張青云

（廣東省東莞市東莞中學松山湖學校）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：數學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.日常教學中，一個個地教概念，一個個地學定理，容易迷失在局部，見木不見林.長此以往就會出現(xiàn)坐井觀天、思路狹窄、思維呆板的現(xiàn)象，局限于一招一式的雕蟲小技而不能自拔.怎樣在教學中把握好知識的整體性，引導學生“既見樹木，又見森林”呢？筆者結合人教版《義務教育教科書·數學》八年級上冊“13.3.1等腰三角形”的內容，闡述整體構建本節(jié)內容的教學立意，并給出教學建議與思考.

一、“等腰三角形的性質與判定”教學設計

1.教學目標

（1）了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理和判定定理.

（2）引導學生經歷觀察、實驗、歸納、論證的認識圖形的全過程，為進一步整合實驗幾何與論證幾何積累經驗.

（3）進一步感受數學的整體性，了解研究一個平面圖形的一般套路.

2.教學重點

等腰三角形的性質定理和判定定理.

3.教學準備

各小組準備一個等腰三角形紙片模型.

4.教學設計

環(huán)節(jié)1：憶舊迎新.

問題1：前面我們已經學習了一些關于三角形的知識，你能總結一下研究思路嗎？

問題2：你能類比抽象三角形概念的過程，給出完整的等腰三角形概念嗎？

師生活動：學生思考，并進行交流發(fā)言.當學生遇到困難時，教師引導學生說出定義、組成要素和相關要素，梳理三角形的研究思路，即定義—性質（判定）—應用，并用文字語言描述等腰三角形的定義，結合圖形所給的組成要素命名.

【設計意圖】等腰三角形是特殊的三角形，對它的研究是以一般三角形為基礎的，其研究思路與一般三角形的研究思路一致.回顧三角形的研究思路是為研究等腰三角形搭建一個研究框架，進一步完善學生的知識體系.同時，從三角形分類的角度引出等腰三角形的定義及組成要素的命名.

環(huán)節(jié)2：探究新知.

問題3：等腰三角形有什么性質？折疊等腰三角形紙片，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形有什么特殊性質？

師生活動：學生思考，并相互交流.教師引導學生有序思考，從一般性質出發(fā)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有一般三角形在邊、角、“三線”方面的所有性質.之后，借助于等腰三角形紙片模型的折疊，從軸對稱角度，思考等腰三角形所具有的特殊性質.

特殊性質1：等腰三角形兩底角相等.

問題4：如何證明發(fā)現(xiàn)的等腰三角形性質？

（1）根據命題，你能畫出圖形，寫出已知、求證嗎？

（2）你認為證明等腰三角形兩個底角相等的思路是什么？

（3）如何在等腰三角形中構造全等三角形？

師生活動：教師引導學生經歷命題證明的全過程，即畫出圖形，寫出已知、求證，并結合問題串，啟發(fā)使學生獲得證明思路，即若構造全等三角形，可以證明兩個底角所在的三角形全等.一名學生板書一種證法，其他學生在學案上完成，學生交流，教師反饋.在學生板書的基礎上，重點精講構造全等三角形的另外兩種不同方法.

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

證法1：作底邊中線AD.

……

證法2：作頂角∠BAC的平分線AD.

證法3：作底邊BC上的高線AD.

圖1

【設計意圖】讓學生經歷觀察、實驗、歸納、證明的認識圖形的全過程，為逐步從實驗幾何向論證幾何過渡積累活動經驗.同時，詳略得當地呈現(xiàn)三種不同的構造全等三角形的方法，為發(fā)現(xiàn)特殊性質2做鋪墊.

問題5：折疊等腰三角形紙片，使兩部分重合，你發(fā)現(xiàn)折痕在等腰三角形中的特殊性了嗎？

師生活動：學生思考交流，結合特殊性質1的論證過程，歸納出線段AD集“三線”于一身，即等腰三角形的底邊中線、頂角平分線、底邊上的高線重合.等腰三角形的對稱軸為“三線”所在的直線.

特殊性質2：等腰三角形的“三線合一”，即底邊上的中線、頂角平分線、底邊上的高線相互重合.

