高院麗

【摘 要】楊氏模量是描述固體材料抵抗外力產(chǎn)生拉伸或壓縮形變能力的物理量[1]。測定材料的楊氏模量在工程技術(shù)實(shí)踐中具有重大作用。本文介紹了拉伸法測量鐵絲的楊氏模量。用逐差法、EXCLE、MATLAB這三種方法來處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通過比較發(fā)現(xiàn)，逐差法的誤差較大、計(jì)算過程繁雜。采用計(jì)算機(jī)軟件處理數(shù)據(jù)結(jié)果準(zhǔn)確度高，計(jì)算過程簡單明了，可以有效提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)技能和科研水平。

【關(guān)鍵詞】楊氏模量;逐差法;MATLAB;EXCLE

中圖分類號： O4-39 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）31-0124-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.059

1 楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)原理

楊氏模量的測定方法是拉伸法。拉伸法是沿縱向加外力使材料產(chǎn)生形變的，它是研究最簡單的彈性形變的方法。設(shè)有一根長為L，粗細(xì)均勻的鐵絲，橫截面積為S，受到沿長度方向上的外力F的作用時(shí)，鐵絲的伸長量為△L。此時(shí)單位橫截面積上受到的作用力為F/S，稱之為脅強(qiáng)，也就是正向應(yīng)力。鐵絲在單位長度上的伸長量為△L/L，稱之為脅變，也就是正向應(yīng)變。正向應(yīng)力與正向應(yīng)變的比值就是楊氏模量，即：

Y=■·■（1）

2 實(shí)驗(yàn)儀器

圖1

2.1 楊氏模量儀

儀器裝置如圖1所示。三腳底座上裝有兩根平行立柱和調(diào)節(jié)螺母，固定底座上有水準(zhǔn)泡。通過調(diào)節(jié)平衡螺母使水準(zhǔn)泡處在中心位置，從而來判斷底座是否調(diào)平。金屬絲I的上端固定在立柱頂端橫梁的螺釘中，下端系在托盤的鉤上，托盤是用來放拉伸鐵絲的砝碼。立柱中間有一可以上下移動的平臺，平臺是用來安放光杠桿。平臺正中有孔，孔中有可以滑動的卡金屬絲的螺旋卡頭，金屬絲通過螺旋卡頭并銜接在中間。

2.2 光杠桿及望遠(yuǎn)鏡尺組

由于△L的變化太小，常規(guī)儀器是測不出來的，所以本實(shí)驗(yàn)用到的是光杠桿和望遠(yuǎn)鏡。本實(shí)要用該測量系統(tǒng)測量鐵絲的伸長量△L。三足支架后足尖到兩前足間連線的垂直距離為b。鏡面的正前方約1.5m處放望遠(yuǎn)鏡及標(biāo)尺。

圖2

如圖2所示，當(dāng)所測物體未發(fā)生變化前，可從望遠(yuǎn)鏡內(nèi)讀出標(biāo)尺上的標(biāo)度值n0，即水平讀數(shù)。加砝碼后金屬絲的伸長量為△L，三足支架的后足隨金屬絲L的伸長隨螺旋卡時(shí)下降△L。此時(shí)鏡面以前足尖為支點(diǎn)向后轉(zhuǎn)過θ角度，tgθ=■，這時(shí)由望遠(yuǎn)鏡里讀出標(biāo)尺上的讀數(shù)為n1，前后兩次讀數(shù)差為△n= n1-n0。[2]

由圖2可以看出：tgθ=■，tg2θ=■。

實(shí)驗(yàn)中，△L很小，θ角度也很小，因而tgθ=θ，tg2θ=2θ，θ=■，2θ=■，將θ消去得： △L=■（2）

△L原為難以測量的微小量，通過光杠桿的放大作用，使之變?yōu)槿菀椎臏y得的較大量：D、b、△n。

因?yàn)槲覀冎澜饘俳z的截面積為S=■πd■，將之與（2）代入（1）兩式可得：

Y=■（3）

3 實(shí)驗(yàn)過程

3.1 楊氏模量測定儀的調(diào)節(jié)

3.2 光杠桿及望遠(yuǎn)鏡尺組的調(diào)節(jié)

1）粗調(diào)—調(diào)節(jié)光杠桿及望遠(yuǎn)鏡、標(biāo)尺中部在同一高度上。

2）鏡外找像—缺口、豎尺、平面鏡中標(biāo)尺的像在一個(gè)平面內(nèi)。

3）鏡內(nèi)找像—先調(diào)節(jié)目鏡使叉絲清晰，在調(diào)節(jié)調(diào)焦鈕看清標(biāo)尺像直到無視差為準(zhǔn)。

4）細(xì)調(diào)—對準(zhǔn)標(biāo)尺像的零刻度線附近的任意刻度線，并記錄讀數(shù)n。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄

4.2 利用逐差法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理

利用常規(guī)的逐差法解得：

楊氏模量

Y=■=■=1.752×1011Pa

相對誤差：η=■100%=7.79%

4.3 利用EXCLE對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理

將公式Y(jié)=8FLD/（πd■b△n）=8mgLD/（πd■b△n）做一變形可得：

△n=（8LD/πd2bY）×F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

即△n隨F的變化而變化。利用EXCLE可以計(jì)算出砝碼所受重力和△n大?。ㄒ姼郊?）。

將砝碼所受重力G與△n的值輸入EXCLE可得如圖3。

圖3

由圖3可以讀出此直線的斜率k=0.0012。利用EXCLE可以計(jì)算出鐵絲的長度L、鏡面到標(biāo)尺的距離D、后足尖到兩前足尖連線的垂直距離b及鐵絲的直徑d的平均值。（見附件2）

