唐錄義，李 巍

（安徽省樅陽縣浮山中學(xué)；寧夏銀川市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

一、“誤中悟”的設(shè)想背景

2005年，94歲高齡的錢學(xué)森老人感慨地說：“為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出的創(chuàng)新人才？”其實(shí)，很多國家對(duì)創(chuàng)新人才培養(yǎng)問題絲毫不敢懈怠.美國加州大學(xué)洛杉磯分校教務(wù)長(zhǎng)帕崔西婭·特納曾闡述過，創(chuàng)造力主要來源于好奇心、想象力和批判性思維.她認(rèn)為，人天生就具有好奇心，基礎(chǔ)教育要特別注意培養(yǎng)學(xué)生天生的好奇心，使其發(fā)展起來，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生犯錯(cuò)誤，并且能從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)犯錯(cuò)誤就是保護(hù)好奇心，發(fā)展想象力，就是鼓勵(lì)創(chuàng)新.

有個(gè)中國孩子在日本上學(xué)，這個(gè)孩子的日語不好，但上課發(fā)言非常積極.孩子的父母問他怎么就不怕出錯(cuò)，孩子回答說：不怕，老師說教室就是出錯(cuò)的地方.教室，出錯(cuò)的地方，多好的理念！

古人也倡導(dǎo)善待錯(cuò)誤.子路，人告之以有過則喜（《孟子·公孫丑上》）.人恒過，然后能改，困于心，衡于慮，而后作（《孟子·告子下》）.君子之過也，如日月之食焉.過也，人皆見之；更也，人皆仰之（《論語·子張》）.人誰無過？過而能改，善莫大焉（《左傳·宣公二年》）.

可見，古今中外的教育有識(shí)之士對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤都有一個(gè)共同的態(tài)度，那就是善待錯(cuò)誤，包容錯(cuò)誤，錯(cuò)誤是最大的學(xué)習(xí)資源，成長(zhǎng)即在錯(cuò)誤發(fā)生時(shí).對(duì)于學(xué)習(xí)而言，展示錯(cuò)誤比展示正確貢獻(xiàn)更大.我們要做的工作就是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、利用錯(cuò)誤、善待錯(cuò)誤！學(xué)習(xí)過程中不怕學(xué)生犯錯(cuò)誤，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)及時(shí)給予安慰、幫助、鼓勵(lì).否則，學(xué)生會(huì)因害怕犯錯(cuò)誤后受批評(píng)而不敢按照自己的想法去說、去做，思維就會(huì)受到限制，行為就會(huì)受到約束，創(chuàng)新精神就會(huì)受到壓抑.學(xué)生在成長(zhǎng)過程中，有錯(cuò)誤是正常的，改正錯(cuò)誤的過程本身就是學(xué)習(xí)的過程.相反，如果用挑剔的眼光看待學(xué)生，怕學(xué)生犯錯(cuò)誤，甚至一點(diǎn)錯(cuò)誤也不行，那么，學(xué)生只好老老實(shí)實(shí)，規(guī)規(guī)矩矩，按照要求“一絲不茍”地去執(zhí)行.這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生一定會(huì)失去個(gè)性，失去創(chuàng)造力.

長(zhǎng)期以來，我們的教育過分關(guān)注了學(xué)生的基礎(chǔ)思維智能，過分偏重應(yīng)試力的培養(yǎng)，而忽視了以批判性思維為核心的高級(jí)思維智能，忽視了思考力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)處于淺層次的簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)階段，壓抑了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，造成學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的缺失.

國務(wù)院辦公廳于2019年6月11日發(fā)布了《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》（以下簡(jiǎn)稱“指導(dǎo)意見”）.“指導(dǎo)意見”強(qiáng)調(diào)深化考試命題改革，優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題.通過考試命題改革使過去屢試屢爽的死記硬背、機(jī)械刷題、套路訓(xùn)練、題海戰(zhàn)術(shù)的刷題教學(xué)模式在高考的考場(chǎng)上失靈，考不到高分而使受益降低，失去家長(zhǎng)的熱捧而市場(chǎng)蕭條，有效遏制應(yīng)試教育，強(qiáng)力推進(jìn)素質(zhì)教育.