【設計意圖】通過對線段AD的反芻，引導學生發(fā)現(xiàn)線段AD的特殊性，歸納、總結出特殊性質2.

問題6：接下來，我們還需要研究等腰三角形的哪些問題？根據你的經驗提出猜想.

師生活動：引導學生由性質定理得到逆命題，猜想判定三角形是等腰三角形的命題.

【設計意圖】分類是為了理順后續(xù)研究的邏輯順序.從一般到特殊地研究等腰三角形的判定方法.而判定方法是由性質定理得到的，幫助學生理解性質與判定之間的互逆關系.

問題7：根據命題證明的形式，證明猜想.

師生活動：學生畫出圖形，寫出已知、求證，借助于證明性質定理的經驗，思考證明方法，并在學案上寫出證明過程.學生相互交流，反饋不同的證明方法.若有學生思考作底邊上中線這一證法，可能會出現(xiàn)運用“邊邊角”來證明三角形全等的錯誤，此時需要教師點撥指導.

【設計意圖】讓學生再一次經歷命題證明的全過程，發(fā)展學生的推理論證能力.同時，通過一題多解發(fā)散學生的思維，體現(xiàn)學生在探究活動中的自主性.

環(huán)節(jié)3：鞏固應用.

練習1：如圖2，∠A=36°，∠DBC=36°，BD=BC，則∠C的度數為______，∠ABD的度數為______，圖中是等腰三角形的有______.

圖2

圖3

練習2：如圖3，AC和BD相交于點O，且AB∥CD，OA=OB，求證：OC=OD.

師生活動：讓學生先獨自完成，再小組交流互教.在解決練習1時，判斷哪些是等腰三角形，鼓勵學生先直觀觀察，再思考論證，口述其判斷依據；對于練習2，學生完成證明后，教師要規(guī)范學生的證明過程，最后視時間情況進行教學.如果時間允許，可以展開圖形變式，如將圖3變?yōu)槿鐖D4所示的形式，再讓學生思考，并口述表達.

圖4

【設計意圖】讓學生在學習性質定理和判定定理之后，通過兩道練習題鞏固所學知識.解決兩道練習題時，都需要用到等腰三角形的性質與判定，從而使訓練更具高效性.

環(huán)節(jié)4：小結提升.

問題8：本節(jié)課中，我們學習了哪些知識？你能用一個框架圖描述一下嗎？

問題9：你能說說等腰三角形的研究思路、研究內容和研究方法嗎？

師生活動：學生先自己歸納，然后教師請學生回答，梳理本節(jié)課所學的知識，最終形成如圖5所示的框架式知識結構圖.

圖5

研究思路：定義→性質→判定→應用.

研究內容：從圖形的組成要素和相關要素出發(fā)，研究等腰三角形的邊、角、“三線”方面的數量關系和位置關系.

研究方法：運用從一般到特殊的方法，通過直觀觀察、實驗操作發(fā)現(xiàn)結論，并提出猜想，通過演繹推理證明猜想，通過考查性質定理的逆命題提出判定，通過演繹推理證明判定.

【設計意圖】通過小結梳理知識，使學生從整體上看待本節(jié)課的內容，形成一個完整的研究圖形的認識套路.

二、教學思考

1.用數學整體觀整合教材

數學是一個整體，思維是一個系統(tǒng)，課堂教學應注重整體性設計，提升學生的系統(tǒng)思維水平.系統(tǒng)思維就是把認識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考查認識對象的一種思維方法，可以使人具有整體觀、全局觀，是邏輯抽象能力強的集中表現(xiàn).基于這種理念，有很多教師開始著力整合教學內容，開展單元教學.根據知識發(fā)生的規(guī)律、內在的聯(lián)系、學生學習的基礎、可以達到的高度將教材進行有機整合，編制成一個個學習單元.本節(jié)課的設計就是基于數學整體觀理念，打破通常一節(jié)課講性質、一節(jié)課講判定的習慣定勢，將等腰三角形的性質與判定融合在同一個課時中進行整體設計，展現(xiàn)了等腰三角形在三角形知識體系中的內在聯(lián)系，凸顯了知識的發(fā)生、發(fā)展路徑，使學生的思維得到自然生長，使學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)得到進一步發(fā)展和提升.

