積分型Cauchy中值定理“中間點”的漸近性

劉紅玉

微分中值定理和積分中值定理是微積分理論的最主要內(nèi)容.近年來，對于中值定理“中間點”漸進性的研究，得到了一些重要結(jié)果［1-7］.文獻 ［1］ 利 用 輔 助 函 數(shù)推廣了 Cauchy中值定理，得到了一個廣義積分形式并對該定理中中間點ξ的漸近性進行了討論.文獻［2］利用Taylor多項式，把微分中值定理和積分中值定理進行了統(tǒng)一，并得到了一些更一般的結(jié)果.文獻［3］通過對廣義Cauchy中值定理的研究與討論，得到了廣義Cauchy中值定理“中間點”漸進性的結(jié)果，并進行了一些推廣.文獻［4］對一類積分型中值定理做了進一步的研究，減弱了定理的條件并加強了定理的結(jié)論，得到了一個更加一般的結(jié)果，并對該定理“中間點的漸進性”做了討論，推廣了已有的成果.文獻［5］對一類積分型Cauchy中值定理做了進一步的研究，得到了一個更加一般的結(jié)果，并對該定理“中間點的漸進性做了討論 ，推 廣 了 已 有 的 成 果文獻［6］研究了廣義的Cauchy型Taylor公式中間點的漸近性.得到了廣義Cauchy型Taylor公式“中間點”漸進性的兩個表達式.文獻［7］研究了廣義的Cauchy型Taylor公式中中值點的漸近性，得到結(jié)果

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)H(x)=在已有結(jié)果的基礎上，研究了廣義積分型Cauchy中值定理中間點ξ的漸近性，得到了中間點ξ的漸近性表達式為并進行了推廣，得到更一般的結(jié)果，即中間點ξ的漸近性 表 達 式 為

1 預備知識

引 理 1［7］若 ①f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)在a的某鄰域U(a)內(nèi)連續(xù)；②f(n+1)(x)與g(m+1)(x)在U(a)內(nèi)存在，且?x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，則至少存在一點ξ，使得ξ介于a與x之間.

定理1若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)；對?x∈UO(a),g(x)≠0，則對?n,m∈N且n≥m，至少存在一點ξ，使得介于a與x之間.

同理，

將以上式子代入引理1，得

2 主要結(jié)果

定理2若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連 續(xù) ，存 在α≥0,β≥0 ，且 ?x∈UO(a),有，則由引理1所確定的“中間點”ξ滿足

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)H(x)=由 于f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)，利用積分上限函數(shù)的求導公式，連續(xù)使用n+1次洛比達法則可得

連續(xù)使用m+1次洛比達法則可得

由（2）式、（3）式得

另一方面，

定理3若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)；對，且φ(x)在a的某鄰域U(a)嚴格單調(diào)遞增，存在不等于零，又存在α≥0,β≥0，?x∈UO(a),有A≠0 ，， 則 對?n,m∈N且n≥m，由引理1所確定的“中間點”ξ滿足

3 結(jié)論

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)，研究了廣義積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性，得到了“中間點”ξ滿足的兩個主要表達式.