高中數(shù)學“自生型探究”教學的實踐與感悟

牛云芳

[摘 ?要] 學生在學習中自發(fā)產(chǎn)生的質疑與探究能令課堂教學更加熠熠生輝，教師應善于利用學生在課堂上產(chǎn)生的“意外”并引導學生展開自主探究和討論，使學生自研自探能力不斷提升的同時獲得更加靈活而具深度的思維發(fā)展.

[關鍵詞] 自生型探究;質疑;意外生成;自發(fā)性

教師往往會在課堂教學之前進行質疑與探究活動的預設以期促進學生質疑能力與探究能力的提升，除此以外，學生在自主學習與小組合作學習中也會自主生成質疑與探究，這些出乎教師預期的質疑與探究都屬于“自生型探究”，這是學生在提出問題、分析問題、解決問題、總結體驗與拓展思維的過程中所產(chǎn)生的一種自發(fā)性的思考. 文章結合試卷評講中的某一片段，對課堂教學中的“自生型探究”做出了一定的思考.

題目：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 + =1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，頂點B的坐標是（0，b），△BF1F2是邊長等于2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程;

（2）過右焦點F2的直線和橢圓相交于點A和點C，若將△ABF2，△BCF2的面積分別記作S1，S2，且S1=2S2，則直線斜率應為多少？

筆者任教班級的學生全都完整回答出了第（1）問，答案是 + =1，但第（2）問的解答情況就不太理想了，全班有一半以上的學生沒有回答出來，因此筆者在試卷講評中對第（2）問進行了重點分析.

筆者首先請每位學生結合自己的答題情況進行了新的思考，然后請每位學生在各學習小組內對第（2）問的解決途徑進行了討論，最后請各小組代表將本組的討論結果進行了展示.

生1：根據(jù)題意與圖形可知，兩三角形等高但底不等，因此對于面積關系的思考也直接轉化成了對兩個線段長度關系的思考，然后開始解題. 設B到直線AC的距離是h，因為S1=2S2，所以 AF2·h=2× F2C·h，即AF2=2F2C，因此 =2 . 設A（x1，y1），C（x2，y2），又F2（1，0），所以（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2），則x1=3-2x2，y1=-2y2，代入橢圓方程有 + =1， + =1，解得x2= ，y2=± .因此該直線的斜率為k= =± .

生1繼續(xù)評價：（1）聯(lián)想向量在解析幾何中所起的作用并因此獲得A，C之間的關系;（2）將x1，y1用x2，y2表示也可以構建方程并解決問題.

生2：我在解題時一樣用到了向量，不過代入橢圓方程這一環(huán)節(jié)我沒有做，我是利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來解題的.

從生1的解法上可知，x1=3-2x2. 設點A（x1，y1），C（x2，y2）到橢圓 + =1右準線x=4的距離是d1，d2，則 = ， = ，由AF2=2F2C得2- x1=22- x2，化簡為x2=2+ x1，結合x1=3-2x2，解得x2= （以下同生1的解法）.

生2繼續(xù)評價：（1）我根據(jù)題中出現(xiàn)的焦點弦想到了圓錐曲線的統(tǒng)一定義;（2）在統(tǒng)一定義中找橫坐標或縱坐標的直接關系是可行的.

生3：我是通過構建直角三角形來解題的. 如圖2，分別過A，C兩點作準線的垂線，垂足分別記作A′，C′，過點C作CH⊥AA′，垂足記作H，根據(jù)統(tǒng)一定義可知 = = . 又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=2CF2，因此CH= CF2，因此tan∠CAH= ，因此直線的斜率為k= ，結合橢圓的對稱性可知k=- 同樣符合題意.

生3繼續(xù)評價：（1）由統(tǒng)一定義可實現(xiàn)焦半徑的轉化并因此解題;（2）利用直角三角形求解能使解題過程更為優(yōu)化.

筆者看到以上三位學生的答題思路與過程之后，深感欣慰并及時給予了高度評價，正想繼續(xù)后面內容的講解之時，“意外”卻在此時產(chǎn)生了.