利用EXCLE將L、D、b、d的平均值及k值代入Y=■中，得到Y(jié)=1.763×1011Pa。

相對誤差：η=■×100%=7.21%

4.4 利用MATLAB對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理

同理，也是將公式Y(jié)=8FLD/（πd2b△n）=8mgLD/（πd2b△n）做一變形可得：

△n=（8LD/πd2bY）F 即△n隨F的變化而變化。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的程序如下：

m=0：9;

F=m*9.8;

n1=0.16;

n2=0.1719;

n3=0.1839;

n4=0.1955;

n5=0.2070;

n6=0.2189;

n7=0.2293;

n8=0.2411;

n9=0.2523;

n10=0.264;

n11=0.1598;

n12=0.1720;

n13=0.1842;

n14=0.196;

n15=0.208;

n16=0.2192;

n17=0.231;

n18=0.2432;

n19=0.2532;

n20=0.264;

n21=（n1+n11）/2;

n22=（n2+n12）/2;

n23=（n3+n13）/2;

n24=（n4+n14）/2;

n25=（n5+n15）/2;

n26=（n6+n16）/2;

n27=（n7+n17）/2;

n28=（n8+n18）/2;

n29=（n9+n19）/2;

n30=（n10+n20）/2;

n31=n22-n21;

n32=n23-n21;

n33=n24-n21;

n34=n25-n21;

n35=n26-n21;

n36=n27-n21;

n37=n28-n21;

n38=n29-n21;

n39=n30-n21;

n=[0，n31，n32，n33，n34，n35，n36，n37，n38，n39];

plot（F，n）;

由該程序得到如圖4。

再運(yùn)行程序：

h=1;plot（F，n，h）;

可以得到圖5，即可得到此直線的斜率k=0.0012。

圖5

在MATLAB中輸入程序：

L=[0.7401，0.741，0.7405，0.7405，0.7403];avg_L=mean（L）

輸出：avg_L =

0.7405

輸入：D=[2.0604，2.061，2.0608，2.061，2.0604];

avg_D=mean（D）

輸出：avg_D =

2.0607

輸入：d=[0.000482，0.000489，0.000488，0.000481，0.000483];

avg_d=mean（d）

輸出：avg_d =

4.8460e-04

輸入：b=[0.07815，0.07815，0.07812，0.07807，0.07815];

avg_b=mean（b）

輸出：avg_b =

0.0781

從而得到L、D、b及d的值，代入Y=■，即Y=1.767×1011Pa

相對誤差：η=■100%=7.00%

5 結(jié)論

我們知道鐵絲楊氏模量的實(shí)驗(yàn)參考值為Y■=1.90×10■Pa.本次實(shí)驗(yàn)的三種計(jì)算結(jié)果都分別是Y■=1.75×10■Pa，Y■=1.76×10■Pa，Y■=1.77×10■Pa。實(shí)驗(yàn)值和參考值之間明顯存在差值，對應(yīng)誤差分別為η■=7.79%，η■=7.21%，η■=7.00%。究其誤差原因：1）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)過程中，需在加完或減完砝碼時(shí)，鐵絲不晃動的時(shí)候讀數(shù)，所以有可能在某一次實(shí)驗(yàn)時(shí)，忽略了此細(xì)節(jié)。2）實(shí)驗(yàn)室的金屬絲用的時(shí)間太久。比起一根新的鐵絲，實(shí)驗(yàn)室的鐵絲經(jīng)常用來實(shí)驗(yàn)，經(jīng)常被拉伸，彈性性能大不如以前。實(shí)驗(yàn)結(jié)果就會和準(zhǔn)確值之間存在差異。就實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過程來看，用逐差法計(jì)算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)過程煩瑣、計(jì)算量大，而EXCLE處理數(shù)據(jù)需要多個(gè)表格來計(jì)算各物理量。這種方法雖避免了人為計(jì)算的誤差，但整個(gè)計(jì)算過程變得很混亂。MATLAB是通過輸入相應(yīng)的程序來計(jì)算物理量的。本篇文章的目的是找到一個(gè)誤差最小的、過程簡潔的數(shù)據(jù)處理方法并將之在實(shí)驗(yàn)中推廣。由上述比較可以看出，MATLAB的誤差較小，過程也相對來說較為簡潔，可以考慮將MATLAB在今后的實(shí)驗(yàn)中做一推廣。這一方法不僅可以很好地處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，也可以提高同學(xué)們的科研能力。但由于我們專業(yè)的學(xué)生對MATLAB的學(xué)習(xí)只停留在表面，再加上利用MATLAB編程本身就比較難。要想很好地將之運(yùn)用到實(shí)驗(yàn)中是非常困難的。所以大學(xué)的課程設(shè)置中一定要將這些計(jì)算機(jī)軟件的學(xué)習(xí)重視起來，讓學(xué)生在運(yùn)用這些軟件時(shí)得心應(yīng)手。

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