解讀分段函數(shù)問題

■李志勤

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)常見的函數(shù)，分段函數(shù)一直是高考考查的熱點(diǎn)。在學(xué)習(xí)分段函數(shù)時(shí)，熟悉分段函數(shù)的概念，掌握基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)函數(shù)的基本思想方法，才能完整地解決分段函數(shù)的相關(guān)問題。求解分段函數(shù)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”。下面結(jié)合具體例題，總結(jié)分段函數(shù)的常考題型與解題方法。

一、分段函數(shù)的單調(diào)性問題

例1若分段函數(shù)f（x）=在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）。

A.（-∞，1] B.（0，2）

C.（0，1] D.[1，2）

解：利用分段函數(shù)在每一段上都是單調(diào)遞增解出a的范圍。

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是增函數(shù)，所以解得0＜a≤1。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1]。應(yīng)選C。

評(píng)析：分段函數(shù)f（x）=在 上單調(diào)遞增，則函數(shù)Rf（x）滿足：f1（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞增，f2（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，且f1（a）≤f2（a）。

二、分段函數(shù)的求值問題

例2設(shè)分段函數(shù)f（x）=

解：把所求自變量轉(zhuǎn)化到x＜1的范圍內(nèi)，再代入分段函數(shù)即可求值。因?yàn)楹瘮?shù)所以f（log10）=2

評(píng)析：解決分段函數(shù)求值問題，要明確自變量所屬的區(qū)間。解答本題的關(guān)鍵是借助函數(shù)的周期性將自變量的值轉(zhuǎn)化到分段函數(shù)的定義域上求解。

三、分段函數(shù)的求參數(shù)問題

例3已知分段函數(shù)f（x）=其中0＜m＜1，若存在實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程f（x）=a恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則m的取值范圍是（ ）。

解：作出函數(shù)f（x）的圖像，得到關(guān)于m的對(duì)數(shù)不等式求解即可。當(dāng)0＜m＜1時(shí)，函數(shù)的圖像如圖1所示（簡(jiǎn)圖）。

圖1

當(dāng)x≤m時(shí)，f（x）=x2-2m x+m2+2=（x-m）2+2≥2，要使關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)根，需滿足又0＜m＜1，解得應(yīng)選A。

評(píng)析：本題考查方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷問題。解答本題的難點(diǎn)是分析得到