李毅

【摘 要】本文闡述將數(shù)學(xué)思想方法滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，通過(guò)利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方法，以此加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的了解和把握，提高函數(shù)教學(xué)的課堂效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)思想 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）07B-0149-03

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思維方法是一種剖析和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方式。如函數(shù)思想、建模思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等。實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的時(shí)候，教師要注意循序漸進(jìn)地浸透這些數(shù)學(xué)思想和方法，確保學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。另外，在高中數(shù)學(xué)功能教學(xué)中，必須有條理地按步驟滲透數(shù)學(xué)思維方法，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思維了解高中數(shù)學(xué)功能，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)功能的理解，提高高中函數(shù)課堂教學(xué)的有效性。從問(wèn)題的定量關(guān)系出發(fā)，用函數(shù)的方法將問(wèn)題的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)為了解決這個(gè)問(wèn)題，還得進(jìn)行方程和函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。那么，怎樣在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)思維方法？

一、在傳授函數(shù)知識(shí)的過(guò)程中逐步滲透函數(shù)思想

在高中數(shù)學(xué)教材中，是這樣定義函數(shù)的：函數(shù)是從一個(gè)集合 A（定義域）到另一個(gè)集合 B（值域）上的映射 f：A→B，并使得集合 B 中的元素 y 與集合 A 的元素 x 對(duì)應(yīng)，記為 y=f（x）。而初中數(shù)學(xué)中函數(shù)是這樣定義的：在變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量 x，y，如果 x 給出一個(gè)值，y 都具有與其對(duì)應(yīng)的唯一確定的值，則 x 稱為自變量，y 稱為 x 的函數(shù)。從這里可以看見，函數(shù)的定義從初中的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，變成了映射，是集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。也就是說(shuō)，通過(guò)這個(gè)定義的變遷，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，函數(shù)不僅僅存在于數(shù)之間，也存在于事物和數(shù)字之間。例如，個(gè)人和其身份證號(hào)碼，圖形和其面積公式，學(xué)生和其學(xué)籍號(hào)，等等。

因此，老師在教學(xué)中，要注意學(xué)生對(duì)知識(shí)概念的理解，要進(jìn)行不斷的、反復(fù)的練習(xí)，從多個(gè)角度來(lái)進(jìn)行正確引導(dǎo)和解釋相關(guān)概念，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，同時(shí)還要抓住時(shí)機(jī)適時(shí)地將數(shù)學(xué)思想滲透進(jìn)去。因此在“函數(shù)定義”這節(jié)課的教學(xué)中，如果老師先通過(guò)對(duì)幾個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)明、比較，再將這個(gè)具體的函數(shù)的定義從抽象轉(zhuǎn)化為具體，則可加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。

另外，它還可以訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，從生活角度中抽象出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如，買菜買米要用到函數(shù)，假設(shè)單價(jià)是每斤 a 元，要買 x 斤，則付款數(shù) y 就與斤數(shù) x 產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，記為 y=ax，這個(gè)是一次函數(shù)。買米買菜要用到錢，用錢就需要去工作，每日工資 x 元，每月（計(jì) 30 日）則有 y=30x 元收入。收入多了，要學(xué)會(huì)存錢，存錢就要和銀行打交道，銀行的利率和利息的對(duì)應(yīng)關(guān)系也是函數(shù)關(guān)系。有了錢，若網(wǎng)上比實(shí)體店購(gòu)買的商品便宜就可以選擇網(wǎng)購(gòu)，而包裹的重量和快遞運(yùn)費(fèi)的關(guān)系是函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系。掙的錢多了，要納稅，收入和所納稅款的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。掙了足夠多的錢，又可以買房，裝修，其中房子面積和裝修費(fèi)用之間是二次函數(shù)關(guān)系，等等。通過(guò)這樣的一節(jié)概念課，把初中高中兩個(gè)不同層面的函數(shù)概念有機(jī)融合在一起，也復(fù)習(xí)了初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)。這是為了讓學(xué)生深刻理解函數(shù)就在我們的身邊，函數(shù)思想與我們生活息息相關(guān)，吃喝拉撒睡可以說(shuō)都離不開函數(shù)，函數(shù)并非遙不可及的。

