格點圖上的數(shù)學問題設(shè)計與課后反思

毛 健，孫琪斌，鄭 瑄

（同濟大學附屬實驗中學；上海市嘉定區(qū)教育學院；浙江省寧波市江北區(qū)教研室）

一、教學素材的來源

題目圖1是由4×4個大小完全一樣的小正方形組成的方格紙，其中有兩個小正方形已經(jīng)被涂成陰影.試在圖1中再選擇三個小正方形并涂成陰影，使得圖中的五個小正方形組成的陰影部分分別成為：（1）軸對稱圖形；（2）中心對稱圖形.

圖1

二、閱卷期間的思考

上述題目選自上海市嘉定區(qū)七年級第一學期期末教學質(zhì)量檢測第24題.制定評分標準時，關(guān)于軸對稱圖形，命題者羅列了很多方法，學生在試卷上的答案也是多種多樣.究竟有多少種方法？如何不重不漏、有序找出符合題意的所有答案？如何引導課堂從“以知識掌握為核心”走進“以思維交流為核心”的境界？如何讓學困生與優(yōu)等生都能夠在課堂上獲得不同程度的發(fā)展？

帶著這些問題，上海市同濟大學附屬實驗中學毛健老師以“格點圖上的對稱問題”為題執(zhí)教了一節(jié)試卷講評課（區(qū)級公開課）.在此基礎(chǔ)上，孫琪斌老師將該節(jié)課進行了教學再設(shè)計，并在中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會舉辦的首屆“中學數(shù)學名師工作室工作研討與培訓會”上作為研究課進行了學術(shù)交流.

三、教學設(shè)計

1.教學目標及教學重、難點

教學目標：（1）借助格點圖直觀設(shè)計軸對稱圖形；（2）經(jīng)歷從一個方法到一類方法的探究過程；（3）感受理性思考的需要與必要.

教學重點：在格點圖上設(shè)計軸對稱圖形的算法與算理.

教學難點：在格點圖上自主設(shè)計新問題.

2.活動設(shè)置

為了便于交流，使用字母對格點圖中的小正方形進行如圖2所示的編碼.

圖2

活動1：小組探究.

（1）找到一個方法；（2）尋找某種規(guī)律；（3）提煉通性、通法；（4）思維可視化（清晰、簡明地表述思考過程）.

學生以小組為單位嘗試完成活動1.

活動2：抽簽提問.

問題1：你是先想到了符合題意的圖形，再嘗試尋找其對稱軸的，還是先尋找對稱軸，再嘗試發(fā)現(xiàn)符合題意的圖形？

活動2是利用抽簽的方式隨機選擇一個小組，展示小組合作學習成果.

追問：以圖3中的直線l為對稱軸，可以有序地說出符合題意的所有圖形嗎？可以用最簡潔的語言表達這個思考過程嗎？

圖3

預設(shè)思維分解過程如圖4所示（思維可視化表達）.

圖4

在嘗試翻折的過程中，擬以圖3為例，重點突出理性思考的過程，引導學生尋找第3個陰影小正方形與第4個小正方形.第3個小正方形或者在對稱軸上，或者不在對稱軸上.

（1）如果第3個小正方形在對稱軸（圖3中的直線l）上，那么其關(guān)于直線l的對稱圖形就是它自己.為此，需要尋找第4個小正方形.第4個小正方形如果在直線l上，需要繼續(xù)尋找第5個小正方形.因為每行每列都只有4個方格，所以第5個小正方形不可能與前四個正方形出現(xiàn)在同一列，一旦第5個小正方形出現(xiàn)在直線l之外，那么必定存在與其對稱的第6個小正方形（不符合題意，舍去）；由此，第4個小正方形只能出現(xiàn)在直線l之外.

（2）如果第3個小正方形在對稱軸（直線l）外，那么必定存在第4個小正方形與之對稱.第5個小正方形必定出現(xiàn)在對稱軸上.

是否每名學生都能夠理性尋找符合題意的圖形呢？如何組織已經(jīng)學會的學生主動幫助暫時尚未學會的學生？如何讓每名學困生都能夠得到真實有效的幫助，為此擬利用隨機抽簽確定小組發(fā)言人的方式組織第二次教學.

活動3：組織學生在小組內(nèi)互教互學；利用隨機抽簽的方式檢測合作學習的效果.

