數(shù)形結(jié)合在物理解題中的應(yīng)用

余水斌

摘? ?要：數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng)是將數(shù)與形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，本文闡述在物理解題中巧妙地把數(shù)轉(zhuǎn)變成形，或把形轉(zhuǎn)變成數(shù)，使抽象的實(shí)際的物理問題變得簡(jiǎn)單明了。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)形結(jié)合;解題

引言

近年來(lái)高考題目中數(shù)對(duì)形結(jié)合的題型考查所占分?jǐn)?shù)的比重越來(lái)越大，高考中借助數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問題越來(lái)越受到命題者的重視。高中物理新課標(biāo)中也明確要求，物理教學(xué)的核心素養(yǎng)是要求學(xué)生能用多種方法分析，解決物理問題，包括利用物理規(guī)律構(gòu)建物理模型，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)構(gòu)建物理模型等。物理問題的分析在一定程度上是利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)展開的，而數(shù)形結(jié)合能更好地解決物理的抽象問題和實(shí)際的問題。這類題目的難點(diǎn)和要點(diǎn)主要集中在對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解上。為了更好的認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合在物理教學(xué)中的應(yīng)用，將從以下幾個(gè)方面來(lái)闡述我的觀點(diǎn)。

1? 數(shù)形結(jié)合思維的核心素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合是一種科學(xué)思維方式，物理教學(xué)中體現(xiàn)在將數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與物理圖形有機(jī)地結(jié)合在一起，即抽象的物理概念與具體的物理事實(shí)合理結(jié)合的體現(xiàn)。它能夠清晰的反應(yīng)物理過(guò)程，能客觀地實(shí)事求是反應(yīng)物理實(shí)驗(yàn)規(guī)律，方便學(xué)生歸納得出結(jié)論。還能簡(jiǎn)潔、形象、明了、直觀地呈現(xiàn)兩個(gè)甚至多個(gè)物理量之間的聯(lián)系。因此，利用數(shù)形結(jié)合的思維的方式，來(lái)分析物理問題的方法有著巧妙的應(yīng)用。我們可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合中的圖形直接分析和解題。一些對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及情景分析的問題，如判斷物體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)、過(guò)程是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，電阻一定時(shí)電阻兩端的電壓和電流是否成正比，在分析兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的追及與相遇類問題時(shí)等等，這些問題常常可運(yùn)用圖象直接解答，使問題變得簡(jiǎn)單又明了。如果能夠用物理圖象描述，一般說(shuō)來(lái)總是有直觀、容易理解的特征，能在高考中提高解題的正確率，又能節(jié)省出寶貴的時(shí)間來(lái)解答和思考其他問題。物理學(xué)科是一門自然學(xué)科，物理知識(shí)來(lái)源于生活中的提練，還再融合了其它學(xué)科的知識(shí)，比如數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)物理的表達(dá)與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，反映出圖與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系?；诖耍覀兤綍r(shí)在物理教學(xué)中或在物理問題的解答中應(yīng)多滲透數(shù)形結(jié)合思想的思維方法。

2? 物理解題中的數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種重要方法，物理離不開數(shù)學(xué)的幫助。實(shí)際問題的解決過(guò)程可分為兩類情況：一是通過(guò)數(shù)的精確表達(dá)式來(lái)顯化形的某些規(guī)律性，二是通過(guò)形的幾何性質(zhì)，反映出數(shù)學(xué)函數(shù)的特點(diǎn)。

2.1? 數(shù)形結(jié)合中由數(shù)轉(zhuǎn)變成形的應(yīng)用

2.1.1? 數(shù)形結(jié)合中的形主要是指圖形，它包括幾何圖形、函數(shù)圖形、實(shí)物圖形等。

物理的學(xué)習(xí)更離不開圖形，物理教學(xué)中借助圖形直觀描述物理過(guò)程、形象地反映物理規(guī)律、表示物理量間關(guān)系及變化特點(diǎn)。因此我們要弄清圖線的形狀是直線還是曲線、截距、斜率、交點(diǎn)、面積所代表的物理意義。如在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的速度和時(shí)間的關(guān)系時(shí)，用公式vt=vo+at來(lái)描述的話比較復(fù)雜，但轉(zhuǎn)化成圖形來(lái)分析就更易理解了，采用數(shù)形結(jié)合，用換元法，令vt換成y，t換成x，變成了y=b+kx，這在數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，則從圖象中可以得出截距、斜率、面積，它們分別代表初速度、加速度和位移的大小，簡(jiǎn)單直觀明了。