二、重視函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別能力

高中數(shù)學(xué)中，有指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等。學(xué)生學(xué)習(xí)各種函數(shù)，就必定要學(xué)習(xí)它們的圖象和性質(zhì)。函數(shù)不同，性質(zhì)也不同，那么就需要不斷提高學(xué)生對(duì)各種函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和把握，增強(qiáng)學(xué)生區(qū)分各種函數(shù)的能力。學(xué)生不但要掌握各種函數(shù)的不同之處，還要找到它們的共同點(diǎn)。在實(shí)際的數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題中，各種函數(shù)之間存在著轉(zhuǎn)換的特點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中存在一定程度的混淆，特別是指數(shù)函數(shù) y=ax（a>0，a≠1）和冪函數(shù) y=xa，指數(shù)函數(shù) y=ax（a>0，a≠1）和對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax（a>0，a≠1），這些都需要學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)有一個(gè)準(zhǔn)確的判別，這樣才能正確地找到解題思路。

在高考中，有一道高頻考題是關(guān)于比較大小的，如：

2018 全國(guó)卷 I 理 8 文 10，設(shè) a=log32，，則以下判斷正確的是（ ?）。

A.a

本題根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，在第一象限就越靠近 x 軸，可知在第一象限 y=log3x 比 y=lnx 更低，從而 a

再如 2017 年的一道高考題：

已知 ?，比較 a，b，c 大小。

首先由對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)易知 b 是負(fù)數(shù)，a，c 都是正數(shù)，b 一定是最小的。只需比較 a，c 大小即可。由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ，得 ，而根據(jù)指數(shù)函數(shù) y=2x 是增函數(shù)的性質(zhì)知，，所以 c 最大。從而有 c>a>b。

該題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是單調(diào)性。

而函數(shù)的奇偶性和周期性的考查也相當(dāng)熱門，如 10 年山東卷：

設(shè) f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 x≥0 時(shí)，f（x）=2x+2x+b（b 為常數(shù)）則 f（-1）=（ ?）

A.3 ? ? ?B.1 ? ? ? C.-1 ? ? ? D.-3

要解決這道題，首先要清楚奇函數(shù)的性質(zhì)，①在 x=0 有定義，則必有 f（0）=0，從而求得 b=-1;②由 f（-x）=- f（x）得 f（-1）=- f（1）=-（2+2-1）=-3。故答案選 D。

再如奇偶性和周期性的綜合題，2013 年的一道高考題：

設(shè) f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，且對(duì)任意 x 恒有 f（x+2）= - f（x），當(dāng) x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x2，求 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）的值。

這題需要充分使用奇偶性和周期性，① f（0）=0， ? ? ? ? ?② f（x+2）=- f（x）周期 T=4。于是，可得 f（1）=2-1=1，f（2）=4-4=0，f（3）= f（-1）=- f（1）=-1。即 f（0）+ ? ? ? ? ? f（1）+ f（2）+ f（3）=0。即四個(gè)一組，其和為 0 又因?yàn)?2014=4×503+2，故 f（0）+ f（1）+ f（2）+…+ f（2013）= f（0）+ f（1）=1。

以上函數(shù)的性質(zhì)都是常見?？嫉男再|(zhì)，要想取得理想的教學(xué)效果，一方面需要教師在教學(xué)中，對(duì)性質(zhì)的講述要細(xì)致到位;另一方面，也需要設(shè)計(jì)合適的習(xí)題加以鞏固?？傊?，千里之行始于足下。