素質(zhì)教育的落實(shí)在課堂.因此，“指導(dǎo)意見”號(hào)召要深化課堂教學(xué)改革，要以培養(yǎng)適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力等核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，積極推廣應(yīng)用優(yōu)秀教學(xué)成果.

其實(shí)，我國中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)育人方式的改革從未停止過前行的腳步.章建躍博士“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)”的“四個(gè)理解”重要思想為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課堂的育人方式的改革提供了方向指引和基本原則.“沒有過程=沒有思想”“教好數(shù)學(xué)就是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”“理性思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的靈魂”“數(shù)學(xué)育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量”“數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式”“推理是數(shù)學(xué)的命根子”“運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功”等，他的這些觀點(diǎn)閃耀著新時(shí)代教育思想的光輝，照亮了我國中學(xué)教育的每一個(gè)數(shù)學(xué)課堂.

“理解數(shù)學(xué)”就是要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)基本思想和基本方法，理解數(shù)學(xué)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和邏輯體系，理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值等.以“理解數(shù)學(xué)”為根本是數(shù)學(xué)教育的法.“理解學(xué)生”就是要理解學(xué)情，理解學(xué)生的已有認(rèn)知水平、個(gè)性品質(zhì)差異、數(shù)學(xué)悟感差異、最近發(fā)展區(qū)和身心發(fā)展規(guī)律等.以“理解學(xué)生”為中心，這是數(shù)學(xué)教育的道.“理解技術(shù)”就是要理解信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的輔助作用，要善于恰當(dāng)、合理、靈活地運(yùn)用教學(xué)軟件輔助課堂教學(xué).“君子生非異也，善假于物也”（荀子《勸學(xué)》）.以“理解技術(shù)”為工具，乃數(shù)學(xué)教育的器.“理解教學(xué)”就是要理解以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，基于情境和問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)的方式、方法和教學(xué)策略.以“理解教學(xué)”為關(guān)鍵是數(shù)學(xué)教育的術(shù).“四個(gè)理解”理論深刻闡明了數(shù)學(xué)教育的法、道、器、術(shù).

在“四個(gè)理解”思想的指引下，我們工作室聚焦以批判性思維為核心的核心素養(yǎng)，突出問題解決的整體性學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)共同體的深度學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)批判性思考和批判性學(xué)習(xí)、自主性思考和自主性學(xué)習(xí)，開展了“誤中悟”教育方式的實(shí)驗(yàn)探索.

二、“誤中悟”的意義界定

所謂“誤中悟”，就是在合適的情境下，從“誤區(qū)”出發(fā)，激疑生惑，問題引領(lǐng)，思維引擎，以自主、合作、探究的方式，經(jīng)過艱辛參悟、激發(fā)悟感、引發(fā)頓悟而獲得發(fā)現(xiàn)，再反思悟道的教學(xué)活動(dòng)方式.

“誤中悟”的“誤區(qū)”指的是在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，認(rèn)識(shí)上容易盯木蔽林、謬見誤解、激疑生惑，思路上容易迷失方向、誤入歧途、陷入困境的霧障遮蔽區(qū)域.最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一是學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平；二是學(xué)生可能的潛在發(fā)展水平.兩者之間的差距就是“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，發(fā)揮潛能，超越最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到其所能達(dá)到的更高水平.“誤中悟”的“誤區(qū)”就是最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的“挑戰(zhàn)性”內(nèi)容.

“誤區(qū)”也可以理解為主觀認(rèn)知與客觀真相之間的差距，誤區(qū)=客觀真相-主觀認(rèn)知.