在求解一些多過(guò)程物理問題時(shí)，由于題目中已知各個(gè)物理量之間的相互關(guān)系比較復(fù)雜，且經(jīng)過(guò)多個(gè)過(guò)程，想要完成求解必須要根據(jù)多個(gè)物理規(guī)律用到多個(gè)的物理公式，列方程組，并要解方程組才能得出結(jié)論，由此給學(xué)生增加了解題的難度和求解所需時(shí)間。因此，在分析求解這些問題時(shí)，我們可以試著換一種思路，用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)分析，用數(shù)學(xué)的函數(shù)圖象來(lái)表達(dá)題意，再用數(shù)學(xué)有關(guān)知識(shí)結(jié)合物理規(guī)律求解得出結(jié)論，這樣會(huì)使原本復(fù)雜的物理問題得到了大大的簡(jiǎn)化，從而很大程度提升了問題的求解效率并且節(jié)省了寶貴的時(shí)間。

例如一個(gè)人乘電梯上升加速用了3s，勻速用了9s，最后減速用了2s，總共上升了23m，問電梯勻速的速度是多少？

本題題目短，看起來(lái)簡(jiǎn)單，實(shí)際上不簡(jiǎn)單。題中物體經(jīng)過(guò)分為三個(gè)過(guò)程，如果用普通的方法解，得用數(shù)學(xué)中的方程組來(lái)解，但繁雜。

如果采用數(shù)形結(jié)合的方法那要簡(jiǎn)單的多。把題目中的過(guò)程用v-t圖象描述出來(lái)，如圖1所示，再根據(jù)v-t圖象中曲線和t軸v軸所圍成的面積的大小等于物體通過(guò)的位移大小，設(shè)物體勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，則通過(guò)圖象求面積s=，代入數(shù)據(jù)馬上得出v=2m/s。

2.1.2? 利用數(shù)形結(jié)合中的形來(lái)審題

物理解題是否成功，正確的審題是關(guān)鍵，錯(cuò)審、漏審、或答非所問，都會(huì)造成解題的失誤，這些都是高中學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，也是高考丟分較嚴(yán)重的地方，因此掌握合理的正確的審題是非常有意義的。正確有效的審題方法往往能給學(xué)生產(chǎn)生巧妙又簡(jiǎn)單明了的解題思路，審題方法多種多樣，其中數(shù)形結(jié)合是物理審題中最有效、最合理、最常見的思想方法之一，所以審題時(shí)我們首先要考慮是數(shù)形結(jié)合的方法。而物理學(xué)中題目所描述物理過(guò)程，物理規(guī)律，物理數(shù)據(jù)往往是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述的，而大多數(shù)題目是沒有給圖形的，它們既復(fù)雜又抽象.因此物理問題的求解過(guò)程主要是過(guò)程分析和情景的理解，而較常用的就是列式，甚至列方程組求解，所以常利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)審題，實(shí)現(xiàn)思路的融會(huì)貫通，達(dá)到數(shù)與形的結(jié)合，達(dá)到解決問題的目的。

2.1.3? 利用數(shù)形結(jié)合中的形來(lái)描述物體的動(dòng)態(tài)平移問題

動(dòng)態(tài)矢量圖是一種將復(fù)雜的物理過(guò)程問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用圖解的幾何知識(shí)來(lái)解題的思想方法，即通過(guò)矢量運(yùn)算，結(jié)合矢量的平行四邊形定則確定線段的大小、矢量的方向、角度的大小等幾何量可以直接反映所研究物理量的大小或變化過(guò)程，非常直觀明了，學(xué)生也更容易理解和掌握，同時(shí)也可以開拓學(xué)生的解題思路。

如圖2所示，固定三角形上放著一個(gè)小球，被一豎直擋板擋住處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)使擋板由豎直緩慢轉(zhuǎn)向水平方向且保持小球靜止?fàn)顟B(tài)，求在這個(gè)過(guò)程中小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫ψ兓闆r如何？

分析：這是個(gè)動(dòng)態(tài)平衡問題，如直接按常規(guī)的方法，利用物理規(guī)律來(lái)解將非常的復(fù)雜，甚至解不出來(lái)。但如利用數(shù)形結(jié)合的思想，把一個(gè)物理問題轉(zhuǎn)化為圖形問題將會(huì)使問題變的簡(jiǎn)單化。如圖3所示，N1表示擋板對(duì)小球的壓力，N2表示斜面對(duì)小球的壓力，G表示小球受到的重力。先對(duì)小球 受力分析畫出小球所受的原始力，作出原始的平行四邊形，再結(jié)合本題的特點(diǎn)，“緩慢平移”可視為動(dòng)態(tài)平衡，其中重力G的大小和方向都不變，圖中的對(duì)角線長(zhǎng)度表示重力的大小，斜面的彈力N2 的方向不變， 因此作圖時(shí)讓對(duì)角線不動(dòng)，作出幾個(gè)平行四邊形，利用幾何線段的長(zhǎng)短變化來(lái)判斷各個(gè)力的變化趨勢(shì)，最終由圖可知N2的線段逐漸變短，則代表小球?qū)π泵娴膲毫2逐漸變小，擋板對(duì)小球的壓力N1的線段先變短后變長(zhǎng)，則代表小球?qū)醢宓膲毫1先變小后變大。