問題2：如果再指定一條直線作為對稱軸，小組內(nèi)的每名學生是不是都可以有序地找出符合題意的所有答案？

依據(jù)教學情況，隨機選擇一種情況（如圖5），與學生一起交流，促進更多學生達成教學目標.

圖5

活動4：應用拓展.

問題3：在解決問題2時，為尋找符合題意的所有圖形，你們還可以有序地理性呈現(xiàn)各自的思考過程嗎？試設(shè)計能夠解決問題的具體策略并進行可視化表達.

預設(shè)思維分解過程如圖6所示（思維可視化表達）.

圖6

活動5：自主命題，求變創(chuàng)新.

問題4：以如圖1所示的4×4個大小完全一樣的小正方形組成的方格紙為背景，提出一個新的數(shù)學問題.

分組展示各個小組設(shè)計的數(shù)學問題.

活動6：當堂檢測.

問題5：如圖7，要求只移動其中的一個陰影小正方形，只移動一次，且每次只移動一個方格（可以前后左右移動，也可以沿正方形的對角線的方向移動），使得移動后的陰影小正方形所組成的圖形依然是一個軸對稱圖形.

圖7

四、教學反思

1.忘記基于教學預設(shè)的展示，順應學情，在學中教，因勢利導

面對一個具體真實的學習內(nèi)容，學生的思維水平、思維速度和思維能力均存在客觀差異，因此學生不可能以相同的速度、用相同的學習方式同時達成教學目標.因此在教學過程中，在無法規(guī)避差異的前提下，教師要充分發(fā)揮率先學會的學生身上的資源，將生生之間的差異視為第二次教學的有效資源.教師通過設(shè)計問題鏈，組織學生小組合作探究，將每一個學生當堂達標視為教學目標，引導學生經(jīng)歷真實的學習過程.

在第一次教學（探究問題）的過程中，首先，讓學生自主閱讀，解決問題，按照例題回答出一種答案；其次，讓學生以小組為單位進行交流，搭建“低起點，高水平”的問題鏈，引導學生將問題層層剝離，嘗試從找到一個方法到發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律，再到找到一類方法.在組內(nèi)合作的過程中，形成思維碰撞，引導學生清晰、簡明地表述方法和結(jié)果；最后，選擇一個小組進行交流分享，其他小組進行補充，深化思維過程，引導學生找到問題的突破口——對稱軸.

將小組互助互學、抽簽展示、深度追問作為提升二次教學效果的教學改進策略，在學中教，異步達標.在基于教學目標樣題的達標檢測環(huán)節(jié)，東莞市東華初級中學九年級301班的學生給出了超出教學預設(shè)之外的精彩方法.

對于問題5，學生給出的部分答案如下：將圖7中的字母N所在的小正方形移動到字母K所在的位置，即得到符合題意的圖形（預設(shè)之中的答案）.將圖7中的字母D所在的小正方形移動到字母H所在的位置，得到符合題意的圖形（預設(shè)之中的答案）.將字母D所在的小正方形移動到格點圖的外面，也可以得到符合題意的圖形（預設(shè)之外的答案）.將字母D所在的小正方形移動到字母G所在的位置，均可以得到符合題意的圖形（預設(shè)之外的答案）.

學生將其中的一個小陰影正方形移動到與圖中現(xiàn)有的小正方形重合，可以視為“只移動一次，只移動一個方格”，即視為符合題意；從另外一個層面，也可以視為刪除了其中的一個小正方形.由于題目要求“只移動其中的一個陰影小正方形，只移動一次，且每次只移動一個方格”，沒有限制移動的陰影圖形一定要有五個小陰影正方形，所以，學生當堂給出的方法，其實也是抓住了題目設(shè)計的漏洞，或者說巧妙利用這個漏洞.從這個意義上說，學生給出的解答，其實就是一種創(chuàng)新，也就是方法的創(chuàng)新、思維方式的創(chuàng)新.

2.從“以知識掌握為核心”走進“以思維分享為核心”，著重引導學生經(jīng)歷理性思考的過程

在教學過程中，我們借助如圖8～圖10所示的思維導圖，重點引導學生經(jīng)歷理性思考的過程.