三、采用實(shí)際例子加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念一旦有了基本的了解和認(rèn)識(shí)之后，老師則要根據(jù)課本內(nèi)容選擇一些實(shí)例去進(jìn)行深入講解。一方面，它可以鞏固學(xué)生已形成的函數(shù)概念;另一方面又能提高學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的實(shí)際應(yīng)用能力。如，在“指數(shù)函數(shù)”教學(xué)中，老師借助圖象進(jìn)行三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換分析，加深概念的認(rèn)識(shí)之后，再設(shè)計(jì)一些題目，比如，①計(jì)算銀行借款（存款）利息;②利滾利的高利貸方式;③國(guó)際象棋發(fā)明者要國(guó)王的獎(jiǎng)勵(lì)是往棋盤放麥子，在這個(gè)例子中國(guó)王要準(zhǔn)備多少麥子;④某種病毒細(xì)胞作有絲分裂，每個(gè)每次都是一分為二，每分鐘分裂一次，一天后有多少病毒細(xì)胞;等等。在實(shí)踐中讓學(xué)生對(duì)這種指數(shù)型爆炸式的變化速度有更深刻的體會(huì)，從而在腦海中刻畫出一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象，方便學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)在發(fā)生變化的前后進(jìn)行對(duì)比分析。

在指數(shù)函數(shù)教學(xué)中，筆者曾經(jīng)給學(xué)生講過(guò)一個(gè)故事，1973 年美國(guó)的快遞公司在交貨給貨主的時(shí)候，就荷蘭豬是不是豬這個(gè)問(wèn)題發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)。如果是普通的豬，那么收費(fèi)應(yīng)該是 30 美分每只;如果是寵物，那么收費(fèi)應(yīng)該是 25 美分每只。但是辦事員認(rèn)定荷蘭豬是豬，要收 30 美分每只，貨主堅(jiān)持這是寵物，只肯付 25 美分每只。爭(zhēng)執(zhí)不下的貨主留下兩只荷蘭豬憤然離去。然后經(jīng)過(guò)一重一重的各方面的認(rèn)定，最終由最有權(quán)威的動(dòng)物專家教授指出，荷蘭豬屬于什么科什么目應(yīng)該歸為寵物，因此，只能收 25 美分每只。結(jié)論傳回到辦事員手上，辦事員卻無(wú)比惆悵地再次向經(jīng)理發(fā)問(wèn)，現(xiàn)在這些該死的荷蘭豬已經(jīng)有 4096 只了，我到底是該收當(dāng)初兩只的費(fèi)用還是收 4096 只的費(fèi)用？另外我給這些荷蘭豬買食物花掉的 68 美元又該怎么辦？

為什么會(huì)變成了 4096 只呢？筆者把問(wèn)題拋給了學(xué)生，學(xué)生查找了荷蘭豬成長(zhǎng)、繁殖的時(shí)間資料，最后按照這種一般規(guī)律，推算時(shí)間到底過(guò)去了多久。成年的荷蘭豬一般一個(gè)月就可以繁殖后代，這是個(gè)指數(shù)函數(shù)，f（x）=2x，由 2x=4069 ?x=12，最后得出的時(shí)間（12 個(gè)月）讓現(xiàn)在的學(xué)生覺(jué)得不可思議，一件小事情居然扯了至少一年才有結(jié)果。另一方面，美國(guó)人的執(zhí)著認(rèn)真也讓人瞠目結(jié)舌，1973 年沒(méi)有電話沒(méi)有電腦網(wǎng)絡(luò)的年代，單純靠郵局信件來(lái)往解決這件事實(shí)在讓人無(wú)法想象，而荷蘭豬的繁殖能力，以及后果實(shí)在太恐怖了，如果開始的時(shí)候辦事員知道荷蘭豬的繁殖是這種爆炸式增長(zhǎng)的指數(shù)型函數(shù)，諒他也不敢堅(jiān)持說(shuō)荷蘭豬是豬要收 30 美分了，就如他最后的頓悟：只要我在職一天，哪怕是獅子老虎山羊公牛你說(shuō)是寵物那就是寵物。通過(guò)這個(gè)例子，它生動(dòng)形象地加深了學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