我們把學(xué)習(xí)效率用變量x表示，學(xué)習(xí)效率的充分值為x0，主觀認(rèn)知為f(x)，客觀真相為A，則有這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)的意思是：學(xué)習(xí)效率越充分，主觀認(rèn)知就越逼近客觀真相.

熊川武教授提出未解和確解概念，未解是指不解、誤解、曲解，即必然王國.確解是指正確的、確定的理解，即自由王國.在無限發(fā)展的教學(xué)理解中，確解是相對(duì)的，未解是絕對(duì)的，確解中總是存在一定的未解，永遠(yuǎn)處于未完成狀態(tài)，而未解中可能存在一定的確解.未解與確解之間有一層蒙昧遮蔽，學(xué)習(xí)就是帶著未解而來，經(jīng)過去霧解蔽，懷著確解而歸.馬克思認(rèn)為人類不甘于誤解或愚昧的生存狀態(tài)，而不斷躬行解蔽，追求自由.人類的認(rèn)識(shí)過程就是不斷從必然王國走向自由王國.“誤區(qū)”又可以理解為未解與確解之間的“霧障”.

實(shí)際上，人類所有的創(chuàng)造性思維都帶有突發(fā)性，因此凡創(chuàng)造性思維都可以稱之為頓悟.學(xué)者劉奎林提出了“誘發(fā)靈感的機(jī)制序列鏈”即“境域—啟迪—躍遷—頓悟—驗(yàn)證”.境域，即指那種足可以誘發(fā)靈感迸發(fā)的充分且必要的境界.啟迪，即指機(jī)遇誘發(fā)靈感的偶然性信息.創(chuàng)造者的靈感蘊(yùn)育一經(jīng)達(dá)到飽和狀態(tài)，只要有某一相關(guān)信息偶然啟迪，傾刻間就可以豁然開朗.躍遷，即指靈感發(fā)生時(shí)的那種非邏輯質(zhì)變方式，經(jīng)過顯意識(shí)與潛意識(shí)的交互作用，潛意識(shí)即進(jìn)入一種跨躍推理程序的、非連續(xù)的質(zhì)變過程.頓悟，即指靈感在潛意識(shí)蘊(yùn)育成熟后，同顯意識(shí)溝通時(shí)的瞬間表現(xiàn).參悟，就是獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，進(jìn)行充分地、苦思冥想的思維活動(dòng).

這個(gè)理論同人們的經(jīng)驗(yàn)也很相符.譬如，進(jìn)行課題研究或教學(xué)設(shè)計(jì)，開始階段總是有意識(shí)地從各方面加以努力，然而卻難以理出頭緒.時(shí)而連續(xù)幾天的冥思苦想，卻無論如何也歸納不出可行的辦法.于是便焦躁不安，或陷入悲觀情緒之中，以致打算半途而廢.不知為什么，有時(shí)會(huì)突然地閃現(xiàn)出好主意來.這種經(jīng)過疑惑、醞釀、激發(fā)聯(lián)想、開竅、判斷等活動(dòng)獲得新的見解的過程就是“誤中悟”.

有人問郭思樂教授：“什么是教學(xué)？”郭教授回答說：“如果你告訴學(xué)生，3乘以5等于15，這不是教學(xué)；如果你說3乘以5等于什么，這就有一點(diǎn)是教學(xué)了；如果你有膽量說3乘以5等于14，那就更是教學(xué)了.因?yàn)楫?dāng)教師敢于拋出類似這樣一個(gè)常識(shí)性的“錯(cuò)誤”時(shí)，這個(gè)錯(cuò)誤就會(huì)在學(xué)生中形成‘反饋’，立馬會(huì)有人‘不顧禮貌’地站出來指正錯(cuò)誤，這就是‘學(xué)’.教學(xué)是3乘以5等于14，這句話的隱喻是，教學(xué)即把‘教’轉(zhuǎn)化為‘導(dǎo)’，引導(dǎo)學(xué)生“誤中悟”，激活數(shù)學(xué)悟感，最后轉(zhuǎn)化為‘學(xué)’”.