2.2? 數(shù)形結(jié)合中由形轉(zhuǎn)變成數(shù)的應(yīng)用

在物理題目中往往是針對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或變化規(guī)律而給設(shè)定的圖形，僅按照題目所給定的圖形已知的信息是很難解決問題的，要解這類問題除了對(duì)給定的圖形進(jìn)行詳細(xì)的分析外，還要弄清楚圖象的含義，代表什么物理量，及圖象的斜率面積各代表什么含義，后利用物理規(guī)律，概念或公式寫出原始表達(dá)式，再結(jié)合圖象把原始表達(dá)式整成縱軸關(guān)于橫軸的函數(shù)表達(dá)式，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再根據(jù)數(shù)學(xué)的正比例函數(shù)，一次函數(shù)，雙曲線函數(shù)，或拋物線等的特點(diǎn)，結(jié)合圖象中的數(shù)據(jù)如截距，斜率，面積等來(lái)解題，隨后再將直觀的圖形問題的有關(guān)信息和規(guī)律轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程形式或代數(shù)形式問題，有效地把已知量和未知量建立起相互關(guān)系，呈現(xiàn)出明顯的物理變化規(guī)律，最終可以完成問題的解答。如圖4所示，圖線A和B分別表示A，B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度a隨半徑r變化的關(guān)系，從A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度隨半徑變化的關(guān)系圖線中是否可以看出，隨著半徑r的增加，是線速度v保持不變，還是角速度w的大小保持不變。分析本題只憑圖象很難作出正確的選擇，但利用數(shù)形結(jié)合中的形轉(zhuǎn)變成數(shù)的思想就很好理解了。通過(guò)對(duì)圖象的觀察，發(fā)現(xiàn)A、B兩物體的圖線分別表示正比例函數(shù)和雙曲線函數(shù)，而縱軸是a，橫軸是r，結(jié)合本題的圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，利用向心力的公式a=w2r和a=v2/r，再利用換元法把a(bǔ)換成y，把r換成x，可得B圖為正比例函數(shù)，判定w為定值是不變的，A 圖線為雙曲線，判定v為定值是不變的。數(shù)形結(jié)合使問題簡(jiǎn)化了。

3? 近來(lái)高考中物理解題中的數(shù)形結(jié)合的展望

剛結(jié)束的2018普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜凭C合物理試題中共13題，其中就有9個(gè)題目需要用到數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決的，有些題目本身并沒有給圖形，但為了更好的審題理解題意，需要借助圖形來(lái)理解，邊審題邊畫草圖邊把題目中的已知量標(biāo)在圖中。大多數(shù)物理題目的解法都類似，往往都是先用物理規(guī)律或物理公式列出相關(guān)表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)的換元法把它換元成數(shù)學(xué)的函數(shù)形式，再根據(jù)相關(guān)物理量的取值范圍，利用函數(shù)圖像或函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)，如圖象的交點(diǎn)，斜率，面積，截距等求出相關(guān)值。但有時(shí)變量個(gè)數(shù)有兩個(gè)而且不完全獨(dú)立，這時(shí)就須再找另外的物理規(guī)律列方程，利用數(shù)學(xué)規(guī)律來(lái)解方程組。

4? 結(jié)束語(yǔ)

總之，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決物理問題，往往能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而更加快捷尋求最佳解題思路和方法[ 1 ]。而物理題目往往文字多，內(nèi)容廣，過(guò)程復(fù)雜，而又沒有給圖，讓學(xué)生感到一團(tuán)麻，這就需要考生從復(fù)雜的題目中提練出有用的信息，借助數(shù)形結(jié)合中的圖形來(lái)審題，將會(huì)使得學(xué)生審題效率及正確率大大地提高。在具體應(yīng)用中，教師需要進(jìn)行全面歸納和總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)物理概念和規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)，拓寬學(xué)生的思路，對(duì)物理問題的解決發(fā)揮指導(dǎo)性的作用。同時(shí)，教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法[ 2 ]，使學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用習(xí)慣，這樣有助于學(xué)生高效的學(xué)習(xí)物理。

參考文獻(xiàn)：

[1]叢杰.對(duì)加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的思考與實(shí)踐[J].徐特立研究，1997（3）：20.

[2]周玟秋.淺談高中物理解題與數(shù)形結(jié)合思想[J].新校園（中旬），2016（8）：30.