顧靜怡

似乎人人都知道π是圓周率，是一個被科學(xué)證明了的無理數(shù)。然而，最近人們又發(fā)現(xiàn)了一個超越π的神秘數(shù)字4.6692……這個被學(xué)術(shù)界認(rèn)定的、與“混沌現(xiàn)象”有關(guān)的常數(shù)也被稱為費根鮑姆常數(shù)。它像圓周率一樣，充滿著神秘和未知。

四十多年前，癡迷數(shù)學(xué)研究的物理學(xué)博士費根鮑姆放棄了做粒子物理學(xué)家的“主流”工作，跳槽到洛斯阿拉莫斯國家實驗室當(dāng)起了小助手。他在利用計算機工作的時候，發(fā)現(xiàn)了這個被譽為“新的圓周率”的常數(shù)4.6692……

那么，4.6692……這個數(shù)字到底神秘在哪里呢？這得從數(shù)列的周期說起。我們都知道，最簡單的數(shù)列可以很任意，比如1，2，1，2……當(dāng)然，還有一些數(shù)列的周期性則要復(fù)雜得多，也有趣得多。費根鮑姆研究的數(shù)列也表現(xiàn)出了周期性，而且隨著參數(shù)b的不斷增加，表現(xiàn)出來的周期性也會不斷增加，它會從二周期變成四周期，然后變成八周期……這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)或者物理學(xué)上被稱為“邏輯斯蒂映射”或者“拋物線映射”。

問題的關(guān)鍵是，參數(shù)b要等于多少？因為b的數(shù)值是任意的。但在做數(shù)值計算時，必須要先設(shè)定這個參數(shù)。費根鮑姆固定了不同的參數(shù)b，發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)b選擇到一些特定的數(shù)字后，整個數(shù)列最后會收斂到一個“不動點”。也就是說，這個不動點是拋物線方程的一個根，不動點就是“周期1”。然后，再不斷調(diào)整參數(shù)b，當(dāng)b增加到了一定程度，又發(fā)現(xiàn)周期從2變成4，變?yōu)?與16……這個現(xiàn)象叫做倍周分叉。

如果要用通俗簡單的例子來解釋的話，那就是從一個規(guī)律滴水的水龍頭開始，它的節(jié)奏是重復(fù)的“滴—滴—滴—滴……”每一滴都跟前面的完全一樣。然后，當(dāng)我們將水龍頭打開一點，水滴就會落得比之前快一些，而節(jié)奏也就會相應(yīng)地變成了“滴—答，滴—答……”每兩滴才重復(fù)一次，前后兩滴不止是大小不同，就連時間間隔也會有些細(xì)微的變化。如果讓水滴流得再稍微快一點，就會得到四滴的節(jié)奏“滴—答—滴—答……”再快一點的話，則會產(chǎn)生八滴的節(jié)奏“滴—答—滴—答—滴—答—滴—答………”也就是說不同形式的水滴數(shù)目會一直加倍，這就是“混沌現(xiàn)象”。

那么，這些分叉點的參數(shù)b又有什么特點呢？費根鮑姆研究發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)倍周期分叉的b的那些數(shù)值，距離之比接近一個常數(shù)，大概等于4.6692……他還進一步揭示了同樣的現(xiàn)象、同樣的常數(shù)，適用于廣泛的數(shù)學(xué)函數(shù)領(lǐng)域，這個普適的結(jié)論使數(shù)學(xué)家們能夠在對表象不可捉摸的混沌系統(tǒng)的解密道路上邁出可喜的一步。

有人說，費根鮑姆常數(shù)是一個神秘的常數(shù)，一個數(shù)學(xué)物理中深邃的常數(shù)，一個與π平起平坐的常數(shù)。也有人說，4.6692……是一個“新的圓周率”。但不管怎樣說，費根鮑姆常數(shù)在數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系中，有著非比尋常的重大意義。