郭思樂教授在文章《人之悟感發(fā)展與教育的生本化改革》中闡述了悟感的意義：把兒童的語感、數(shù)感、樂感、美感、道德感、司機(jī)的方向感、游泳者的水感等統(tǒng)稱為悟感.悟感是一種“思維的感覺”，而不是“知覺的感覺”.悟感是一種前意識(shí)現(xiàn)象，主要功能在于為感悟的產(chǎn)生和思想的激活提供基礎(chǔ)性支持.悟感在精神生活中起著普遍基礎(chǔ)性作用，具有趨同性、能動(dòng)性、對(duì)于符號(hào)世界的蘊(yùn)含性、使認(rèn)識(shí)回歸本體的還原性.悟感與生俱來，又在自主活動(dòng)中發(fā)展.悟感有強(qiáng)弱之分，常說的靈性、靈犀就是悟感強(qiáng)的表現(xiàn).對(duì)知識(shí)的理解、能力的生成和問題的解決靈活、靈動(dòng)而富有創(chuàng)意，就是學(xué)習(xí)悟感強(qiáng).悟感雖然是先天稟賦，但也可以通過后天培養(yǎng)得以改善、增強(qiáng).

我們不妨把郭教授所指的“教學(xué)”理解為“誤中悟”教學(xué).關(guān)鍵是激疑生惑，獨(dú)立思考和合作交流，追求頓悟、悟道，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，真正將發(fā)展核心素養(yǎng)落到實(shí)處.“誤中悟”的基本思想是善待錯(cuò)誤，變困惑為反思，變反思為收獲，變錯(cuò)誤為資源.“誤中悟”通過問題情境揭露誤區(qū)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生內(nèi)心情感的頓悟和升華，點(diǎn)燃學(xué)生思想的火焰，進(jìn)而達(dá)到情感教育“無聲勝有聲”之效.“誤中悟”注重教育的人文關(guān)懷，注重學(xué)生自我感悟以及潛能開發(fā)，尊重學(xué)生個(gè)性和全面發(fā)展，通過教師科學(xué)合理地引導(dǎo)、點(diǎn)化，激發(fā)學(xué)生靈性而頓悟，點(diǎn)燃學(xué)生心靈深處的求知之火，培育學(xué)生的聰明智慧，促進(jìn)學(xué)生自我發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，實(shí)現(xiàn)真正意義上的人性化教育.簡(jiǎn)而言之，“誤中悟”的主旨就是從“誤區(qū)”出發(fā)，通過參悟、頓悟走向悟道，培養(yǎng)數(shù)學(xué)悟感，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“誤中悟”的著力點(diǎn)在“參悟”.孫悟空去學(xué)藝，菩提祖師在他后腦上打了三下，他眼珠亂轉(zhuǎn)，明白了其中的奧妙，于是半夜三更去后門找菩提就是“悟”.悟，理解，明白，覺醒，醒悟，禪悟，參悟，覺悟，悟性.在學(xué)習(xí)上參悟是一種過程，經(jīng)歷觀察、直感、想象、聯(lián)想、類比、猜想、歸納、比較、分析、演繹、綜合等一系列思維活動(dòng)，是一種凝思、揣摩、深度思考.

“誤中悟”可以簡(jiǎn)單概括為“一善四著”，即善待錯(cuò)誤，著眼誤區(qū)，著力參悟，激發(fā)悟感，著意頓悟，著重悟道.

參悟具有悟感激活性、質(zhì)疑批判性、探究嘗試性、思考艱辛性.頓悟具有突發(fā)性、誘發(fā)性、豁然開朗性、極度快樂性.通過顯意識(shí)的參悟，使悟感在前意識(shí)中得以激活，促進(jìn)靈感偶然誘發(fā)，沖破意識(shí)閥限，引發(fā)頓悟.這就是參悟、頓悟和悟感三者之間的關(guān)系.

