■(指導(dǎo)教師：褚人統(tǒng))

課堂上很多老師會(huì)有意無(wú)意地留下一些問(wèn)題，讓同學(xué)們自己去深挖、探究。其實(shí)，這倒是同學(xué)們?nèi)ヌ骄恐R(shí)從而獲得科研能力的好機(jī)會(huì)。本文就是筆者一次認(rèn)真的探究過(guò)程，與讀者共享。

一、老師留下了一個(gè)問(wèn)題

在坐標(biāo)幾何中，如何求點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的話題是個(gè)很重要的話題。筆者的數(shù)學(xué)老師在課堂教學(xué)中對(duì)這一問(wèn)題只針對(duì)一般情況下的求法做了詳細(xì)的解答。

已知點(diǎn)P(m，n)，它關(guān)于直線l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′(x0，y0)。為求P′(x0，y0)，可以通過(guò)直線PP′與直線l垂直、及線段PP′的中點(diǎn)在直線l上這兩個(gè)關(guān)系列出方程組；即當(dāng)A≠0時(shí)，方程組就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；當(dāng)A=0時(shí)，直線l是平行于x軸的直線，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)比較顯然，是容易求的。

不過(guò)，老師又留下了一個(gè)使我們?nèi)鐗嬙旗F里的問(wèn)題：當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸直線l比較特殊時(shí)候，即直線傾斜角是時(shí)，求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就不用上面的一般方法進(jìn)行大量計(jì)算了，只需畫(huà)一下圖像看一看就能找出來(lái)的。老師還說(shuō)：在重要的考試中，尤其在高考中，如果出現(xiàn)需要求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的，那么，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸(肯定地認(rèn)為)一定是屬于上述四類(lèi)直線的。

二、問(wèn)題的深刻分析

真的嗎?老師輕描淡寫(xiě)的話，我卻已經(jīng)記在心里了，這是一個(gè)怎么樣的“看一看就能找出來(lái)”的呢?

當(dāng)直線l的傾斜角是0或時(shí)，直線l與x軸平行或垂直，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一目了然，問(wèn)題不大；當(dāng)直線l的傾斜角是時(shí)，怎么能輕松地從圖中看出來(lái)呢?

在一次自習(xí)時(shí)間，我拖住了老師想問(wèn)個(gè)究竟。老師只給了下面的具體做法，還說(shuō)這樣做可以是“公式化”了。我問(wèn)：為什么這樣?老師卻說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)使然(可能不想說(shuō))。

點(diǎn)P(m，n)關(guān)于直線l：y=x+b對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P′(n-b，m+b)；同理，點(diǎn)P(m，n)關(guān)于直線l：y=-x+b對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是P′(-n+b，-m+b)。

我很愕然!老師還說(shuō)了這結(jié)論其實(shí)很容易理解的，理解了自然就記憶了!親愛(ài)的讀者，您理解了嗎?記憶了嗎?

三、恍然大悟

這結(jié)論怎么來(lái)的呢?在同學(xué)們通力合作下，問(wèn)題得以解決了。先看點(diǎn)P(m，n)，它關(guān)于直線l：y=x+b對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為何是P′(nb，m+b)? 如圖1：過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線、平行線分別交直線l于Q1、Q2，再 過(guò)Q1、Q2作x軸的平行線、垂線，交點(diǎn)為P′。得Q1、Q2的坐標(biāo)分別為Q1(m，m+b)、Q2(nb，n)，推得P′(n-b，m+b)。由于直線l的傾斜角是，從而，矩形PQ1P′Q2是正方形，這樣對(duì)角線PP′與Q1Q2互相垂直，從而，P′(n-b，m+b)就是P(m，n)關(guān)于直線l：y=x+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

圖1

同理可以證得另一個(gè)結(jié)論，上述過(guò)程也揭示了：當(dāng)直線的傾斜角不是時(shí)，這樣作圖得到的矩形不是正方形，那么，就無(wú)法用上面的幾何方法去求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)了，如果要求的話，只能按照本文開(kāi)頭的一般方法去求了。