思路，而在利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的情境中進(jìn)行這樣的反思，可以凸顯模型的價(jià)值，從而讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思想. 實(shí)際上在上面這個(gè)例子中，學(xué)生通過(guò)梳理就會(huì)發(fā)現(xiàn)：模型在其中發(fā)揮著重要的作用，這說(shuō)明函數(shù)這個(gè)模型是具有實(shí)際運(yùn)用價(jià)值的，是可以解決與變量相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的. 那學(xué)生在今后遇到與變量相關(guān)、與最值相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)直覺(jué)性地想到函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，這說(shuō)明數(shù)學(xué)建模思想已經(jīng)初步形成了.

而從教學(xué)研究的角度來(lái)看學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的形成過(guò)程，實(shí)際上也是有共性的：當(dāng)學(xué)生遇到問(wèn)題，意識(shí)到問(wèn)題的解決可能與數(shù)學(xué)相關(guān)（實(shí)際問(wèn)題中學(xué)生有可能還會(huì)想到其他學(xué)科），與數(shù)學(xué)當(dāng)中的某一個(gè)知識(shí)（如方程、函數(shù)等）相關(guān)時(shí)，數(shù)學(xué)建模過(guò)程就已經(jīng)啟動(dòng)，模型思想也就開(kāi)始形成. 說(shuō)白了，數(shù)學(xué)建模思想并不高大上，其就是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一種意識(shí)、直覺(jué)以及熟練程度等. 當(dāng)學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題時(shí)，我們自然認(rèn)為其是具有數(shù)學(xué)建模思想的.

建模思想的形成需開(kāi)放教學(xué)思路

相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)而言，數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)難度更大，因?yàn)槠浔旧聿豢赡苁侵苯拥慕虒W(xué)對(duì)象，只有在學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中才有培養(yǎng)的空間，而學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的主要目的，往往并不在數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)本身，而在于問(wèn)題的解決甚至是更為直接的考試得分. 因此，數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，既需要一定的模式，又需要教師本著開(kāi)放的思路去進(jìn)行.

眾所周知，初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)模型主要包括了函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何等概念. 建模的內(nèi)容也相當(dāng)豐富，遍及社會(huì)生活與生產(chǎn)實(shí)踐的各個(gè)方面[4]. 開(kāi)放的教學(xué)思路意味著在數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)的過(guò)程中，素材的選擇可以是開(kāi)放的，而素材越開(kāi)放，意味著學(xué)生可以將數(shù)學(xué)建模與生活的聯(lián)系變得更密切一些，那數(shù)學(xué)建模思想的形成實(shí)際上也就更容易一些. 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模思想與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程密切相關(guān)，只有在數(shù)學(xué)建模的這個(gè)“游泳”過(guò)程中，建模思想這個(gè)“游泳技能”才能形成.

同時(shí)，教師的教學(xué)方式也應(yīng)當(dāng)是開(kāi)放的，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程固然有文章第二點(diǎn)闡述的步驟，但實(shí)際上很多時(shí)候也不完全拘泥于那樣的過(guò)程. 初中生在解決問(wèn)題的時(shí)候，還有很多直覺(jué)思維非常可貴，借助學(xué)生的直覺(jué)思維去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，實(shí)際上也是非常可行的. 而很多時(shí)候數(shù)學(xué)建模思想之所以能夠發(fā)揮作用，其本身也是問(wèn)題解決者的一種直覺(jué).

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，既要立足于數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)，更要在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得到提升，且多次訓(xùn)練之后最好要形成利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的直覺(jué)，這樣的數(shù)學(xué)建模思想才會(huì)真正成為學(xué)生的內(nèi)在習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

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[3]藍(lán)婷，劉文輝. 數(shù)學(xué)建模與中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的策略研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011（6）.

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