圖8

圖9

圖10

教師通過提出問題“你是怎樣思考的？”實事求是地呈現(xiàn)學生的思考過程，通過問題“為什么這樣思考？”引導學生理性分析算法背后的算理，通過問題“還有其他的方法嗎？”引導學生求變創(chuàng)新，求美求簡（如圖11）.

圖11

該節(jié)課較好地呈現(xiàn)了章建躍博士提倡的“數(shù)學課堂的終極目標是培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，而數(shù)學核心素養(yǎng)的靈魂在于培養(yǎng)學生的邏輯思維，提高推理能力”“課堂教學應當立足于發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，培養(yǎng)學生的理性精神”等教學主張.

五、點評

本節(jié)課的課堂讓人耳目一新，深感震撼！

執(zhí)教教師是激情萬丈的熱能源頭.執(zhí)教教師以真誠而獨特的人格魅力、鼓勵的表情語言、充滿教育智慧的扶持與敦促引領(lǐng)著學生一起走進數(shù)學的殿堂.本節(jié)課中，學生經(jīng)歷從找一個、找一類、最終找到所有的數(shù)學活動過程；經(jīng)歷從感性（直覺）走向理性（邏輯）的數(shù)學探究過程；經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，并且不斷往復升華的數(shù)學研究過程.起初還比較靦腆和拘謹?shù)膶W生，在執(zhí)教教師營建的磁場中，腦洞大開，積極主動地各抒己見.執(zhí)教教師把整個課堂全然交給學生，使得這節(jié)探究活動課的氛圍達到了高潮.在短短的幾十分鐘內(nèi)，執(zhí)教教師多次令學生爆發(fā)出暢然的笑聲、自發(fā)的掌聲，更有臺下數(shù)百名聽課教師由衷熱烈的贊美聲.一切始于自然，一切始于忘我，一切始于對數(shù)學問題的追求、沉醉與癡迷.

執(zhí)教教師是循循善誘的心靈捕手.課堂中素昧平生的師生，不同尋常的教學素材，無論于教師、于學生都具有一定的挑戰(zhàn)性.上課伊始，課堂顯得平靜又有些許疏離.此時執(zhí)教教師開始發(fā)問：你是怎樣想的？你會怎么做？事實上，在課堂上，經(jīng)常能聽見執(zhí)教教師這樣的發(fā)問.執(zhí)教教師引導學生從“發(fā)現(xiàn)一個方法”，到思考“發(fā)現(xiàn)一類方法”，再理性獲得“確定對稱軸、翻折、審題檢驗”的可視化思維路徑.他給予學生充足的時間進行獨立思考，繼而小組討論，而后小組匯報.同時，又提出新的要求：你們是怎樣思考的？為什么這么思考？并讓學生給出解題思維的理性簡潔的表述.對于學生的表述，執(zhí)教教師繼續(xù)不斷地追問：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？你是怎么找到第3個小正方形的位置的？其他小組還有補充嗎？六個小組代表均上臺發(fā)言后，執(zhí)教教師還要再追問：還有沒有其他方法？直到感性散漫的找尋，抵達理性有序的探求.

執(zhí)教教師是立德樹人的榜樣楷模.求真、專注、執(zhí)著、自省、合作、互助……，這些都是教師在課堂中非常關(guān)注而崇尚的.當他發(fā)現(xiàn)學生的學與他的教并不同步時，當他發(fā)現(xiàn)學生學的結(jié)果與教學目標不那么一致時，他會退到一個適當?shù)奈恢?，不斷地調(diào)整反省.在教學中，執(zhí)教教師認為應該給學生提供學的平臺，讓他們在學習中暴露自己的問題，教師應該針對學生的問題和困難，進行有針對性地引導，讓學生在堅持中，從失敗走向成功.同時，執(zhí)教教師十分注重團隊協(xié)同合作的力量.顯然，在探索、研究的過程中，一些學生會先行理解數(shù)學的真諦，執(zhí)教教師就會讓他們?nèi)幽切┻€不甚理解的學生.每一次團隊的共同討論、互動交流、陳述表達，都是理性、人性、友情、親情的融融相合.

這樣的磁場，誰能舍得離開？

愿所有的教師，都能營建一如執(zhí)教教師般的磁場，讓學生內(nèi)心的火種能夠被點燃，熱情激昂，生生不息.