人的顯意識(shí)在人的能量中僅僅是冰山一角，人的潛能猶如礦產(chǎn)資源，它們往往埋藏得很深，需要教育的力量去挖掘.

三、“誤中悟”課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)

根據(jù)“誤中悟”意義的界定，結(jié)合劉奎林“誘發(fā)靈感的機(jī)制序列鏈”理論和“博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之”等傳統(tǒng)教育思想，以及有關(guān)教育教學(xué)科研成果，遵循“四個(gè)理解”，堅(jiān)持以“理解學(xué)生”為中心，構(gòu)建了“誤中悟”方式的課堂教學(xué)的一般流程.基本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：博學(xué)情境—誤區(qū)審問—慎思參悟—明辨頓悟—悟中篤行—反思悟道.

1.博學(xué)情境

博學(xué)就是厚植知識(shí)的根基，理清知識(shí)的本源和背景，讓知識(shí)根植于廣博、深厚、肥沃的情境土壤之中，生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果.情境是指影響事物發(fā)生或?qū)C(jī)體行為產(chǎn)生影響的環(huán)境和條件，是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性的數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識(shí).情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境.問題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題，是誘發(fā)學(xué)生探究和思考的關(guān)鍵，是學(xué)習(xí)的靈魂.這一步要求根據(jù)情境設(shè)計(jì)出本節(jié)課的目標(biāo)性問題，即“大問題”.

2.誤區(qū)審問

學(xué)從疑處始，得自問中來.有所不明就要追問到底，對(duì)既有的觀點(diǎn)或做法持懷疑態(tài)度，具有不輕易接受現(xiàn)成結(jié)論的態(tài)度和追根究底的品格：從不同角度不斷提出新問題；堅(jiān)守真理的相對(duì)性，不迷信權(quán)威.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、批判性思維，僅釋疑解惑是不夠的，必須激疑生惑，引發(fā)認(rèn)知沖突，誘發(fā)求知欲望，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑問、提出問題，然后去分析解決問題.這個(gè)環(huán)節(jié)是從誤區(qū)出發(fā)，以目標(biāo)性問題為導(dǎo)向，設(shè)置若干層層遞進(jìn)的聚焦目標(biāo)性“大問題”的子問題.所謂“誤區(qū)”是指未解與確解之間的“霧障”.“誤中悟”學(xué)習(xí)方式旨在通過參悟、頓悟消去“霧障”，進(jìn)而從“誤區(qū)”走向悟道.古人也有切問近思的最近發(fā)展區(qū)思想.

3.慎思參悟

慎思參悟就是要深思而慎取.問過以后還要通過自己的思維活動(dòng)來仔細(xì)考察、思考、分析，以數(shù)學(xué)悟感為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮好奇心與想象力，不畏困難，堅(jiān)持不懈地探索，識(shí)別系統(tǒng)中的變量，分析它們之間的關(guān)系，區(qū)分事實(shí)與假設(shè)，辨別信息的真?zhèn)?，大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方案，借助證據(jù)和合理推理形式進(jìn)行有效論證.這一系列過程就是參悟的過程，參悟是以悟感為基礎(chǔ)的.所謂悟感，是一種前意識(shí)現(xiàn)象，為感悟、頓悟的產(chǎn)生提供基礎(chǔ)性支持.數(shù)學(xué)悟感在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著普遍基礎(chǔ)性作用，它與生俱來，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，又在自主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中得到發(fā)展，隨著數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的日積月累而不斷增強(qiáng).