2.知識沒有鞏固好，行嗎？

數學教材是按知識塊螺旋上升的模式編排教學內容的，教學又把每個知識塊切分成若干個知識點安排在每一個課時中，其學習路徑可以用如圖6所示的模型呈現(xiàn).

圖6

在這樣的設計中，知識點與對應鞏固練習呈串聯(lián)方式展開，使得課堂結構通常就以一兩個知識點為主體，分為探究新知、鞏固運用兩大板塊，看起來很符合循序漸進的教學原則，小步穩(wěn)走，步步為營.但是在這樣的課堂中，知識點與知識點之間因為鞏固運用，被人為地阻隔，“連線”拉長，難以形成有效的溝通.課堂上所學知識只是零散的局部知識，學生很難較好地感受到知識之間的聯(lián)系，難以形成一個有效的知識網絡和系統(tǒng).

數學整體觀的教學設計就是要改變這種現(xiàn)狀，強化知識之間的內在聯(lián)系，構建一個前后一致、邏輯連貫、遷移能力強的數學認知結構.在本節(jié)課的設計中，將彼此有緊密聯(lián)系的等腰三角形的定義、性質、判定知識，并聯(lián)在同一節(jié)課中學習探究，而將知識的訓練鞏固后置，其呈現(xiàn)的學習路徑可以用如圖7所示的模型表示.

圖7

一節(jié)沒有鞏固運用環(huán)節(jié)的探究課，是一節(jié)不完整的、有缺陷的課嗎？融合課時教學內容，將認識圖形的全過程作為一個整體，適當延展深入探究活動的時間，讓學生充分經歷探究的過程，其立意就是為了使學生養(yǎng)成全面思考問題的習慣，避免“只見樹木，不見森林”，進而使他們在面對數學問題時，能把解決問題的目標、實現(xiàn)目標的過程、解決過程的優(yōu)化，以及對問題的拓展、深化等作為一個整體進行研究.只有這樣的課堂教學，才能將“使學生學會思考，成為善于認識和解決問題的人才”這一理念落到實處.

這樣的課時設計，只是等腰三角形知識學習的一段歷程.課時的結束，并不意味著學習的結束.知識的鞏固訓練，并不是不需要，當堂訓練并不是一定要永遠遵循的原則，后置下一課時，進行有層次的綜合訓練教學也未嘗不可.

3.重視等腰三角形的對稱性

幾何中，空間基本性質的刻畫工具有兩個：一是空間的平直性；二是空間的對稱性.在人教版教材八年級上冊配套的教師教學用書中指出：等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有三角形的一般性質外，還具有一些特殊性質.因為等腰三角形是軸對稱圖形，所以，借助于軸對稱來研究等腰三角形的一些特殊性質.這也正是教材把等腰三角形的相關內容編排在軸對稱內容之后的重要原因.教學中，教師要充分注意這一點，將圖形的變化與圖形的性質有機整合，利用圖形的變化得到圖形的性質，再通過推理證明這些結論.我們贊成這個觀點，甚至認為，學習軸對稱這種圖形變化，本質上就是為學習三角形特例——等腰三角形的學習而做準備的.在本節(jié)課的設計中，我們也以此為研究等腰三角形性質的起點，通過引導學生實驗操作，折疊等腰三角形紙片，發(fā)現(xiàn)邊、角等組成要素的等量關系，并以對折痕（對稱軸）的追問，發(fā)現(xiàn)“三線合一”的特征.這個探究過程，就是在深刻理解數學、理解教學、理解學生的基礎上設計出來的.

總之，在教學中，我們要敢于打破舊有觀念，從“培育學生的理性精神，發(fā)展學生的邏輯思維能力為核心，使學生在掌握數學知識、學會數學思考的過程中，成為善于發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的人才”要求出發(fā)，在數學概念教學和定理、公式、法則等原理的教學中，樹立數學整體觀，使學生“既見樹木，又見森林”，使課堂成為落實數學學科核心素養(yǎng)的主陣地.