生4：我對生3的想法表示贊同，不過我也有這樣一個疑問：在Rt△CAH中，懂得焦點分弦的比之后即可求得直線的斜率，那么，知道直線的斜率即可求得焦點分弦的比這一觀點是否成立呢？

筆者面對這一問題并沒有立即做出解答，而是將生4的這一疑問拋給了全班學生，給自己思考空間的同時也給了學生足夠的空間來解決這一意外生成. 各小組學生在一定的思考之后開始了討論，筆者在學生的討論中也進行了關注與了解并適時加入了探討，學生的思考與討論展示如下.

生5：我認為生4所提出的問題應該有肯定的答案，比如直線的斜率是1， = = ，在Rt△CAH中，AC= AH= （AA′-CC′）= （2AF2-2CF2），而AC=AF2+CF2，因此（2 -1）AF2=（2 +1）CF2，繼而得出了 = .

師：非常好！生5在圓錐曲線的定義與Rt△CAH之間進行了靈活的轉化.

生5（繼續(xù)提問）：老師，直線的斜率與焦點分弦的比值求出以后，我們是否還可以求出橢圓的離心率呢？

學生紛紛議論起來.

生6：我覺得是能求出的，因為在Rt△CAH中涉及了直線的斜率、橢圓的離心率以及焦點分弦的比值這三個量，因此我認為根據(jù)統(tǒng)一定義，知道其中兩個量以后，求解第三個量也就不難了. 比如，如果知道了直線的斜率為1以及AF2=2F2C，則有如下過程： = =e，又AF2=2CF2，在Rt△CAH中，AC=3CF2，AH=AA′-CC′= CF2，cos∠CAH= ，因此 = = ，因此e= .

生6又問：（1）雙曲線、拋物線等情況下是否也會存在與上述類似的結論呢？求離心率、比值、斜率等問題是否存在通式呢？

（2）如果有過左焦點F1的直線和橢圓相交于點A和點C，還會存在一樣的結論嗎？

（3）如果焦點在y軸上，還會產(chǎn)生怎樣的結論呢？

筆者對于生6的這些提問感到意外與驚喜，趕緊引導各學習小組對以上問題進行了討論，最終獲得了如下成果：

成果1：若有標準圓錐曲線且其焦點在x軸上，離心率是e，過焦點F的弦AB分得兩個焦半徑的比是λ（λ>1），直線和x軸形成的夾角是α，則有cosα= .

成果2：若有標準圓錐曲線且其焦點在y軸上，離心率是e，過焦點F的弦AB分得兩個焦半徑的比是λ（λ>1），直線和x軸形成的夾角是α，則有sinα= .

學生剛剛展示完討論的成果，下課鈴聲就響了，筆者原本預設的教學任務因為學生在課堂學習中產(chǎn)生的種種“意外”而被耽誤了，然而筆者并未因此而焦急. 相反，筆者因為學生在課堂學習中能夠如此積極動腦并產(chǎn)生諸多的自主質疑而感到驚喜萬分，也因為學生因此做出的探索而感到欣慰，課堂教學雖未完成預設的任務，但學生學習中形成的“自生型探究”卻令本堂課的教學更加熠熠生輝.

建設探究型課堂是新課程改革最為顯著的一個特點，對于教師來說，這是一種新的挑戰(zhàn). 教師在實際教學中應能為學生的“自生型探究”創(chuàng)造平臺，使學生能夠在學習中產(chǎn)生質疑并因此展開主動的探究. 值得教師注意的是，怎樣在探究型課堂教學中喚醒學生的自主性并引領學生展開探究是最為重要的問題. 因此，教師應在實際教學中設置具備生成性、表現(xiàn)性與差異性的課堂目標，在課堂教學中善于運用交互式、對話式等多種教學方法以促進學生學習自主性的激發(fā)，不斷優(yōu)化學生的探究環(huán)境并因此使學生獲得自主探究的廣闊空間，使學生的想象與思維更加自由并因此獲得更多的質疑與發(fā)現(xiàn).

總之，教師在數(shù)學課堂教學中應敢于放手、善于放手，為學生創(chuàng)造更多的空間并鼓勵學生大膽質疑，使學生能夠利用互助學習的能量并因此獲得自研自探能力的不斷提升，引導學生的思維更加優(yōu)化并走向深處，使學生能夠逐步習慣“自生型探究”并因此在質疑與探究中獲得更為游刃有余的學習體驗與感受，并最終獲得最大化的學習收益.