4.明辨頓悟

學(xué)是越辯越明的.經(jīng)過交流、討論、爭(zhēng)辯，對(duì)百思不得其解的問題，突然靈光一現(xiàn)，看出問題情境中的各種關(guān)系并產(chǎn)生了頓悟和理解，獲得新的發(fā)現(xiàn).有如“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)功夫”“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的意境.要鼓勵(lì)爭(zhēng)辯、爭(zhēng)鳴，美國莊臣公司總經(jīng)理詹姆士·波克提出的著名的波克定理認(rèn)為，只有在爭(zhēng)辯中，才可能誕生最好的主意和最好的決定.無摩擦便無磨合，有爭(zhēng)論才有高論.

5.悟中篤行

在學(xué)生獲得領(lǐng)悟后，精心設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，注重基礎(chǔ)性、探究性、實(shí)踐性、綜合性的作業(yè)，體現(xiàn)有關(guān)、有用、有趣.鞏固“誤中悟”的成果，使所悟固化為本領(lǐng)和素養(yǎng)，即悟中固.探尋“霧之誤”的歸因，探求“悟之固”的途徑，從“霧中誤”到“誤中悟”，再到“悟中固”.

6.反思悟道

學(xué)習(xí)要在活動(dòng)中進(jìn)行建構(gòu)，要求對(duì)自己的活動(dòng)過程不斷地進(jìn)行反省、概括和抽象.“反思”屬于元認(rèn)知的范疇.元認(rèn)知的理論認(rèn)為，反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對(duì)自身學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程及活動(dòng)過程中所涉及的有關(guān)的信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.因此，反思性學(xué)習(xí)不僅僅是一般性的回顧或重復(fù)，而是對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、思路、策略的一種再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過程，它是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié).“提煉”就是對(duì)眾多的現(xiàn)象、材料，大量的實(shí)例分析反思后進(jìn)行提取與抽象.提煉可以讓我們對(duì)事物由一般感覺層面升華到本質(zhì)認(rèn)識(shí)層面，從而發(fā)現(xiàn)真諦.通過執(zhí)著、堅(jiān)守、千淘萬漉的、冷靜的分析，對(duì)頓悟獲得的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步精細(xì)化、精致化，提煉成一般性規(guī)律和結(jié)論，并進(jìn)一步反思感悟，悟過程、悟方法、悟思想、悟結(jié)構(gòu)、悟本質(zhì)，從而悟出經(jīng)驗(yàn)、悟出智慧、悟出核心素養(yǎng).華羅庚教授所說的讀書是一個(gè)由薄到厚再由厚到薄的過程，古人的“為學(xué)日增，為道日減”，都是這個(gè)道理.這種提煉、反思、感悟的過程就是反思悟道.

四、一個(gè)案例

環(huán)節(jié)1（博學(xué)情境）：課堂引入，提出問題.

問題1：函數(shù)留給你印象最深的地方是什么？

問題2：是函數(shù)嗎？為什么？

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)內(nèi)部情境，溫故知新，把學(xué)生的思緒引向主旨研究的意境之中，切問近思，喚醒最近發(fā)展區(qū).

問題3：與以前學(xué)過的函數(shù)有什么不同？

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子是由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)組合而成.

環(huán)節(jié)2（誤區(qū)審問）：瞄準(zhǔn)誤區(qū)，探尋方向.

問題4：你認(rèn)為怎樣利用已知函數(shù)來研究新函數(shù)的圖象和性質(zhì)呢？

引導(dǎo)學(xué)生從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面探尋研究方向.由于新函數(shù)含參數(shù)k，單調(diào)區(qū)間的確定有困難，同時(shí)學(xué)生又缺乏利用已知函數(shù)研究新函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，這些便是最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的“挑戰(zhàn)性”問題，即“誤區(qū)”.目標(biāo)是希望獲得利用確解的函數(shù)探究未解的新函數(shù)的圖象與性質(zhì)的一般方法.

環(huán)節(jié)3（慎思參悟）：?jiǎn)⒌纤季S，探究問題.

