淺談如何使用向量方法解決幾何、物理中的問(wèn)題

孫霞

摘 要：本節(jié)內(nèi)容蘇教版必修四第二章《平面向量》的最后一節(jié)內(nèi)容，本節(jié)的目的是讓學(xué)生對(duì)向量有進(jìn)一步的認(rèn)知，在實(shí)際解題中將向量這個(gè)工具的代數(shù)特征、幾何特征進(jìn)行轉(zhuǎn)換。由于向量具有兩個(gè)明顯的特點(diǎn)——“形”和“數(shù)”，從而使得向量成為數(shù)形結(jié)合的橋梁，因而就產(chǎn)生了“坐標(biāo)法”“向量法”兩種解題思路。坐標(biāo)法就是建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，向量的坐標(biāo)實(shí)際上就是把點(diǎn)和數(shù)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而把曲線與方程聯(lián)系起來(lái)，這樣就可以用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。在實(shí)際解題中，有些平面幾何問(wèn)題，利用向量的方法求解比較容易，根據(jù)點(diǎn)、線之間的聯(lián)系，利用向量關(guān)系建立等式或不等式，并利用向量的相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行求解，從而解決問(wèn)題。但在使用向量方法解決問(wèn)題時(shí)，要注意向量起點(diǎn)的選取，若選取得當(dāng)，會(huì)使得計(jì)算過(guò)程化繁為簡(jiǎn)。

關(guān)鍵詞：《平面向量》;教學(xué)分析;化繁為簡(jiǎn)

在幾何問(wèn)題，向量方法與代數(shù)方法思路有其相似性，不同的就是利用“向量與向量之間的運(yùn)算”來(lái)代替“數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算”，這樣就可以將幾何中的直線或線段之間的位置關(guān)系歸結(jié)為向量之間的關(guān)系，這樣就可以借助向量的相關(guān)運(yùn)算來(lái)研究平面幾何中直線或線段之間的平行、垂直、相等、夾角、距離等問(wèn)題，并將通過(guò)向量計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為題目中的相應(yīng)結(jié)果。其過(guò)程可以簡(jiǎn)單表述為三部曲，如下：幾何中的代數(shù)方法：形到數(shù)→數(shù)的運(yùn)算→數(shù)到形;幾何中的向量方法：形到向量→向量的運(yùn)算→向量到形。

一、 教學(xué)目標(biāo)

（一） 知識(shí)與技能。運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)解決向量在幾何、物理中的相關(guān)問(wèn)題。讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問(wèn)題中的工具作用。

（二） 過(guò)程與方法。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，在解題過(guò)程中給學(xué)生滲透轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，并培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的建模核心素養(yǎng)。

（三） 情感與價(jià)值觀。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生深刻理解向量在處理幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題中的優(yōu)越性，從而可以活躍學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探索意識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、 教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用向量方法解決幾何、物理中等相關(guān)問(wèn)題。

難點(diǎn)：如何將幾何、物理中等相關(guān)問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題。

三、 教學(xué)過(guò)程

（一） 呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題

問(wèn)題1：向量加法、減法的運(yùn)算法則及其幾何意義？

問(wèn)題2：向量的數(shù)乘運(yùn)算以及向量的共線定理，向量平行所滿足的條件？

問(wèn)題3：向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量：垂直時(shí)所滿足的條件？

情境1：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD，若AD=λAB+μAC，則λμ的值為.

情境2：與a=（12，5）平行的單位向量是;與a=（12，5）垂直的單位向量是.

問(wèn)題4：向量如何解決物理、幾何中的一些問(wèn)題呢？通常的解題步驟又是什么呢？（核心問(wèn)題）

向量的概念和運(yùn)算都是在物理背景和幾何背景下產(chǎn)生的，例如：物理上的力、速度、位移等，平面幾何中的直線或者線段的平行、垂直、夾角以及線段長(zhǎng)度等等都可以通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算表示出來(lái)。當(dāng)向量與直角坐標(biāo)系結(jié)合后，向量的基底運(yùn)算完全可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算（代數(shù)運(yùn)算），這就為我們研究物理實(shí)際問(wèn)題、數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題帶來(lái)了方便，下面通過(guò)幾個(gè)具體的例子，說(shuō)明利用向量方法解決物理、幾何中的問(wèn)題的優(yōu)越性。

（二） 意義建構(gòu)，解決問(wèn)題

應(yīng)用一 向量在物理中的應(yīng)用

例1：如圖所示，無(wú)彈性的細(xì)繩OA、OB的一端分別固定在A、B處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC下端系著一個(gè)秤盤，且使得OB⊥OC，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，判斷哪根繩子受力最大。

問(wèn)題5：繩子OA，OB，OC上所受的力與我們所學(xué)的向量有怎樣的關(guān)系呢？

問(wèn)題6：三根繩子上所受的力的關(guān)系的如何？

問(wèn)題7：如何用向量的關(guān)系表示三個(gè)力之間的關(guān)系？

問(wèn)題8：對(duì)于物理問(wèn)題如何用向量的方法處理呢？

師總結(jié)：用向量法解決物理問(wèn)題的步驟：

①將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái);②將物理問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算;③最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為物理問(wèn)題。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本例利用向量的方法處理了物理中的問(wèn)題，建立了物理中的相關(guān)量與向量的之間的關(guān)系，使向量成為研究物理學(xué)科的有力工具。

應(yīng)用二 向量在平面幾何中的應(yīng)用

例2：已知OA⊥BC，OB⊥AC，求證：OC⊥AB。

問(wèn)題9：如何用向量表示線段的垂直？（數(shù)量積）

問(wèn)題10：如何用OA，BC，OB，AC表示OC，AB？

生1：運(yùn)用向量的減法法則

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)分步設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生建立平面幾何中的線段垂直與向量垂直之間的關(guān)系，讓學(xué)生掌握用向量的方法解決平面幾何問(wèn)題。

問(wèn)題11：能不能利用向量的坐標(biāo)表示證明本題？（自主思考、合作探究）

問(wèn)題12：如何建立合適的直角坐標(biāo)系呢？（學(xué)生討論、板演）

問(wèn)題13：如何用一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋本題的結(jié)論？

師點(diǎn)評(píng)：用向量法解決幾何問(wèn)題的步驟：

①建立幾何中的元素與向量之間的聯(lián)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;②通過(guò)向量之間的相關(guān)運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系;③把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何元素之間的關(guān)系。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本例用向量法與坐標(biāo)法解題，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中體會(huì)每種方法優(yōu)劣性，學(xué)會(huì)選定合適的方法解題。

應(yīng)用三 向量在解析幾何中的應(yīng)用

例3：已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），用向量的方法求直線l的方程。