四、充分利用泛函方程思想，進(jìn)行方程與函數(shù)的互化

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)方程的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，中學(xué)數(shù)學(xué)課本的編寫是以知識(shí)結(jié)構(gòu)為主干，各種數(shù)學(xué)思想分布在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中。函數(shù)方程思想就是利用靜與動(dòng)的特點(diǎn)來(lái)建立的函數(shù)關(guān)系式或者函數(shù)圖象、圖表等，之后根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，最終解決問(wèn)題。關(guān)于這一點(diǎn)在二次函數(shù) y=ax2+bx+c（a≠0）與二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的關(guān)系方面在高考中是考得最多的，老師在課堂上就要多舉例說(shuō)明，方程就是函數(shù)中函數(shù)值 y=0 對(duì)應(yīng)的式子，所以，解方程就是把函數(shù)中能使 y=0 對(duì)應(yīng)的 x 值找出來(lái)。如圖 1（見下頁(yè)）中二次函數(shù)圖象。①中函數(shù)值 y>0 恒成立，從而 y=0 無(wú)解，即二次方程無(wú)解，△<0;②中函數(shù)值 y≥0，能使 y=0 的就一個(gè)值，故二次方程有唯一解（或兩個(gè)相等實(shí)根），△=0;③中 y 值正、負(fù)都有，和 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，△>0。通過(guò)二者的圖象關(guān)系從而理解根的判別式 △=b2-4ac 與函數(shù)圖象和 x 軸交點(diǎn)關(guān)系，韋達(dá)定理與根的分布等關(guān)系。

函數(shù)與方程的關(guān)系，就像一條主線，抓住了，相關(guān)的問(wèn)題就能迎刃而解。因此，函數(shù)方程的教學(xué)可以提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

五、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力

在高中數(shù)學(xué)中，用傳統(tǒng)的代數(shù)方法求解實(shí)際函數(shù)問(wèn)題時(shí)，很難找到突破。因此，我們必須利用函數(shù)圖象和性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行分析，直觀清晰地尋找到問(wèn)題的突破口。另外，根據(jù)已知的函數(shù)圖象，我們也可以根據(jù)函數(shù)圖象中所隱藏的一些條件和相關(guān)性質(zhì)，再結(jié)合代數(shù)式就可以解決相關(guān)問(wèn)題。

〖例 1〗在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn) ，求點(diǎn)極點(diǎn) O 到直線 AB 的距離。

本題按常規(guī)方法，就是把點(diǎn)化為直角坐標(biāo)，求 AB 的直角坐標(biāo)方程，然后用點(diǎn)到直線的距離公式求距離。但通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)（如圖 2），AB 在以 4 為半徑的同一個(gè)圓上，且∠AOB=90°，故△BOA 為等腰 Rt△，從而斜邊 AB=，由等面積法得 O 到 AB 距離為 。再或者，留意到 O 到 AB 的距離其實(shí)也是 Rt△OAB 斜邊 AB 上的中線，所以距離為 AB 的一半 。可見通過(guò)作圖將數(shù)與形進(jìn)行完美的結(jié)合互換，可以大大提高學(xué)生的解題能力。

〖例 2〗在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，函數(shù) y=2a 與 y=|x-a|-1 有唯一公共零點(diǎn)，求 a 值。

本題如果打算從解方程入手，探討方程有一個(gè)解，那么會(huì)比較麻煩。用圖象法會(huì)非常直觀而且更快捷。y=2a 的圖象我們都熟悉，就是一條平行于 x 軸的直線，而 y=|x| 的圖象是一個(gè) V 字形的折線圖，V 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，y=|x-a| 的圖象無(wú)非就是這個(gè) V 字左右平移，不會(huì)改變 ?y 的取值范圍。y=|x-a|-1 就是 V 字再下移一個(gè)單位，頂點(diǎn) V 的 y 值為-1，故要 y=2a 與 V 字有唯一個(gè)交點(diǎn)，則要 y=2a 通過(guò) V 字的頂點(diǎn)，得 2a=-1，所以 。如此一來(lái)，簡(jiǎn)單而且完美解決了這道題。

諸如此類的題目都說(shuō)明，當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行函數(shù)教學(xué)的時(shí)候，要認(rèn)真貫徹落實(shí)數(shù)形結(jié)合的函數(shù)思想，才能使得我們的課堂效果更有成效。

函數(shù)思想是人們對(duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析探索，借助已知數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)基本理論轉(zhuǎn)化為固有的數(shù)學(xué)模型的一種思想認(rèn)識(shí)，它是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的具體反映和深入分析，是解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法和手段。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透函數(shù)思想方法，可以提高學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)組織能力，還可以讓學(xué)生綜合思維能力得到全面的提升。

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（責(zé)編 盧建龍）