問題5：函數(shù)的初步性質(zhì)如何？應(yīng)該怎樣研究？

以退為進(jìn)，特殊化，從簡(jiǎn)單情形入手.取k=1進(jìn)行特例研究.

問題6：怎樣畫出函數(shù)的圖象呢？

參悟過程應(yīng)有張有馳，有序有效.

（1）依據(jù)奇、偶性可以決定先研究第一象限內(nèi)的圖象.

（2）學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，自然想到列表、描點(diǎn)、連線，再結(jié)合奇、偶性，可以畫出大致圖象.要尊重并肯定學(xué)生的真實(shí)想法，但是由于他們沒有利用已知函數(shù)研究新函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然會(huì)如此想.再反觀問題4，他們會(huì)覺得自己的想法不如意，疑慮重重，于是陷入“誤區(qū)”，處于憤悱狀態(tài)，激疑生惑：用描點(diǎn)法處理此問題的局限性在哪里？反比例函數(shù)在第一象限與兩個(gè)坐標(biāo)軸都無限接近但不可能相交，那么與之相關(guān)的新函數(shù)是否也會(huì)存在某種類似特征呢？新函數(shù)與這兩個(gè)已知函數(shù)有怎樣的聯(lián)系呢？這些你通過列表、描點(diǎn)、連線的方法能發(fā)現(xiàn)嗎？順勢(shì)點(diǎn)撥，利用兩個(gè)熟悉的函數(shù)和y=x，通過極限逼近的思想來參悟.

（4）確定頂點(diǎn)位置.

（5）畫出大致圖象.

圖1

圖2

問題7：通過觀察函數(shù)的圖象，可以進(jìn)一步得出哪些性質(zhì)？

問題8：函數(shù)的圖象有什么變化規(guī)律？性質(zhì)如何呢？

從特殊到一般，對(duì)參數(shù)k的值進(jìn)行變化，通過幾何畫板軟件的演示，觀察參數(shù)k的值對(duì)圖象的影響，揭示函數(shù)的圖象的變化規(guī)律，在變中鎖定不變.

問題9：怎樣研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)？圖象大致會(huì)怎樣？有哪些性質(zhì)？

有了k＞0的探路，k＜0的情形也就輕車熟路了，采取自主學(xué)習(xí)、合作探究、展示交流的方式.

環(huán)節(jié)4（明辨頓悟）：步步深入，獲得發(fā)現(xiàn)，成果生成.

問題10：還有其他的情況嗎？

問題11：通過比較，你能概括函數(shù)的圖象的特征嗎？

通過艱辛參悟，靈感已經(jīng)在潛意識(shí)中孕育成熟，逼近目標(biāo)，豁然開朗，難在叢巒疊嶂無覓處，益于閉門思愆頓悟時(shí).

問題12：你還能觀察出圖象的其他性質(zhì)嗎？（不需要證明.）

環(huán)節(jié)5（悟中篤行）：范例分析，鞏固提高.

例1當(dāng)k=0時(shí)，是函數(shù)嗎？畫出它的圖象.

例2常數(shù)a＞0，函數(shù)在區(qū)間[a,+∞)上的最小值是多少？

練習(xí)：常數(shù)a＞0，函數(shù)在區(qū)間[4,+∞)上的最小值是多少？

使所悟固化為能力，提升為經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)6（反思悟道）：課堂總結(jié)，延伸拓展，布局方向，接續(xù)探究.

課堂小結(jié)：（1）你知道研究一個(gè)新函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本路徑嗎？

（2）學(xué)習(xí)的過程體現(xiàn)出哪些數(shù)學(xué)思想方法？

反觀學(xué)習(xí)過程，升華感悟，悟過程、悟思想、悟方法、悟經(jīng)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)剛開始，“誤中悟”有待在直覺的思考、直觀的想象、概念的理解、問題的解決等多個(gè)方面進(jìn)行更深入的實(shí)踐研究.